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Um conjunto de equações numéricas desenvolvidas para a simulação da condução de calor em um material unidimensional, utilizando o método das diferenças finitas. São fornecidos os valores iniciais e de contorno para a temperatura, bem como o valor do coeficiente de difusão térmica.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de aula
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João Vitor Moura de Andrade
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
Coordenação do Curso de Graduação em Engenharia
Mecânica da Universidade Federal da Paraíba como
requisito para obtenção do título de Bacharel em
Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Dr. Jacques César dos Santos
Trabalho de Conclusão de Curso - T.C.C., apresentado pelo acadêmico JOÃO VITOR MOURA
DE ANDRADE, do Curso de Bacharelado em Engenharia Mecânica da Universidade Federal
da Paraíba - UFPB, tendo obtido o conceito ______________, conforme a apreciação da Banca
Examinadora:
Aprovado em _____ de Junho de 2019
Prof. Dr. Jean Pierre Veronese
Membro (Universidade Federal da Paraíba - UFPB)
Prof. Dr. João Pereira Leite
Membro (Universidade Federal da Paraíba - UFPB)
Prof. Dr. Jacques César dos Santos
Orientador (Universidade Federal da Paraíba - UFPB)
Dedico este trabalho primeiramente a Deus,
a minha família e a todos os companheiros
da UFPB
This work aims at the qualitative analysis of the cooling of a cast aluminum part with a specific
geometry in order to understand the process and the reasons for the appearance of a defect in
the samples of the experiment that inspired this study. This study was based on the fundamentals
of heat transfer for transient heat conduction and was used numerical and mathematical methods
to create a preliminary model for analysis of the phenomenon. With the model constructed, a
simple mesh was created and through the finite difference method equations were elaborated
for each node of the mesh. Using the method of the lines, an approximation of the problem that
before was composed by a system of partial differential equations for a system of ordinary
differential equations was done, which allowed that a computational solution already present in
the used software was used, which in the case was the SCILAB. After the development of the
algorithm it was necessary to organize the data obtained in a temperature matrix that allowed a
better visualization and analysis of the results.
KEY WORDS: Method of Lines, Transient Conduction, Casting.
Com o desenvolvimento da tecnologia, a vida no mundo moderno tem se transformado
numa velocidade nunca antes vista. As tecnologias hoje têm um tempo de vida extremamente
curto a ponto de as pessoas terem dificuldade para conseguir acompanhar essas inovações.
Grande parte da população sabe utilizar de todas essas novidades, que vem para aumentar o
conforto e a praticidade nas atividades diárias, mas não tem noção da infinidade de processos
de fabricação utilizados para que essas soluções cheguem em suas mãos.
Os processos de fabricação têm sua origem há muito tempo atrás, antes mesmo do
homem aprender como se trabalhar com metal, o homem já era capaz de modificar rochas e
madeira para criar ferramentas que facilitassem a sua vida. Dessa época para cá, houve vários
avanços, o que permite hoje estarmos nesse patamar há grande parte dos processos serem
automatizados. Dentre esses processos, alguns são de extrema importância, pois permitem que
se produza a maioria dos produtos disponíveis no mercado hoje em dia. Esses processos já vêm
de muito tempo apenas tendo melhorias com relação a eficácia e eficiência sem descaracterizar
o processo, por conta de serem soluções viáveis financeiramente e não ter surgido nenhum tipo
de processo que consiga superar seu custo-benefício. Um desses processos que é largamente
utilizado na indústria é a fundição de metais, um processo relativamente barato apesar da
necessidade de acabamento, sem falar que pode trabalhar com geometria simples ou complexas
e permitem a produção em massa.
