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1 Introdução a Cinemática
A cinemática é a parte da mecânica que estuda e descreve os movimentos, sem se preocupar com as suas causas. Seu objetivo é descrever apenas como se movem os corpos. A parte da mecânica que se preocupa com as causas do movimento é a dinâmica, que será estudada somente mais a diante nesta apostila. Em geral, na cinemática, estudamos o movimento de um corpo qualquer, tratando o mesmo como uma partícula ou um ponto material. Esta representação é possível devido às dimensões do corpo em movimento, considerado nestes estudos, serem desprezíveis em comparação com as demais dimensões que participam do fenômeno. Por exemplo, um automóvel de 3,5 metros de comprimento, se desloca por cerca de 200 quilômetros, na cinemática consideramos o comprimento do carro desprezível em relação à distância percorrida, logo tratamos o mesmo como uma partícula ou um ponto material. Outro conceito importante que deve ser ressaltado é o de movimento. No dia-a-dia costumamos associar a idéia de movimento a tudo que esteja em constante mudança, atividade, animação, agitação, evolução, desenvolvimento e etc. Entretanto, na física, a idéia de movimento assume um significado restrito:
Considerando isto, o conceito de movimento de um corpo está associado a outro corpo que serve de referência.
1.1 Sistema de referência
Quando dizemos que um corpo está em movimento, devemos explicitar em relação a que outro corpo, sua posição se altera em função do tempo. Vejamos um exemplo. Imagine um trem que se aproxima de uma estação onde alguns passageiros aguardam sentados. Em
A variação, em função do tempo, da posição de um corpo em relação a outro corpo que serve de referência.
relação à estação, o trem está em movimento e os passageiros estão em repouso. Já em relação ao trem, tanto a estação quanto os passageiros estão em movimento. Neste sentido, o conceito de movimento é relativo, ou seja, depende do corpo de referência adotado. Sendo assim, na cinemática, iremos sempre associar o movimento de um corpo a um referencial, cuja definição pode ser dada por:
1.2 Movimento, repouso e trajetória
Quando a posição de um corpo varia, em relação a um dado referencial, durante um intervalo de tempo qualquer, diz-se que há movimento. Por outro lado, se a posição do corpo não varia, em relação a um referencial, durante um intervalo de tempo, diz-se que esse corpo está em repouso. Outro conceito que depende fundamentalmente do referencial adotado é o de trajetória. A trajetória de um corpo pode ser entendida como o caminho que ele percorreu durante sucessivos instantes de tempo, ao longo de seu movimento. Por exemplo, imagine um pacote de mantimentos arremessado de um avião. Do ponto de vista do piloto do avião, a trajetória do pacote é aproximadamente retilínea e vertical. Já para um observador na Terra, a trajetória descrita pelo pacote será parabólica. Assim, os conceitos de movimento, repouso e trajetória dependem do referencial adotado.
Referencial é todo corpo ou ponto em relação ao qual se verifica a variação de posição de um outro corpo.
Entretanto, as distâncias percorridas dependerão do comprimento de cada uma das trajetórias (caminhos 1 e 2).
1.4 Velocidade média e velocidade instantânea
A velocidade média é definida a partir do conceito de deslocamento. Ela informa a rapidez com que o corpo se desloca entre duas posições. Como exemplo, suponha que você caminhe uma quadra com 60 metros de extensão, em linha reta, em 1 minuto. Logo, terá sofrido um deslocamento, em média, de 1 m a cada 1 s de caminhada. Diz-se, então, que sua velocidade média foi de 1 m/s. Isso não quer dizer que você tenha mantido esta velocidade ao longo de toda a quadra. Essa velocidade indica, apenas, que a cada 1 s de caminhada, você variou sua posição em 1m. Logo, define-se a velocidade média como sendo a razão entre o deslocamento ∆ S e o intervalo de tempo ∆ t associado a este deslocamento:
t
V S
∆ =^ ∆
A definição de velocidade instantânea , ou simplesmente velocidade, é similar a da velocidade média. A diferença está no fato de que ∆ t é tomado como sendo infinitamente pequeno, isto é, o intervalo de tempo reduz-se a um instante de tempo. Portanto, pode-se dizer que a velocidade média torna-se a velocidade naquele instante.
