VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
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Variáveis Aleatórias: Conceitos, Classificação e Funções de Probabilidade, Exercícios de Estatística
O conceito de variáveis aleatórias, sua classificação em discretas e contínuas, e a introdução de funções de probabilidade e distribuição acumulada. Apresenta exemplos práticos e ilustrações para facilitar a compreensão dos conceitos.
Tipologia: Exercícios
2025
1 / 30
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Variável aleatória Ω
é
o
espaço
amostral
de
um
experimento
aleatório.
Uma
variável
aleatória,
X
, é uma função que atribui um
número real
a cada
resultado
em
Ω
.
Exemplo.
Retira-se, ao acaso, um item produzido de um lote de seis unidades.
Variáveis:X: Número de defeitos no item selecionado.Y: Tempo de vida do item (em h).
Variáveis aleatórias discretas (VAD)
Exemplo.
Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, sendo
21 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens será formadasorteando-se,
sem reposição
, três itens do lote.
Qual a probabilidade
de encontrarmos na amostra
pelo menos dois
itens do tipo
M
?
X é uma VAD com possíveis valores no conjunto R
X
. Uma função f(x) é
uma
função de probabilidade
se
X
i^
R
x
i
i
i
i
i^ x
f
x
x
f
x
X
x
f
(iii)
e
R
P
(ii)
(i)
X
Definimos
X
como o
número
de itens do tipo
M
na amostra.
Espaço amostral
Probabilidade
X
HHH
(^203) , 0
19 33
20 34
(^2135)
=
×
×
HHM
(^150) , 0
1433
2034
(^2135)
=
×
×
HMH
(^150) , 0
2033
1434
(^2135)
=
×
×
MHH
(^150) , 0
2033
(^2134)
1435
=
×
×
HMM
(^097) , 0
1333
1434
(^2135)
=
×
×
MHM
(^097) , 0
20 33
21 34
14 35
=
×
×
MMH
(^097) , 0
(^2133)
1334
1435
=
×
×
MMM
(^056) , 0
1233
1334
1435
=
×
×
x
P(X=x)
P
P
P(X
Assim,
(X
(X
Função de distribuição acumulada de uma VAD
Função de distribuição acumulada (FDA) X é uma VAD com valores em R
X
= {x
1
,x
2
,...} e função de probabilidade
f(x) = P(X =x). Para qualquer x, a FDA de X, denotada por F(x), é definida como
que
em
, ) ( P ) ( ) ( P ) (
X
i
x
x
i
x
x
i^
R x x X x f x X x F
i
i
∑
∑
≤
≤
Exemplo.
Uma variável aleatória X tem função de probabilidade
,
c.c.
, 0
3 , 2
se
,
15 /
7
, 1
se
,
15 / 1 ) ( P ) (
=
=
=
=
=
x
x
x
X
x
f
Determinar F(x).
∑^ ∑
∑
∑
∑
∑
≤^ ≤
≤
≤
≤
≤
= = + = + = = = = ≤ = ≥
=
=
= + = + = = = = ≤ = =
= = + = = = = ≤ = < ≤
= + = = + = = = = ≤ = =
= = = = = ≤ = < ≤
= = = = = = ≤ = =
=
≤
=
<
x
x
i
x
i
x
x
i
x
i
x
x
i
x
i
i^ i
i
i
i
i
X X X x X x X x F x X X X x X X F x
X X x X x X x F x
X X x X X F x
Se
X x X x X x F x
f X x X X F x
x
X
x
F
x
. 1 ) 3 ( P ) 2 ( P ) 1 ( P ) ( P ) ( P ) ( , 3
Se
. 1
15
7
15
7
15
1
) 3 ( P ) 2 ( P ) 1 ( P ) ( P ) 3 ( P ) 3 ( , 3
Se
.
15
8 ) 2 ( P ) 1 ( P ) ( P ) ( P ) ( , 3 2
Se
.
15
8
15
7
15
1 ) 2 ( P ) 1 ( P ) ( P ) 2 ( P ) 2 ( , 2
.
15
1 ) 1 ( P ) ( P ) ( P ) ( , 2 1
Se
.
15
1
) 1 ( ) 1 ( P ) ( P ) 1 ( P )
(^1) (
, 1
Se
. 0 ) ( P ) ( , 1
Se
(^23) 1
X é uma VAD
1. Para todo x, 0
F(x)
2. F(x) é uma função monótona não decrescente.3.
1
)
(
lim
0
)
(
lim
=
=
+∞
→
−∞
→
x
F
e
x
F
x
x
4. Se R
X
= {x
1
, x
2
,......}, em que x
1
<x
2
<..., então
f(x
) = P(X = xi
) = F(xi
) - F(xi
i-
Se a e b são tais que a<b, entã
o
( P ) ( ) ( ) ( P ) (
e ) ( P ) ( ) ( ) ( P ) (
( ) ( ) ( P ) (
( P 1 ) ( P ) (
( ) ( P ) (
b X a F b F b X a v
a X a F b F b X a
iv
a F b F b X a
iii
a
X
a
X
ii
a
F
a
X
i
Propriedades da função de distribuição acumulada
Exemplo.
A variável aleatória X tem função de distribuição acumulada
≥
<
≤
<
≤
<
≤
<
=
.
3
,
3
2
se se
,
1
,
8
/
5
,
2
1
se
,
2
/
1
,
1
0
se
,
8
/
1
,
0
se
,
0
)
(
x
x x x
x
x
F
Determinar
=^ =
=
=
=
=
= = = < = ≥
= − = − = ≤ <
≥
≤
<
c.c.
