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Este documento aborda diversos exercícios relacionados a vetores e geometria analítica. Inclui tópicos como determinação de vetores, cálculo de módulos e ângulos entre vetores, operações com vetores (soma, subtração, produto escalar e vetorial), equações de retas e planos, interseções, distâncias e projeções. Os exercícios envolvem a aplicação de conceitos fundamentais da álgebra vetorial e da geometria analítica, permitindo ao estudante praticar e consolidar o aprendizado dessas importantes áreas da matemática. Uma variedade de problemas que abrangem diferentes níveis de dificuldade, proporcionando um desafio adequado para o desenvolvimento das habilidades do aluno nessas disciplinas.
Tipologia: Exercícios
1 / 36
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1 Primeira Lista 3
2 Segunda Lista 6
3 Terceira Lista 11
4 Respostas da Primeira Lista 17
5 Respostas da Segunda Lista 18
( o n ) À
=
(Oit)
-(3,0)-(Oit)
=
(3,-r)
C-1,2)
4 1 J - F )
=
4113in)-C-
= 213,-a) 87-
=
118,-6)- (1-2.4)
f ê
= (6,-2)
=
É
=
É
=
(¥,-¥)
I.
f-
E .E )
4 0
v i i.
F t l _ - F i
1 M
= 4
à-14 = 1 6
1 2
a
=
7 -
1 0
Ü = (rio)-310in)
=
=
(1,-3)
=
a ) s e j a À
=
=
F É
= F É
=
= 2 f t
À
= -211,-3)
= C -
=
b ) SEJA
À--
F. I i i "
M Ã E
=
T Ê E M
=
Ão
=
= 2
2 9 - 3 2
=
a ,
L 1 ,
a z
=
,
0
, -4oz)
=
(an
,
,
a r
=
=
a , = L
|
= - 4
|
a ,
4 A ,
=
I I ,
2 a ,
= - 6
a s
= - 3
3 3
O S
PONTOS
B
e
C SÃO COLINEARES S E
J K /
( a )
A Í= B
l-n,-5,0)
=
A Í
=
C -
a = C -
2,-7,-1)
=
SEJA
1 2 = - 3
A I= (3,6,})
= - 3 C - n,-2,-1)
=
B
e C s ã o
COLINEARES.
ATÉ
= B
A
=
=
1 )
=
C
a
=
( n ,
0,4)
=
( - 1 ,- s ,
K A I
...
A ,
B
e C
NÃO são c o l i n e a re s
×,-1 × ,
= - 6
X ,
\
-3!
5 t - 2
t - 2
-3/
i i
O
o
-ufa
o
←
Los
←
←
←
1 g
!
←
←
1
O 0 1
←
←
L z
←
L ,
←
1,-
K I
=
ATÉ
= B
3,5 )
=
y e n , 2 )
= C
A
=
(S,-13,11)
(1,-1,3)
8 )
=
= K ( 4,
-12,8)
x - 1 = 4 K
A
K -
X. = L
=
1 2 K
Y e s
=
1 %
2
=
8 k
=
a )
=
(3,- 2 ,
1 )
D - C
=
=
C -
3 ,
m m , n s )
=
É
m m - a m a s
n - 1 1 = 1 n = O
D
À
= 2. 3
a-1+1-111-
= 6
a
a
39
4 0
À
(2+3, a-11,
=
=
=
(fixo).
(jeni)
=
(2+
= n o
a - n
= 3
À - F
=
(Fmi).tv/-uT)c=d8+a=3+aac=s5=8ac=sa--§
i
é _
(o,v,.ua)
4 6
I i
5
iiiw-T-2.jo Ü = ( a.
I V
1 .O
v.
= 6
= )
V a
I v 9 +
= 1 6
v ,
= ± 4
...
-14)
u,
v e
w vetores dois a dois ortogonais, então:
(a) |
u +
v|
2
u|
2
v|
2
(b) |~u + ~v + w~|
2
= |~u|
2
2
2
interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B?
u = ( 1 , - 2 , 1 ) e
~v = (- 2 , 1 , m + 1 ) seja 120
e 120
e ||~a|| = 2. Determinar ~a.
u = ( 1 , 2 , - 3 ) na direção de
v = ( 2 , 1 , - 2 ).
u = ( 3 , 5 , 2 ) sobre o eixo dos x?
u e
v são vetores, tal que
u +
v é ortogonal a
u -
v, então k
uk = k
vk.
u.
v +
u.
w +
v.
w, sabendo que
u +
v +
w =
u| = 2 , |
v| = 3 e |
w| =
p
(a) w~ ⇥ ~v
(b) (~u + ~v) ⇥ (~u - ~v)
(c) (~u ⇥ ~v).(~u ⇥ ~v)
b e
b - ~a, sendo
~a = ( 3 , - 1 , - 2 ) e
b = ( 1 , 0 , - 3 ).
aos vetores
~v = ( 2 , - 1 , 0 ) e ~u = ( 1 , - 3 , - 1 ).
bk =
p
2 e 45
é o ângulo entre ~a e
b, calcular k~a ⇥
bk.
p
3 , k~uk = 3 e 60
é o ângulo entre ~u e ~v, determinar k~vk.
(a) A(- 1 , 0 , 2 ), B(- 4 , 1 , 1 ) e C( 0 , 1 , 3 )
(b) A( 1 , 0 , 1 ), B( 4 , 2 , 1 ) e C( 1 , 2 , 0 )
diagonal de extremidades B( 1 , 1 , - 1 ) e C( 0 , 1 , 2 ).
triângulo de área
p
4 3
À ,
J e
J são
ORTOGONAIS
= À .Ü
= O
2ri.it/JI--IFi-iIiil.
IF-iv-i-w-I-lnii-IJI-lw.it
4 6
jffjj-
aso.BA.
=
À
=
= C - B =
=
=
=
=
=
5
c a s o
=
g.2sjz-f-z.io
= 450
A...
180?
c...
Í P
5 1
c o s
=
É
=
¥ ,
× = v á
a o s
=
É
=
¥,
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=
1
c o s
n ã o '=
f -
=
É ,
2 -=
mas,
i-fjij-I.ie/'jIfI?f#f.can-D--jIIf-la.n-a)
PROJ-o.si
=
¥12,1,-2)
PROS
$
Ê
=
({¥Ê
"
)
(noite)
=
311,0,a )
= 1 3 , 0 , o )
IPRoj.fm/--fF-o--T
= 3
( i i i.
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f t p. h i i
( À
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o
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( F.
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9
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g
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...
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=/-no
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= T
J - I i i
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(1,1,-1)
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=
=
= 3
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=
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2 ,
1,-1)
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H:*.li#i-kHixt::f--
fc-aKr)-C-
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S E N O
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§
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C - A
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( 1 .2,0)-(1,0,
1 )
=
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×
=
(3,2/0)×(0.2/1)
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(31-1)-0.015+13.
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=
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