1.5 Unidades de medida
As grandezas físicas podem ser medidas usando-se diversas unidades. Por exemplo, o comprimento pode ser medido em metros, centímetro, quilômetros, pés e etc. A medição das grandezas físicas deve ser feita de forma coerente. Para isso, foram estabelecidos alguns sistemas de unidades físicas, dos quais os mais usados são dois: O Sistema Internacional (SI), também conhecido como Sistema MKS e o Sistema CGS. Veja
como as grandezas apresentadas anteriormente são representadas em cada um desses sistemas na tabela abaixo:
Tabela 1: Unidades. Grandezas SI CGS Comprimento M cm Tempo s (ou seg) s (ou seg) Velocidade m/s cm/s
Considere, por exemplo, que um móvel se desloca com velocidade igual a 90 km/h. Para transformarmos o valor da velocidade desse móvel para o sistema SI e CGS temos que considerar o seguinte algebrismo:
- Transformando para o sistema SI, temos:
90 km / h = 190 hora^ km =^900003600 s^ m = 25 m / s
- Trasformando para o sistema CGS, temos:
90 km / h = 190 hora^ km =^90000003600 s^ cm = 2500 cm / s
Vejamos um exemplo:
- A posição de um móvel em Movimento Retilíneo Uniforme é representada pela equação S = 2 + 5 t. Usando as unidades do sistema internacional. Calcule :
a) a posição inicial do móvel:
s = 2 + 5t : ( para t = 0 ) s = 2 + 5. 0 s = 2 + 0 : ( s = 2 )
Resposta: A posição inicial do móvel é 2 metros.
b) A posição do móvel no instante t = 3:
s = 2 + 5 t s = 2 + ( 5. 3 ) s = 2 + 15 S = 17
Resposta: A posição do móvel no instante t = 3 é 17 metros.
c) O deslocamento do móvel no instante t = 10:
s = 2 + 5 t s = 2 + ( 5. 10 ) s = 2 + 50 s = 52 ( posição do móvel em t= 10 )
∆s = s – sj ∆s = 52 – 2 ∆s = 50
Resposta: o deslocamento do móvel é de 50 metros.
d) a velocidade do móvel:
Vm = ∆S/∆t tomando t= 10 e ∆s = 50 m temos: Vm = 50 m / 10 s : Vm = 5m/s
Resposta: A velocidade do móvel é de 5 m/s
Quando a velocidade do móvel está a favor do sentido da trajetória, sua velocidade é positiva e seu movimento é chamado progressivo ; quando ele está se deslocando em sentido contrário ao da trajetória, temos que a velocidade é negativa e o movimento é retrógrado.
Exercícios:
1. Um carro se desloca de Florianópolis–SC a Curitiba–PR. Sabendo que a distância entre as duas cidades é de 300 km e que o percurso iniciou às 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade média do carro durante a viagem em m/s.
2. Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veículo leva para percorre um trecho de 400m da estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho com velocidade de 140Km/h. Sendo de 80Km/h a velocidade máxima permitida, qual deve ser a maior velocidade média do carro na segunda metade do trecho para evitar a multa?
3. Um carro desloca-se em uma trajetória retilínea descrita pela função S=20+5t (no SI). Determine:
a) a posição inicial; b) a velocidade; c) a posição no instante 4s; d) o espaço percorrido após 8s; e) o instante em que o carro passa pela posição 80m; f) o instante em que o carro passa pela posição 20m.
Figura 5. Gráfico da velocidade em função do tempo.
2.1.3 Propriedades dos Gráficos do MRU
No Gráfico S x t temos:
Figura 5. Gráfico do espaço em função do tempo.
Pois veja:
Tabela 2. Definições.
A definição de tangente: tgθ^ =catetocatetoadjacenteoposto
∆t tgθ = ∆SAplicando a definição de tangente no nosso caso, temos: ∆t
tgθ =^ ∆S
Sabendo que (^) V = ∆∆St, temos então: (^) V ≡tgθ
No Gráfico V x t temos:
Figura 6. Gráfico da velocidade em função do tempo.
Pois veja:
Tabela 3. Definições.
A área de um retângulo: A =B.h
Aplicando em nosso caso, temos: A =∆t.V
Sabendo que (^) V.∆ t =∆S, temos então: ∆S ≡A
Exercícios:
- O gráfico a seguir mostra as posições em função do tempo de dois ônibus. Um parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, e o outro da cidade B para a cidade A. As distâncias são medidas a partir da cidade A. A que distância os ônibus vão se encontrar?
3 Movimento Uniformemente Variado (MUV)
No dia-a-dia, entretanto, o MRU é pouco comum. Se entrarmos em um ônibus ou em um carro e observarmos o ponteiro do velocímetro, veremos que a velocidade raramente será constante. Ela aumenta e diminui várias vezes. Assim, um ônibus ou automóvel no trânsito de uma cidade, um jogador de futebol durante uma partida, uma criança brincado são exemplos típicos de movimento uniformemente variado (MUV). O MUV é aquele que se realiza em uma trajetória retilínea e que o valor numérico da sua velocidade varia com o decorrer do tempo. A variação da velocidade com o decorrer do tempo é também conhecida como aceleração. Logo, no MUV a aceleração será constante e diferente de zero. No MRU, que vimos anteriormente a aceleração é igual a zero.
