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UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ - UVA
UNIVERSIDADE ABERTA A VIDA – UNAVIDA
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
(^1) Danielma Sales de Oliveira (^2) Lucélio Augusto Júnior (^3) Orientador – Prof.Ms. Magno Afonso Martins Barbosa
UMA FORMA DINÂMICA DE ENSINAR AS CÔNICAS
CAMPINA GRANDE, PB
(^1) Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA, dany.math@hotmail.com (^2) Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA, lucelioajunior@hotmail.com (^3) Orientador – Prof.Ms. da Universidade Vale do Acaraú, matmago@hotmail.com
UMA FORMA DINÂMICA DE ENSINAR AS CÔNICAS
(^1) Danielma Sales de Oliveira (^2) Lucélio Augusto Júnior (^3) Orientador – Prof. Especialista Magno Afonso Martins Barbosa
RESUMO :
Há muito tempo o ensino das cônicas é de difícil acesso aos alunos, devido a forma que é ensinada e as vezes não fazendo parte do conteúdo escolar. Com as dificuldades e importância para se aprender as cônicas, propomos uma forma dinâmica para ensiná-las no ensino médio, objetivando contribuir para uma aprendizagem significativa. Utilizando como instrumentos facilitadores para a compreensão das cônicas, um holograma para mostrar a obtenção das secções, e focando na elipse usando a prancheta de concepção elíptica para o aluno traçar a elipse e construir seus conceitos, espera-se que com essa proposta dinâmica, a aula seja valiosa para o aluno dar sentido ao estudo das cônicas, interagindo na aula na busca de formar seus próprios conceitos, desenvolvendo as atividades de modo que supere as dificuldades no seu ensino. Ampliando essa proposta, trabalhando-se com as outras cônicas, os professores de matemática podem tornar a aula rica, despertando a curiosidade dos alunos em conhecer as secções cônicas, assim proporcionando uma aprendizagem com significado. A pesquisa foi realizada na turma do 3º ano do ensino médio servindo para despertarmos a curiosidade dos alunos pelo estudo das cônicas e incentiva-lo a construir seus próprios conceitos. Os resultados das atividades aplicadas foram satisfatórios, sendo possível notar que os alunos apresentaram interesse e conseguiram assimilar o conteúdo, o que indica que as cônicas podem ser ensinadas de forma dinâmica, enriquecendo o ambiente de aprendizagem, tornando a aula propicia para que o aluno raciocine, desenvolvendo suas habilidades na construção do conteúdo junto ao professor. Palavras chaves : Cônicas, Elipse, Forma dinâmica, Aprendizagem significativa.
ABSTRACT: The teaching of conics has long been difficult for students to access, due to the way it is taught and sometimes not part of the school content. With the difficulties and importance to learn the conics, we propose a dynamic way to teach them in high school, aiming to contribute to a significant learning. Using as a facilitating instrument for the understanding of the conics, a hologram to show the obtaining of the sections, and focusing on the ellipse using
propondo uma forma dinâmica de ensinar as cônicas, que desperte o interesse do aluno por essas curvas que são de primordial importância. Nesse sentido, fizemos uso de um holograma para mostrar a obtenção das cônicas, e focando na cônica elipse, utilizamos a prancheta de concepção elíptica para estimular o aluno a construir os conceitos envolvidos. As atividades propostas foram realizadas com alunos do 3º ano do ensino médio durante aulas de matemática na Escola Estadual Irmã Joaquina Sampaio, localizada no bairro Serrotão, na cidade de Campina Grande, PB. Percebemos que o holograma provocou a curiosidade dos alunos e a construção da elipse facilitou a compreensão dos conceitos, notamos também que os alunos mostraram bastante entusiasmo e bom desempenho nas atividades.
