Baixe UA'S - CÁLCULO NUMÉRICO PLATAFORMA SAGAH e outras Exercícios em PDF para Cálculo Numérico, somente na Docsity!
CÁLCULO NUMÉRICO
Respostas UA’S
Aula 01 – Introdução ao cálculo numérico e ao erro computacional
- Os métodos numéricos são procedimentos que formulam os problemas matemáticos de forma que sejam resolvidos utilizando operações aritméticas, além de serem capazes de trabalhar com um grande volume de equações, não linearidades e geometrias complexas, que são inviáveis de serem resolvidas de forma analítica. Em relação à definição e às características dos métodos numéricos, analise as afirmações a seguir: I – Os métodos numéricos compreendem a análise dos métodos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações aritméticas. II – Os métodos numéricos utilizam computadores para obterem as respostas numéricas dos problemas. III – Na etapa de programação da solução numérica é formulada a solução por meio do modelo matemático do problema. IV – Na etapa de definição do problema a ser resolvido, são consideradas as análises dos problemas similares em que ocorreu erro, para que não sejam gerados novos erros para o problema. Agora, assinale a alternativa que apresenta a resposta correta: A. Apenas as afirmativas I e II estão corretas. I – Afirmativa correta, pois os métodos numéricos são procedimentos que formulam os problemas matemáticos de forma que sejam resolvidos utilizando operações aritméticas. II – Afirmativa correta, pois os métodos numéricos são aplicados a computadores que realizam cálculos complexos e repetitivos em um pequeno espaço de tempo, gerando soluções precisas, mesmo que não sejam exatas. III – Afirmativa incorreta, pois na etapa de programação da solução numérica são definidos os métodos numéricos que serão utilizados por meio de algoritmos. IV – Afirmativa incorreta, pois na etapa de definição do problema a ser resolvido são listadas as variáveis a serem utilizadas e as restrições aplicadas ao problema.
Aula 02 – Método da Bisseção
Dada função r(s) = s³ + s – 1, no intervalo [0,2], qual é o número c que satisfaz o teorema do valor médio? C. 2/raiz de 3
A equação 2t – 1 – sen(t) = 0 tem quantas raízes reais? D. Uma raiz real.
- Seja t uma função de domínio no conjunto dos números reais e contínua no intervalo [-2, 2] com t(-2) = 1 e t(2) = 3, indique qual das relações define a função s,
de domínio no conjunto dos números reais, para qual o teorema de Bolzano assegura a existência de pelo menos um raiz da função no intervalo [-2, 2]. A. s(u) = u + t(u)
- Dado o intervalo fechado [3, 4] e o erro estimado de ξ ≤ 0,01, assinale o número de iterações para determinar a raiz da função s(t) = t³ - 2 pelo método da bisseção: E. 7
- Dado o intervalo fechado [-1,0] com erro ξ = 0,13 e a função t(u) = t³ -3t -1, selecione qual o intervalo que satisfaz o critério de parada de iteração b – a ≤ ξ pelo método da bisseção: B. [-0,375; -0,25]
Aula 3 – Raízes de funções: bisseção, falsa posição e newton
- Determine os intervalos que contêm as raízes da função f(x)=x^3 -9x+3: C. [-4,-3], [0,1] e [2,3] Podemos mostrar em uma tabela, que a função tem extremos no infinito [-∞,+∞]. Portanto, para reduzir os cálculos, vamos montar uma tabela com os possíveis valores dos gabaritos:
x -∞ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 +∞
f(x) - -77 -25 3 13 11 3 -5 -7 3 31 83 +
Observe que as quebras de sinais, pelo Teorema de Bolzano, ocorrem nos intervalos [-4,- 3], [0,1] e [2,3]. Como sabemos que uma função de 3º grau tem, no máximo, 3 raízes, então elas estão nos intervalos determinados.