∆t
a =^ ∆V
No MUV quando a velocidade e a aceleração têm mesmo sinal (ambas são positivas ou ambas são negativas) o movimento é dito acelerado. Quando a velocidade e a aceleração possuem sinais diferentes, o movimento é retardado.
O MUV pode ser descrito por três Equações:
v =v 0 + a.t
2
0 0 2 at
s =s +v .t+^1
v 2 =v 02 +2.a.∆ S
3.1 Gráficos do Movimento Uniformemente Variado
Vamos analisar os gráficos que descrevem o MUV.
3.1.1 Gráficos da Velocidade em Função do Tempo (V x t) no MUV
No caso do MUV a função da velocidade é:
v =v 0 + a.t
Observando que a função é do 1^0 grau, portanto o gráfico será uma reta crescente ou decrescente.
Figura 7. Gráfico da velocidade em função do tempo.
3.1.2 Gráficos da Aceleração em Função do Tempo (a x t) no MUV
No MUV a aceleração é constante, e portanto o gráfico será uma reta paralela ao eixo t.
3.1.4 Propriedades dos Gráficos do MRU
No Gráfico v x t temos:
Figura 10. Gráfico da velocidade em função do tempo.
Pois veja:
Tabela 4. Definições.
A definição de tangente: tgθ^ =catetocatetoadjacenteoposto
Aplicando a definição de tangente no nosso caso, temos: ∆t tgθ =^ ∆V
Sabendo que (^) a = ∆∆Vt, temos então: (^) a ≡tgθ
No Gráfico a x t temos:
Figura 11. Gráfico da aceleração em função do tempo.
Pois veja:
Tabela 5. Definições.
Área de um retângulo: A =B.h
Aplicando o nosso caso, temos: A =∆t.a
Sabendo que a.∆ t=∆ V , temos então: ∆V≡ A
Portanto, se tivermos um gráfico a x t no MUV, a área abaixo da curva, nos fornecerá o valor do deslocamento.
Exercícios:
- Um móvel realiza um MUV regido pela equação horária no SI:
s = 3 +2t− t^2 Determine: a) O espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração; b) A função velocidade; c) O espaço e a velocidade do móvel no instante 2s; d) O instante em que o móvel inverte o sentido do movimento; e) O instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
- Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera a 2m/s^2. Pode-se dizer que sua velocidade e a distância percorrida, após 3 segundos, valem respectivamente: a) 6m/s e 9m; b) 6m/s e 18 m; c) 3m/s e 12 m; d) 12 m/s e 36m; e) 2m/s e 12m.
- Um móvel realiza um MUV e sua velocidade varia com o tempo de acordo com a função: v =− 20 +4t Determine: a) a velocidade inicial e a aceleração escalar;
a) -40; b) -25 c) 120; d)60; e)-30.
- O espaço de um ponto material varia no decurso de tempo de acordo com o gráfico. Determine: a) o espaço inicial do movimento; b) o que acontece com o ponto material no intervalo de tempo de 2 s a 5 s; c) em que instantes o móvel passa pela origem; d) a velocidade escalar no instante 1,5 s.
- O gráfico da aceleração escalar de um móvel, em movimento retilíneo, em função do tempo é dado na figura abaixo. Determine: a) a aceleração escalar média no intervalo de 0 a 40s; b) o gráfico da velocidade escalar em função do tempo. Sabe-se que a velocidade inicial é nula.
- Um automóvel encontra-se parado diante de um semáforo. Logo quando o sinal abre, ele arranca com aceleração 5m/s², enquanto isso, um caminhão passa por ele com velocidade constante igual a 10m/s.
(a) Depois de quanto tempo o carro alcança o caminhão? (b) Qual a distância percorrida até o encontro.
- Um corredor chega a linha de chegada em uma corrida com velocidade igual a 18m/s. Após a chegada ele anda mais 6 metros até parar completamente. Qual o valor de sua aceleração?
- Um trem parte do repouso, da origem das posições de uma trajetória retilínea, com aceleração de 4 m/s²? a) Que velocidade tem após 10s? b) Que distancia percorreu em 10s? c) Qual a distancia percorrida até o instante em que sua velocidade atinge 60 m/s? d) Qual é sua velocidade média no instante de 0 a 10s?
- Uma motocicleta se desloca com velocidade constante igual a 30m/s. Quando o motociclista vê uma pessoa atravessar a rua freia a moto até parar. Sabendo que a aceleração máxima para frear a moto tem valor absoluto igual a 8m/s², e que a pessoa se encontra 50m distante da motocicleta. O motociclista conseguirá frear totalmente a motocicleta antes de alcançar a pessoa?
