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24 .1 – Transmissão de energia em uma onda plana
Considere uma onda eletromagnética plana se propagando na direção perpendicular a esta página (figura 24.1). Podemos considerar que esta onda é um arranjo de “células-de-campo”. Cada célula tendo largura e comprimento unitários, podemos escrever para a tensão V: V E 1 E(V ) (24.1) Analogamente para a corrente I: I H 1 H(A ) (24.2) Pela teoria de circuitos, a potência transmitida em uma célula é dada por: P VIEH (W ) (24.3) Essa é a energia transmitida por unidade de área, indicada de forma vetorial por: P E H
A equação (24.4) representa o vetor de Poynting (John Henry Poynting, 1852- 1914 ), cuja dedução matemática mais detalhada será feita na seção a seguir. Figura 24. 1 – Onda eletromagnética plana se propagando perpendicularmente ao papel.
O VETOR DE POYNTING E V = E 1 I = H 1
24. 2 – O Vetor de Poynting
Sejam as equações de Maxwell em rotacional: t
B
E
^
t
D
H J
^
Multiplicando escalarmente (24.5) por H
e (24.6) por E
, vem respectivamente: t
B
H E H
^
t
D
E H E J
Subtraindo (24.8) de (24.7):
t
D
E J
t
B
H E E H H
A partir de uma propriedade do cálculo vetorial, podemos escrever que: H E E H E H
Portanto:
t
D
EJ E
t
B
E H H
A equação (24.11) pode ser reescrita como:
t
E
E
t
H
E H E^2 H
Onde foram utilizadas as relações: J E
B H
D E
Considerando que: H 2 t t
H
H
t
H
HH H
t
e: E 2 t t
E
E
t
E
EE E
t
24. 3 – Valor médio do vetor de Poynting
O fluxo do vetor de Poynting sobre uma área representa a potência instantânea atravessando essa área. O valor médio do vetor de Poynting é obtido integrando-se o vetor de Poynting em um período, e dividindo por um período (definição clássica do valor médio de uma função periódica ). Ele também pode ser obtido numa notação complexa como: 2
m 2 EHcos W/m
P (24.18)
Onde é o ângulo de defasagem entre E
e H
Exemplo 24. 2 No espaço livre E( z,t) 50 cos(tz) V/m. Calcule a potência média que atravessa uma área circular de 2,5 m de raio, pertencente a um plano z = cte. Solução cos t z 120
E 50
H
H 0 , 133 cos tz
Não existe defasagem entre E
e H
. Portanto: 2 m 2 50 0 ,^1333 ,^325 W/m
P
P total 3 , 325 2 , 52 65 , 1 W