SURGIMENTO DAS CÔNICAS Na Grécia, por volta de 430 a.C, começou o estudo das cônicas devido a uma peste. Para acabar com essa peste, era necessário construir um altar a Apolo com o dobro do tamanho do existente, que tinha formato de um cubo. Por isso, alguns gregos foram em busca de solucionar o problema da duplicação do cubo, mas, inicialmente falharam, pois eles só tinham régua e compasso para resolverem o problema. Menaecmus (380 a.C.- 320 a.C), Astrônomo e grande geômetra grego da academia de Platão, nascido em Alepeconnesus, Ásia menor, onde hoje é a Turquia, em busca de solucionar o problema, foi o primeiro a obter as cônicas por meio de cortes de um cone reto de uma folha por um plano não paralelo à base, tornando-se assim o descobridor das cônicas. Outros matemáticos também estudaram as cônicas, como Euclides (325 a.C. – 265 a.C.). Ele caracterizou as cônicas por meio de um ponto chamado foco e de uma reta chamada diretriz, ou seja, quando uma curva tiver um ponto qualquer cujo a razão entre as distâncias deste ponto até um outro ponto dado e uma reta dada é igual a um, então esta curva é uma parábola; quando for menor que um, é uma elipse; quando for maior que um, é uma hipérbole. O avanço no estudo detalhado das cônicas, só veio depois de um século e meio após o conhecimento dessas curvas, através das contribuições de Apolônio que foram de fundamental importância para o desenvolvimento das secções cônicas em que conhecemos atualmente. Apolônio de Perga foi um matemático e astrônomo que viveu entre os anos de 262 a.C à 190 a.C e nasceu na cidade de Pérgamo, uma cidade grega. A partir de trabalhos anteriores, ele foi o maior colaborador das cônicas, descobriu muitas das propriedades, das quais colocou em sua obra “As Cônicas”, composta por 8 volumes, colocando e aperfeiçoando o que outros
colaboradores desenvolveram no estudo das cônicas e se aprofundou. Mas a ultima obra se perdeu, com isso, Pappus de Alexandria foi o responsável por passar muitas das informações perdidas, das quais sabemos. O trabalho de Apolônio foi tão importante que ele foi considerado em sua época o maior dos geômetras, e não Euclides. Antes de Apolônio, as cônicas eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone reto, de acordo com o ângulo do vértice agudo, reto, ou obtuso. Entretanto, Apolônio mostrou que é possível obter todas as três espécies de secções através de um único cone de duas folhas, variando-se o ângulo de inclinação do plano da secção, e com isso, provou também que o cone não precisa ser reto, podendo ser oblíquo. Apolônio também introduziu os nomes das cônicas que hoje conhecemos como, elipse, parábola e hipérbole, os quais foram tomados da terminologia pitagórica referente à aplicação de áreas: ellipsis (falta), parabole (comparação) e hyperbole (excesso). Ao longo do tempo outras descobertas foram feitas através das cônicas. Como Galileu Galilei (1564 – 1642) ao estudar o movimento dos projeteis lançados horizontalmente, descobriu que a trajetória era no formato de uma parábola. E Kepler mostrou que os planetas se moviam em órbitas elípticas, e se interessou muito pelas cônicas por causa das aplicações na óptica e na construção de espelhos parabólicos.
ESTUDO DAS CÔNICAS Há muitos anos as cônicas vêm sendo estudadas, e atualmente possuem inúmeras aplicações. A seguir, veremos como o estudo das cônicas está sistematizado nos dias atuais. As cônicas são curvas obtidas através da intersecção de um plano com a superfície de um cone circular reto de duas folhas. Dependendo da posição do plano relativamente ao cone obtêm-se três tipos de cônicas: ELIPSE Quando o plano é oblíquo ao eixo, cortando todas as geratrizes de uma das folhas do cone, obtemos uma secção chamada de elipse, como mostra a figura.
Fonte: VENTURI, Jacir J. Cônicas e Quadricas. 5ª ed.Curitiba, 1949.
