Cálculo Numérico: Modelagem e Simulações Computacionais, Notas de aula de Cálculo para Engenheiros

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Cálculo Numérico

2º Caso: Um método numérico para determinar uma aproximação para a raiz quadrada de um número real p, maior que 1, é o algoritmo de Eudoxo:

Do fato que (^) p  1 , temos que 1  p p.

Escolhe-se, como uma primeira aproximação para p, x 0   1 p 2 , ou seja, a média

aritmética entre 1 e p. Pode-se mostrar que (^) x^ p 0  p x 0.

Escolhe-se como uma nova aproximação x 1   x^ p 0 x 0  2 , isto é, a média aritmética entre x^ p 0 e

x 0. Novamente, pode-se mostrar que 1 p (^) x  p x 1. Continuando desse modo, podemos construir uma sequência de aproximações dada por:

n n 1 n 1

1 p 2 se n 0 x (^) p x 2 se n 1 x (^)  

^ ^  

^ 

A tabela a seguir fornece os valores de algumas aproximações para 2 obtidas pelo algoritmo de Eudoxo. Para que se possa avaliar a precisão das aproximações, são fornecidos também os quadrados dessas aproximações. Trabalhando com 14 dígitos depois do ponto decimal, é possível observar que, na quinta aproximação, x 4 temos, x 4 2 00000000000000,.

Tabela 1. Algoritmo de Eudoxo para 2

De modo geral pode-se dizer que o cálculo numérico tem por objetivo estudar técnicas numéricas ou métodos numéricos para obter soluções de problemas reais que possam ser representados por modelos matemáticos , ou seja, o cálculo numérico busca produzir respostas numéricas para problemas matemáticos.

0 1,50000000000000 2, 1 1,41666666666667 2, 2 1,41421568627451 2, 3 1,41421356237469 2, 4 1,41421356237309 2, 5 1,41421356237309 2, 6 1,41421356237309 2,