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Variável Aleatória - Função de Probabilidade Seja N = fa,.a5,as, ..., 4) O espaço amostral de uma experiência aleatória. A toda a correspondência X de OQ para IR tal que a cada elementos um e um só número real X, chama-se variável aleatória (v. a.) Exemplo : Quando se lançam dois dados, o espaço de resultados é Dado pelo conjunto O = f(i,j):ij=1,2,3,4,5,6)e quando se regista a soma de pontos das duas faces, v.a. definida da seguinte maneira : no . . Imagens Imagens Inversas Prob. X:(,L)eO0O>(i+j)e IR Ii - (,j) (+) 3 TE 5 36 2 8) (q,2,2,0) 5 (12) (66,6) 36 mes ms | Tipos de Variáveis Aleatórias - Discretas U Uma variável aleatória diz —se discreta se toma valores num conjunto finito ou infinito numerável . Todas as variáveis aleatórias discretas têm associada uma distribuição de Probabilidade a que chamamos Função Massa de Probabilidade (f.m.p). Trata-se de uma função que a cada valor que a variável toma esteja associada a respectiva probabilidade de se observar tal valor, ou seja, k=1; % x = X Contudo, para que a função seja uma função massa de probabilidade é necessário que sejam verificadas as seguintes condições Pp=PX=x)=1 eO0
6 77 Eras RSA Função de Probabilidade e de Distribuição * O número de telemóveis vendidos semanalmente numa loja é uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade : Xi P; =P(X=x;) Calcule , justificando, o valor de c e determine a função de distribuição. PX=2)=16c=0,48 0 sex<1 0,48 se I4 4 79 Eras ER ser Função de Probabilidade e de Distribuição o Calcule a probabilidade do número de telemóveis vendidos não chegar a 4, sabendo que este valor é superior a 1. P(X<3NX>1) PX=29+P(X=3) P(X > 1) CC 1-P(X<1) P(X<4|X>1)=P(X<3|X>1)= 0,24 + 01,6 PA<4x>D= a * 0/7692 Ou P(X<3NnX>1)=F(3)-F(1) = 0,88- 0,48 = 0,40 | Representação Gráfica - Função Massa de Probabilidade U A representação gráfica da distribuição de probabilidade de v. a. é idêntica à da distribuição da frequência relativa ( diagrama de barras ). x :«nº de vezes que saiu seis nos dois daos» 0,6 04 Px) 02 oã E « E Probabilidades - Experiências Compostas Considera a experiência aleatória que consiste em lançar duas moedas de 1 euro, uma a seguir à outra, e verifica-se as faces voltadas para cima. Considere os seguintes acontecimentos: Face europeia (E) Face nacional (N Q=(EE,EN,NE,NN) X:"v.a.que representa a face europeia (E) em 2 lançamentos X=x; 0 1 2 p(x) x PX=x) 1 2 1 sm to * 0.25 4.0 €——e— Elaborado por : António Oliveira, MSc 83 Probabilidades - Experiências Compostas Resolução X:« a soma quantidade, em euros, correspondente ás moedas retiradas» 1 P(1€|[1€)== 5 4 o a Pre =: =" PU Ent =PQZE)=— 0,5 E 4 P(0,5 E |1 €) = 2 P(0,5 €) = P(1€|0,56)=É 0,5€ 3 P(0,5 € |0,5 €) = 5 0,5€ E - mar “ms. X: -— 1º Método: In Ti P(X =2;) 4 3 PES =p = p= 4 P1SO)= x +rTxT= sutis À cê: P(2€) = 6 XE 30 Il GH arms à Probabilidades - Experiências Compostas b) Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o apostador informou ao seu adversário que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fracção irredutível. Sejam os seguintes acontecimentos: A:« a quantia retirada é de 2€ » B:« as moedas retiradas são iguais » Elaborado por : António Oliveira, MSc 88 tar Bare RSS. | Propriedade — Função de Distribuição Para qualquer função de distribuição , Fy(x): IR > [0;1] Fyl0) =P(X (-00) e x>(+00) » * Fy(x) é não decrescente: Fy(x,) < Fy(x>); " SeX discreta então P(X = x) = Fy(x) = Fy(x) — Fy(x”) = SeX continua a Fy(x) é continua no ponto 89 = Aro quiser Momentos de uma Variável Aleatória Discreta — Valor Médio Seja X uma variável aleatória discreta com função massa de probabilidade dada por: Xp KEZ(Z=h1,2,..,n) Xe Pe =P(X=xy) U O valor médio ( ou valor esperado , ou esperança matemática, ou momento de 12 ordem de X é " E(X) = uy = Dk-1Xk XP(X = xx) > Ovalor médio de X”, chamado momento de ordem n, é: E(X”") = SxezXk X Pk U Exigindo -se convergência absoluta da série, isto é : Dileel x Pk 91 -—T xr paes Propriedades — Valor Médio Seja X uma variável aleatória discreta com função massa de probabilidade dada por: Xk KREZ(Z=1,2,..,n) X= Pe =P(X =x) O ETE(X)] = E(X); OQ E(C) = C,em que C é uma constante; U Dadosa,b E IR quaisquer, se existir E(X), então, E(aX +b) = a x E(X) + Db; U O valor médio da soma de duas variáveis aleatórias é a soma dos respectivos valores médios. Isto é: E(X+YW) = E(X) + E(Y): U Se Xe Y são duas variáveis aleatórias discretas independentes, então E(XY) = EQUE(Y) 