Se a elipse tem centro 𝐶(0,0):𝑥 𝑎^22 + 𝑦 𝑏^22 = 1
2º caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y (𝑥 − 𝑥 0 )^2 𝑏^2 +
(𝑦 − 𝑦 0 )^2
𝑎^2 = 1
Se a elipse tem centro 𝐶(0,0): 𝑥 𝑏 22 + 𝑦 𝑎^22 = 1
Observação: Na equação reduzida, 𝑎^2 é o maior dos denominadores. Se 𝑎^2 for denominador de: 𝑥^2 então o eixo maior está no eixo x; 𝑦^2 então o eixo maior está no eixo y. Exemplo José deseja construir uma piscina em forma de elipse em um terreno retangular de 20 m por 16 m. Para isso, amarrou as extremidades de uma corda em duas estacas M e N. Com o riscador R, estica a corda deslizando o riscador de forma que a corda fique sempre esticada, assim, obteve o contorno da piscina conforme mostra a figura. Qual deve ser a distância entre as estacas para que se aproveite o máximo do terreno? Solução
Como já sabemos o comprimento dos eixos maior e menor, que são respectivamente 2𝑎 = 20 𝑚 e 2𝑏 = 16 𝑚, e chamando a distância entre as estacas de 2𝑐, podemos usar a relação notável: 𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 , onde 𝑎 = 10 𝑚 e 𝑏 = 8 𝑚, para encontrar a medida de 𝑐. Daí, temos: 𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 ⇒ 10^2 = 8^2 + 𝑐^2 𝑐^2 = 100 − 64 ⇒ 𝑐^2 = 36 ∴ 𝑐 = 6 𝑚 Então, a distância entre as estacas é:2𝑐 = 2 ∙ 6 ⇒ 2𝑐 = 12 𝑚 PARÁBOLA Quando o plano é paralelo a uma só geratriz do cone, o corte obtido é uma parábola, como mostra a figura.
Fonte: VENTURI, Jacir J. Cônicas e Quadricas. 5ª ed.Curitiba, 1949. Definição e elementos Parábola é o conjunto dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa r do plano. Tal que, 𝐹 ∉ 𝑟. Assim, 𝑑(𝑃, 𝐹)^ = 𝑑(𝑃, 𝑟) Os elementos da parábola são: Foco: é o ponto F Reta diretriz: é a reta r Eixo de simetria: é a reta que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz Vértice: V (ponto médio de 𝐹𝑅̅̅̅̅ ) Parâmetro: distância 2 c entre o foco F e a diretriz r Equação reduzida da parábola Seja a parábola com vértice genérico 𝑉 (𝑥 0 , 𝑦 0 ). Consideremos dois casos: 1° caso: Eixo de simetria paralelo ao eixo x
Seja 𝑃(𝑥, 𝑦)^ um ponto qualquer de uma parábola com concavidade para a direita de 𝑉(𝑥𝑂, 𝑦𝑂 ), 𝐹(𝑥𝑂 + 𝑐, 𝑦𝑂) e diretriz𝑥 = 𝑥𝑂 − 𝑐. Pela definição de parábola 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝑄) e procedendo de forma análoga à dedução feita para a equação da elipse, chegamos à equação: (𝑦 − 𝑦𝑂)^2 = 4𝑐(𝑥 − 𝑥𝑂) Parábola com a concavidade voltada para a direita: (𝑦 − 𝑦𝑂)^2 = 4𝑐(𝑥 − 𝑥𝑂) Se 𝑉(0,0), temos: 𝑦^2 = 4𝑐𝑥 Parábola com a concavidade voltada para a esquerda: (𝑦 − 𝑦𝑂)^2 = −4𝑐(𝑥 − 𝑥𝑂) Se 𝑉(0,0), temos: 𝑦^2 = −4𝑐𝑥
2º caso: Eixo de simetria paralelo ao eixo y
Os elementos da hipérbole são: Focos: 𝐹 1 e 𝐹 2 Distância focal: 𝐹̅̅ 1 ̅̅𝐹̅ 2 ̅ = 2𝑐 Centro: C (ponto médio de 𝐹̅̅ 1 ̅𝐹̅̅ 2 ̅ ) Eixo real: 𝐴̅̅ 1 ̅̅𝐴̅̅ 2 ̅ = 2𝑎 Eixo imaginário: ̅𝐵̅̅ 1 ̅𝐵̅̅ 2 ̅ = 2𝑏 Vértices: 𝐴 1 e 𝐴 2
Relação notável Do triângulo retângulo B 1 CA 2 , obtemos: 𝑐^2 = 𝑎^2 + 𝑏^2 Excentricidade
É a razão 𝑒 = 𝑐𝑎, em que 𝑒 > 1, pois 𝑎 < 𝑐. Indica a abertura da hipérbole.