O processo de fundição é um dos processos mais populares por ser extremamente
versátil e ter um ótimo custo-benefício. Existem vários tipos de fundição que dependendo do
material e do tipo de projeto podem variar, os principais são: por gravidade, sob pressão, por
centrifugação e de precisão. O processo de fundição por gravidade geralmente consiste dessas
8 etapas: confecção do modelo, confecção do molde, confecção dos machos, fusão do material,
vazamento do material no molde, desmoldagem, rebarbação e limpeza. O processo de fundição
por gravidade mais utilizado é o de molde de areia pois tem um custo baixo, mas também pode
ser feito através de molde permanente (normalmente feito de um metal com ponto de fusão
maior do que o do material a ser fundido) e com molde semipermanente que que possui algumas
partes que são quebradas após a solidificação do material fundido. A fundição por centrifugação
ocorre em um equipamento especial que gira enquanto o material fundido é vazado no molde,
apesar do vazamento ser mais eficiente é um processo mais caro, esse processo é utilizado na
Figura 1.1 – Amostras, Visão das Peças Deitadas
Fonte: Acervo Pessoal
Figura 1.2 – Amostras, Visão da Parte Inferior
Fonte: Acervo Pessoal
Com isso, neste estudo foi aplicado o conhecimento de métodos numéricos para criar
um modelo simplificado baseado em equações diferenciais parciais e será aproximado a um
sistema de equações diferenciais ordinárias através do método das linhas (Schiesser, 1991).
Resolvendo esse sistema utilizando um algoritmo no Scilab, vai ser possível obter uma imagem
da temperatura e como ela se comporta em cada instante de tempo t. Esses resultados permitirão
ter uma noção primária de como se procede o resfriamento e começar a entender o que pode ter
gerado esse defeito. Para essa análise preliminar, foi utilizada essa geometria simplificada pois
permite uma modelagem mais acessível até por se tratar de um estudo preliminar.
Figura 1.3 – Geometria Simplificada
Fonte: Acervo Pessoal
Transferência de calor é o nome dado ao processo pelo qual ocorre a troca de energia
interna de um sistema devido a diferenças de temperatura, seja entre meios estacionários, entre
superfícies e fluidos ou até mesmo entre superfícies sem a necessidade de algum meio entre as
superfícies. Kreith ( 2003 , p. 1) diz que a entidade calor “[...]não pode ser medida ou observada
diretamente, porem os efeitos que ela produz são susceptíveis de observação e medição. O fluxo
de calor, tal qual o desempenho do trabalho, é um processo pelo qual a energia interna de um
sistema é alterada”.
Como mostrado na figura 2.1, referimo-nos aos diferentes tipos de processos de
transferência de calor por modos. Segundo Incropera (2008), havendo uma diferença de
temperatura em um meio estacionário, podendo este meio ser um solido ou um fluido, damos o
nome de condução a transferência de calor que ocorre através deste meio. Já para a transferência
de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento, com diferentes
temperaturas, o termo que utilizamos é convecção. Para entendermos o terceiro modo de
transferência de calor, primeiro temos de entender que toda superfície de temperatura não nula
emite energia na forma de ondas eletromagnéticas. Então mesmo na ausência de um meio entre
superfícies, desde que a temperatura não seja nula, haverá uma troca de calor liquida que
caracteriza esse modo de transferência de calor chamado de radiação térmica.
Figura 2.1 – Modos de Transferência de Calor
Fonte: INCROPERA, pg. 2, 2008
A transferência de calor por condução é o processo por onde a energia interna de um
solido ou fluido sem movimento é transmitida de uma região de maior temperatura para uma
de menor temperatura. Esse processo pode ocorrer em regime estacionário, onde apesar do
fluxo de calor não há variação das temperaturas, ou em regime transiente, onde há variação nas
temperaturas ao longo do tempo. Além dos regimes a condução de calor pode ser
unidimensional ou ocorrer em várias direções e pode-se ter ou não geração de calor envolvida.
A condução de calor transiente é mais complexa em relação a em regime estacionário pois como
as temperaturas variam com o tempo e o espaço, torna necessário uma análise mais complexa
do problema. Segundo Incropera (2008, p. 163), “As propriedades finais do metal dependerão
significativamente do histórico no tempo da temperatura que resulta da transferência de calor.
O controle da transferência de calor é uma chave na produção de novos materiais com
propriedades melhoradas”. A geometria da peça pode permitir aproximações que facilitem a
obtenção de solução e existem alguns casos especiais que já tem soluções consolidadas que
permitam a obtenção de resultados de maneira mais simples.