, 0
, 3 , 1
se
, 8 / 3
, 2
, 0
se
, 8 / 1 ) ( P ) (
é
X
de
ade
probabilid
de
função a
que
mostrar
se
pode
FDA,
da
4 e
propriedad
Pela
}. 3 , 2 , (^1) , 0 {
que
se
FDA tem
Da
(c)
1/2.
1/
1
F(1)
1
P(X
1
P(X :
FDA
da
5(i) e
Propriedad )
(
. 2 / 1 2 / 1 1 ) 1
( ) 3 ( ) 3 1 ( P
(a)
:
FDA
da
5(iii) e
propriedad
a
Usando
).
( ) ( e ) 2 ( P ) (
), 3
1 ( P
)
(
x^ x
x
X
x
f
R
b
F
F
X
x f c X b X a
X
Variáveis aleatórias contínuas (VAC) Função densidade de probabilidade Uma função
f(x) é chamada função
densidade
de probabilidade de uma
VAC X se
∫
∫
= ≤ ≤ = ≤ ≤ =
=
≥
∞ ∞−
b a
dx
x f b X a A b x a x A
dx
x
f
x
x
f
. ) ( ) ( P ) ( P
então
},
;
{
Se . 3
. 1 ) (. 2
.
todo
para
, 0 ) (. 1
Exemplo.
O tempo de produção de um componente (em minutos) é uma variável
aleatória X com função densidade
≤
≤
−
=
contrário.
caso
, 0
, 4
2
se
,
4
5
)
(
x
x
x
f
Verificar se
f(x)
é uma função
densidade
de probabilidade e calcular a
probabilidade
que o tempo de produção
de um artigo escolhido ao acaso seja
menor do que 3
minutos.
Primeiro notamos que
f(x)
≥
0
, para todo x.
Falta
verificar
a condição (2), ou seja a
área
sob o gráfico de f(x) deve ser
igual a 1
.
4
2
2
2
4 2
4
4 2
=
∞ −
∞
∞ ∞−
x
x
x
dx
x
dx
dx
x
dx
dx
x
f
A probabilidade de que o tempo de produção
de um artigo escolhido ao acaso
seja menor do que 3 minutos é a probabilidade do evento
A = {x; x < 3}
, ou seja,
.
5 8
)
2
5 (
1 4
)
5 (
1 4
0 ) ( ) 3 ( P ) ( P
3 2
2
3
2
3 2
= − = − + = = < =
∫
∫
∫
∞ −
∞ −
x
x
dx
x
dx
dx
x
f
X
A
(
)
. 1 ) ( ) ( , 4
Se
.
8
) 5 ( 9 8 5 4 5 0
4,
x
2
Se
.
0
logo, ; 0 ) ( , 2
Se
0
x 4
1
4 2
0
2
x -
2
2
2
2
2
x -
=
=
=
≥
− − = − − = − + = =
<
≤
=
=
<
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞ −
∞
∞ −
∞
3
2
1
4
3
42 1
4
3
42 1
f(t)dt
dt
t
f
dt
t
f
f(t)dt
F(x)
x
x
t
dt t
dt
f(t)dt
F(x)
F(x)
x
f
x
x
x
se
se
se
2
x
x
x
x
x
F
Logo, a
FDA
de X é
0
1
2
3
4
5
6
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.
x
F(x)
Observação.
A FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma E = {x; a
≤
x
≤
b}
, com a
≤
b. Isto é,
P(E) = F(b) – F(a).
Exemplo.
Considere a FDA abaixo. Obtenha
P(X
≤
e
P(
≤
X < 5)
.
,
. 4
se
, 1
4
2
se ,
8
)
5 (
9
, 2
se
, 0
)
(
2
≥
≤
≤
−
−
<
=
x
x
x
x
x
F
.
3 8
5 8
1 ) 3 ( ) 5 ( ) 5 3 ( P
e
5 8
8
) 3 5 ( 9 ) 3 ( ) 3 ( P
2
= − = − = < ≤
= − − = = ≤
F
F
X
F
X
Solução.
Solução.
(a) Propriedade 3 de F(x): F(0) = 0.
≥ − = = ⇒ = −
−
−
c.c.
, 0
, 0
se
,
1
Logo,
. 1
0
1
2
0
x
e
F(x)
k
ke
x. 0 ) 1 ( ) 1 ( P .
233 , 0
)
1 (
)
(^1) (
) 2 ( ) 4 ( ) 4 2 ( P
.
(^368) , 0
)
(^1) (
1 ) 2 ( P 1 ) 2 ( P ) (
2
1
1
2
1 1 = − = − ≤
= − = − − − = − = < ≤
= = − − = < − = ≥
−
−
−
−
−
−
F
X
e e e e F F X
e
e
X
X
b
0
2
4
6
8
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.
x
f(x)
0
2
4
6
8
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.
x
F(x) e R(x)
F(x)
R(x)
≥
=
=
−
c.c.
, 0
, 0
se
,
1 2
)
(
)
(
:
de
5
e
Propriedad )
(
2
x
e
x
F
d dx
x
f
F(x)
c
x
Valor esperado e variância
Valor esperado de uma variável aleatória.
X é uma variável aleatória com
função de probabilidade ou função densidade de probabilidade
f(x)
. O
valor
esperado
(ou
esperança matemática
ou
média
da variável aleatória), denotado
por
E(X) =
μ
X
é definido como
,
)
(
)
(
:
contínua
aleatória
variável
uma
é
X .
2
e
)
(
)
(
:
discreta
aleatória
variável
uma
é
X
∑ ∞ ∫
∞ −
∈
= =
dx
x
xf
X
E
x
xf
X
E
X R
x
supondo que o somatório e a integral existem.