Equação reduzida da hipérbole Seja a hipérbole com centro genérico 𝐶(𝑥 0 , 𝑦 0 ). Consideremos dois casos: 1º caso: O eixo real é paralelo ao eixo x
Seja 𝑃(𝑥, 𝑦) um ponto qualquer de uma hipérbole de focos 𝐹 1 (𝑥𝑂 − 𝑐, 𝑦𝑂)^ e 𝐹 2 (𝑥𝑂 + 𝑐, 𝑦𝑂 ). Pela definição de hipérbole |𝑑(𝑃, 𝐹 1 ) − 𝑑(𝑃, 𝐹 2 )| = 2𝑎e procedendo de forma análoga à dedução feita para a equação da elipse, lembrando que na hipérbole 𝑐^2 = 𝑎^2 + 𝑏^2 , chegamos à equação: (𝑥 − 𝑥 0 )^2 𝑎^2 −
(𝑦 − 𝑦 0 )^2
𝑏^2 = 1
Se a hipérbole tem centro 𝐶(0,0): 𝑎𝑥^22 − 𝑦 𝑏 22 = 1 2º caso: O eixo real é paralelo ao eixo y
(𝑦 − 𝑦 0 )^2
𝑎^2 −
(𝑥 − 𝑥 0 )^2
𝑏^2 = 1
Se a hipérbole tem centro 𝐶(0,0): 𝑦 𝑎^22 − 𝑥 𝑏^22 = 1
Observação: Como podemos ter 𝑎 > 𝑏, 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 < 𝑏. Então, o eixo real sempre coincidirá com o eixo da coordenada que corresponda na equação reduzida à variável com coeficiente positivo. Exemplo Marcos guia seu carro de brinquedo mantendo sempre constante a diferença entre suas distâncias entre dois bonecos. Por causa disso, o carro realiza uma trajetória que é um ramo de
uma hipérbole. A hipérbole pode ser descrita aproximadamente pela equação: 𝑥 92 − 𝑦 162 = 1,
com x e y em cm. Qual a distância entre os dois bonecos?
Solução
Como a equação da hipérbole é expressa por 𝑥 𝑎^22 − 𝑦 𝑏 22 = 1, temos:
𝑥^2 9 −
𝑦^2
𝑎^2 = 9
𝑏^2 = 16 ⇒ {
Como numa hipérbole 𝑐^2 = 𝑎^2 + 𝑏^2 , segue que 𝑐^2 = 𝑎^2 + 𝑏^2 ⇒ 𝑐^2 = 3^2 + 4^2 ⇒ 𝑐 = 5 Como os bonecos estão localizadas nos focos, então, a distância entre elas é 2𝑐 = 10 cm.
O estudo das cônicas é de suma importância, visto que podemos encontrá-las em diversas situações do nosso cotidiano. Contudo, percebemos várias dificuldades no ensino das cônicas, por isso, acreditamos ser necessário promover uma aprendizagem significativa dessas curvas, assim, estamos propondo uma forma dinâmica de ensinar as cônicas.