No caso da condução transiente as condições de contorno e condições iniciais tem papel
fundamental para a compreensão do problema. Caso as condições de contorno, condição inicial
e a geometria da peça não encaixem de maneira adequada nas soluções mais simples, é
necessário o uso de métodos numéricos para se obter os resultados, um dos mais utilizados é o
método dos nós ou das diferenças finitas. Esse método permite que a temperatura em um nó
seja encontrada através dos valores dos nós ao seu redor. Com isso é possível achar os valores
de temperaturas para cada nó independente da geometria do problema.
Neste Estudo, levou-se em consideração um caso especifico de condução, a
bidimensional e transiente. A condução em regime transiente ocorre quando a temperatura varia
com relação ao tempo e espaço. Para esse estudo, deve-se partir da equação de condução de
calor com coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
2
Onde α é a difusividade térmica do material e é encontrado pela formula:
𝑝
Com isso chegou-se a equação para achar a temperatura em cada nó no instante de
tempo desejado:
𝑇(𝑥, 𝑦)
𝑚,𝑛
𝑝+ 1
− 𝑇(𝑥, 𝑦)
𝑚,𝑛
𝑝
∆𝑡
= 𝛼 (
𝑇(𝑥, 𝑦)
𝑚− 1
− 2 𝑇(𝑥, 𝑦)
𝑚
𝑚+ 1
∆𝑥
2
𝑇(𝑥, 𝑦)
𝑛− 1
− 2 𝑇(𝑥, 𝑦)
𝑛
𝑛+ 1
∆𝑦
2
) ( 2. 3 )
Através dessa aproximação é posição simplificar problemas onde a geometria da peça
não se encaixa nos métodos mais comuns de resolução e permite que através da abordagem
deste estudo se possa discretizar o problema e transforma-lo de maneira a achar uma solução
condizente.
Ao se buscar soluções para se resolver um sistema de equações diferenciais parciais
(EDP) através de softwares de computador, percebe-se que não é algo tão simples. A maioria
dos softwares disponíveis apresentam uma variedade de soluções para buscar soluções para
sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDO), mas dificilmente apresentam solver que
resolvem os sistemas de EDP, pois os computadores têm dificuldades de processar sistemas de
derivadas parciais. Por isso, tem-se uma necessidade de “substituir” o problema inicial por um
problema equivalente algebricamente. Segundo Schiesser (1991), ao tentar se achar uma
solução para 𝑇(𝑥, 𝑡) deve-se considerar que a variável x tem um valor no gráfico especificado
por um indexador i. Ou seja, 𝑥( 1 ) = 0 e 𝑥(𝑛) = 𝐿 onde n é o número total de pontos x no
gráfico e L o valor final assumido por x. Para conseguir determinado ponto de x a expressão
∆𝑥 , 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑛 ; onde ∆𝑥 =
𝐿
(𝑛− 1 )
e representa o espaçamento do x no
gráfico. Realizando o mesmo procedimento para variável t mas utilizando um indexador j se
obtêm uma aproximação da função para um valor numérico para cada indexador i e j permitindo
assim que se ache valores de 𝑇(𝑖, 𝑗). Esse procedimento de aproximação de equações
diferenciais para equações algébricas é utilizado como abordagem para diferenças finitas,
elementos finitos e até volume finito para solução de EDPs e são base também para o método
das linhas.
No método das linhas, se mantem as outras variáveis da função com valores aproximados para
cada indexador, mas se trata a variável t como continua o que vai transformar a função 𝑇(𝑥, 𝑡)
em uma EDO com uma única variável independente t. Desse jeito, é possível utilizar
qualquer solver para EDOs que os softwares têm disponíveis para achar uma solução. Na
figura 2.3, temos um exemplo de como é a representação gráfica de uma solução que utilizou
o método das linhas todas as variáveis x(i) ao longo do gráfico tem um valor algébrico
aproximado para cada instante t , formando-se linhas para cada valor de i que podem ser
plotadas em gráficos 2d que mostram a solução em cada instante de tempo.
Figura 2.3 – Representação Gráfica de uma Solução Através do Método das Linhas
Fonte: < http://www.pdecomp.net/TheCompendium/chap01.php >