UMA FORMA DINÂMICA DE ENSINAR AS CÔNICAS A MANEIRA COMO É ENSINADA NAS ESCOLAS
O estudo das cônicas está limitado ao 3° ano do Ensino Médio, na maioria das vezes o conteúdo é limitado apenas a memorização de fórmulas, o que não leva o aluno a entender os conceitos. O professor repassa o conteúdo de forma mecânica e não trabalha a aplicabilidade das propriedades das cônicas no contexto do aluno, onde ele recebe passivamente, apenas
enérgica. Após a exposição da obtenção das secções cônicas através do holograma, foi entregue aos alunos os materiais necessários para a construção da elipse e de seus conceitos, tais como: um guia das atividades e uma prancheta de concepção elíptica. O professor instigou o aluno a construir os conceitos a cerca da elipse, e os alunos realizaram com bastante satisfação e entusiasmo as atividades propostas, de acordo com os procedimentos apresentados a seguir.
PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR No 1° momento, o professor apresenta ao aluno a origem das secções cônicas, fala um pouco da história e mostra por meio de um holograma a obtenção das cônicas. No 2° momento, o professor pede que a turma se divida em grupos de quatro alunos, entregando a cada grupo os seguintes materiais: um guia das atividades e a prancheta de concepção elíptica (base de madeira com uma folha ofício 2 apoiada, com o complemento de dois percevejos presos a um barbante), dando instruções para que tracem a elipse. Em seguida, construindo a definição de elipse com os alunos. No 3° momento, o professor fala da presença da elipse no contexto do aluno. No 4° momento, o professor identifica os elementos e a relação notável com os alunos. Em seguida, dando instruções para que os alunos tracem outras elipses no mesmo material entregue no inicio da aula, colocando os percevejos presos ao barbante em outros pontos de mesma cor, para que observem o comportamento da elipse quando varia apenas a distância entre os focos. No 5° momento, o professor resolve problemas junto com os alunos. Segue anexos.
PROCEDIMENTOS DOS ALUNOS No 1º momento, o aluno deve está curioso para estudar as cônicas. No 2º momento, a classe deve se dividir em grupos de quatro alunos e entender as instruções dadas pelo professor para traçar a elipse, traçando-a. Em seguida, construindo a definição de elipse junto ao professor. No 3º momento, devem notar a presença das cônicas no cotidiano, diante das citações feitas pelo professor. No 4° momento, devem identificar os elementos e a relação notável junto com o professor, anotando no guia das atividades. Em seguida, os alunos devem entender as instruções dadas para que observem o comportamento da elipse quando se varia apenas a distancia entre os focos, chegando a compreender o significado de excentricidade da elipse.
No 5° momento, devem resolver problemas com o professor. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Diante da coleta de dados realizada, a partir das atividades aplicadas obtivemos os seguintes resultados expostos na tabela e no gráfico abaixo.
NOTAS FREQUENCIA (fi) PORCENTAGEM xi xi.fi 0 0,0%^1 1 4 ,0% 3 3 5 20,0%^5 12 48 ,0% 7 84 7 28 ,0%^9 TOTAL 25 100% 175
MÉDIA ARITMÉTICA: 7 , 0 25 ^175
i
i i f X xf
Notação : Os alunos se mostraram bem interessados ao verem o holograma e ao notarem a presença da elipse no seu cotidiano. Também, construíram os conceitos acerca da elipse com facilidade. Observamos que atividades dinâmicas no ensino das secções cônicas é recurso pedagógico de grande importância para estimular a aprendizagem do aluno.
CONCLUSÃO DA EXPERIÊNCIA A partir dos resultados obtidos, percebemos que um ambiente de aprendizagem ativo no ensino das cônicas provoca a curiosidade do aluno. E também, estimulando-o a construir os conceitos através de meios concretos em que possa manusear e visualizar influencia na atribuição de sentido dado pelo aluno ao que está estudando, assim, contribuindo de forma fundamental na aprendizagem dessas curvas. Entretanto, é essencial dar continuidade a este
0,0% 4,0%^ 20,0%
48,0%
28,0%
Número de acertos
ANEXOS
PLANO DE AULA
TEMA : Secções cônicas CONTEÚDO: Elipse OBJETIVO GERAL Promover conhecimentos do aluno acerca das cônicas, despertando sua curiosidade pelo estudo das mesmas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conhecer a origem das cônicas; Distinguir as secções cônicas; Construir a definição de elipse; Notar a presença da elipse no cotidiano; Entender a propriedade refletora da elipse; Identificar os elementos e a relação notável da elipse; Resolver situações problemas com a elipse.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Aula expositiva e dialogada. Iniciaremos a aula apresentando ao aluno a origem das secções cônicas, falando um pouco da história e mostrando por meio de um holograma a obtenção das cônicas. Em seguida, os alunos serão divididos em grupos, recebendo os seguintes materiais: um guia das atividades e uma prancheta de concepção elíptica (base de madeira com uma folha ofício 2 apoiada, com o complemento de dois percevejos presos a um barbante), para que construam a elipse. Na continuação, construiremos a definição da elipse. Em seguida, abordando a presença da elipse em nosso cotidiano, e explicando a aplicação da propriedade refletora da elipse. A seguir, identificaremos os elementos e a relação notável. Em seguida, dando instruções para que os alunos tracem outras elipses no mesmo material entregue no inicio da aula, colocando os percevejos preso ao barbante em outros pontos de mesma cor, para que observem o comportamento da elipse quando varia apenas a distância entre os focos, e cheguem a compreender o significado de excentricidade da elipse. Por fim, resolver problemas que envolvam a elipse. RECURSOS Holograma, vídeos, data show, quadro branco, bases de madeira, folhas ofício 2, percevejos, barbante e lápis.
AVALIAÇÃO
Avaliação será processual, na qual será observado todo o percurso do aluno: Participação na aula, com perguntas e respostas; Interação com seus colegas; Atividades desenvolvidas em sala de aula; Avaliação de verificação de aprendizagem.
BIBLIOGRAFIA GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. Matemática Ensino Médio. Volume 3. 2ª ed. São Paulo: FTD, 2005.
SECÇÕES CÔNICAS Desde a antiguidade as cônicas vêm sendo estudadas, originando-se na Grécia, por volta de 430 a.C. O estudo das cônicas começou devido a uma peste. Para acabar com essa peste, era necessário construir um altar a Apolo com o dobro do tamanho do existente, que tinha formato de um cubo. Por isso, alguns gregos foram em busca de solucionar o problema da duplicação do cubo, através de solucionar esse problema as cônicas foram encontradas pela primeira vez por Menaecmus. Mas, quem mais colaborou para o estudo das cônicas foi Apolônio de Perga (262 a.C - 190 a.C), ele forneceu muitas contribuições em sua obra sobre as cônicas, no qual desenvolveu muitas das propriedades que conhecemos hoje, inclusive, que as três espécies de cônicas são obtidas através do corte de um plano com um único cone de duas folhas, variando apenas o ângulo de inclinação do plano da secção. As cônicas são curvas obtidas através da intersecção de um plano com a superfície de um cone circular reto de duas folhas. Dependendo da posição do plano relativamente ao cone obtêm-se três tipos de cônicas: Elipse Quando o plano é oblíquo ao eixo, cortando todas as geratrizes de uma das folhas do cone, obtemos uma secção chamada de elipse, como mostra a figura.
Eixo menor da elipse: é o segmento ̅𝐵̅̅ 1 ̅𝐵̅̅ 2 ̅ de comprimento 2b e perpendicular 𝐴̅̅ 1 ̅̅𝐴̅̅ 2 ̅ no seu ponto médio. Vértices da elipse: são os pontos 𝐴 1 , 𝐴2,𝐵 1 e 𝐵 2.
Relação notável Através da figura percebemos que 𝐵 1 𝐹 2 = 𝑎, pois 𝐵 1 𝐹 1 + 𝐵 1 𝐹 2 = 2𝑎 e 𝐵 1 𝐹 1 = 𝐵 1 𝐹 2. Logo, do triângulo retângulo B 1 CF 2 , obtemos: 𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 Excentricidade É a razão 𝑒 = 𝑐𝑎. Indica se a elipse é mais, ou menos, “achatada”.
Como a e c são positivos e 𝑐 < 𝑎. Temos 0 < 𝑒 < 1 Se 𝑒 é aproximadamente 0, então a elipse se aproxima mais de uma circunferência. Se 𝑒 é aproximadamente 1, então a elipse é mais achatada.
Equação reduzida da elipse com centro na origem e eixo maior contido no eixo x.
Seja 𝑃(𝑥, 𝑦) um ponto qualquer de uma elipse de focos 𝐹 1 (−𝑐, 0)^ e 𝐹 2 (𝑐, 0). Pela definição de elipse temos:
𝑑(𝑃, 𝐹 1 ) + 𝑑(𝑃, 𝐹 2 ) = 2𝑎 ⇒ √(𝑥 + 𝑐)^2 + (𝑦 − 0)^2 + √(𝑥 − 𝑐)^2 + (𝑦 − 0)^2 = 2𝑎
√(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2 = 2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2
Elevando os dois membros ao quadrado:
(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2 = 4𝑎^2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2 + (𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2
𝑥^2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐^2 + 𝑦^2 = 4𝑎^2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2 + 𝑥^2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐^2 + 𝑦^2
4𝑎√(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2 = 4𝑎^2 − 4𝑐𝑥
Dividindo os dois membros por 4:
𝑎√(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2 = 𝑎^2 − 𝑐𝑥 Elevando os dois membros ao quadrado: 𝑎^2 [(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2 ] = (𝑎^2 − 𝑐𝑥)^2 𝑎^2 (𝑥^2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐^2 + 𝑦^2 ) = 𝑎^4 − 2𝑎^2 𝑐𝑥 + 𝑐^2 𝑥^2 𝑎^2 𝑥^2 − 2𝑎^2 𝑐𝑥 + 𝑎^2 𝑐^2 + 𝑎^2 𝑦^2 = 𝑎^4 − 2𝑎^2 𝑐𝑥 + 𝑐^2 𝑥^2 𝑎^2 𝑥^2 − 𝑐^2 𝑥^2 + 𝑎^2 𝑦^2 = 𝑎^4 − 𝑎^2 𝑐^2 𝑥^2 (𝑎^2 − 𝑐^2 ) + 𝑎^2 𝑦^2 = 𝑎^2 (𝑎^2 − 𝑐^2 ) Como 𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑐^2 , podemos escrever 𝑎^2 − 𝑐^2 = 𝑏^2. Daí, temos: 𝑏^2 𝑥^2 + 𝑎^2 𝑦^2 = 𝑎^2 𝑏^2
Dividindo os dois membros por 𝑎^2 𝑏^2 : 𝑏^2 𝑥^2 𝑎^2 𝑏^2 +
𝑎^2 𝑦^2
𝑎^2 𝑏^2 =
𝑎^2 𝑏^2
𝑎^2 𝑏^2
𝑥^2
𝑎^2 +
𝑦^2
𝑏^2 = 1
Uso da elipse No nosso dia-a-dia, a elipse é muito encontrada em construções e objetos comuns, como em tampos de mesas. A elipse possui uma propriedade bem curiosa, que é a propriedade refletora da elipse, ela diz que quando um raio de luz incide em um dos focos de uma superfície refletora elíptica, ele reflete na direção do outro foco. Essa propriedade é aplicada em: refletores odontológicos , que são utilizados pelos dentistas para concentrar o máximo de luz em um determinado ponto que seja trabalhado e também evitar que os raios luminosos causem desconforto à visão do paciente; salas de sussurros , que são projetadas no formato de meio elipsoide (um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu eixo focal), esse formato de sala é encontrado em museus e castelos para dá condições acústicas especiais, onde deve existir dois pontos (focos da elipse), em que duas pessoas em pé, situadas uma em cada um desses pontos, podem se comunicar claramente apenas sussurrando, mas sendo inaudível ao restante da sala; mesa de bilhar elíptica , sinuca que possui uma tabela no formato de uma elipse com um buraco num dos focos, onde uma bola localizada em dos focos