- Uma utilidade interessante para o método de Newton, por exemplo, é determinar a aproximação de um irracional. Determine a raiz cúbica de 5, usando o método de Newton. Utilize a função f(x)=x^3 -5. E. 1, f(x)=x3−5f'(x)=3x2f''(x)=6x Sabemos que 1^3 = 1 e que 2^3 = 8, então a raiz cúbica de 5 está entre 1 e 2. Vamos utilizar este intervalo inicial [1,2] e determinar o melhor extremo: f(1)=−4f(2)=3f''(1)=6f''(2)= Como f(2) e f''(2) tem o mesmo sinal, x 0 = 2 é o melhor extremo. xn=xn−1−f(xn)f'(xn)x1=2−f(2)f'(2)=2−312=1,75x2=1,75−f(1,75)f'(1,75)=1,75−0,35939,1875= 1, Resposta: A raiz desejada é x = 1,
- Encontre a raiz da função f(x)=x^3 -9x+3, utilizando o método da Bissecção e tendo como intervalo inicial [0,1]. Utilize duas casas decimais para a aproximação. A. a) 0,
- Para um mesmo conjunto de dados tabelados, foram encontrados os seguintes resíduos: I) 17,89 × 10 –4(ajuste de dados por uma reta) II) 4,756 × 10 –4(ajuste de dados por uma parábola) III) 0,829 × 10 –4(ajuste de dados por um polinômio de grau 3) A partir das informações apresentadas, é correto afirmar que: C. o resíduo que produziu um melhor ajuste foi III.
- Dada a aproximação w(u) = a 1 ln (u) + a 2 e os dados tabelados no quadro abaixo: B. a 1 = 5,473 e a 2 = 0,
Aula 6 – Interpolação
- Dada a função t(u) = cos (u) com os valores tabelados de u 0 = 0 e u 1 = 0,6. Qual é a função de interpolação do primeiro grau para aproximar t(0,45) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente, utilizando o método de resolução de sistema linear para obter o polinômio interpolador? E. p 1 (u) = 1 – 0,29111u e 0,.
- Dada a função r(s) = cos (s) com os valores tabelados de s 0 = 0 , s 1 = 0,6 e s 2 = 0,9, qual é a função de interpolação do segundo grau para aproximar s(0,45) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente, utilizando o método de resolução de sistema linear para obter o polinômio interpolador? C. p 2 (s) = 1 – 0,03246s – 0,43109s² e 0,.
- Dada a função w(t)= sen(πt) com os valores tabelados de t 0 = 1,25 e t 1 = 1,6 , qual é a função de interpolação do primeiro grau, pelo método de Lagrange, para aproximar w(1,4) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente? A. p 1 (t) = 0,16415 – 0,697t e 0,.
- Dado o seguinte quadro de diferenças divididas: Quais são os valores que estão faltando, respectivamente? A. w[u 0 ] = 1, w[u 1 ] = 3 e w[u 0 , u 1 ] = 5. 5 Dada a função k(u) = eu , no intervalo [0,1] , com pontos ui que são igualmente espaçados entre si e h sendo a distância, qual é o maior valor de h para que o erro da interpolação linear, em qualquer ponto de [0,1], seja ≤ 0,01 = E(u)? Considere esse valor com um arredondamento de cinco dígitos significativos pelo método do truncamento. B. h ≥ 0,.
Aula 7 – Interpolação polinomial
- Obtenha o polinômio interpolador de Lagrange para certa função f sabendo que f(-1) = 1; f(0) = -1; f(2) = 2 e f(3) = 2.
C. Pavimento é uma estrutura não perene, formada por camadas de diferentes materiais compactados a partir do subleito. O pavimento é adequado para atender estrutural e operacionalmente ao tráfego de maneira durável e ao mínimo custo possível.
- Considere a tabela a seguir. Utilize o polinômio de Lagrange e calcule o valor de log 2,45. A. 0,
- Determine f(2), utilizando o polinômio de Newton, a partir de f(0) = 1; f(1) = 3 e f(3) = 55 C. 21
- A respeito da interpolação polinomial de Lagrange, o que é correto afirmar? D. É utilizada para a formulação de modelos matemáticos. A interpolação polinomial de Lagrange é utilizada para a formulação de modelos matemáticos, podendo ser usada para polinômios de 3.º grau, e, embora sirva para calcularmos logaritmos, essa não é uma utilidade exclusiva. Além disso, é nas escolas de Engenharia que a interpolação tem o seu maior uso, e, conforme ficou expresso no livro, a interpolação ficou definida no século XVII, muitos séculos depois do fim da escola pitagórica.
- Uma determinada função f(x) mede a densidade (y) do óleo de um motor, a uma temperatura x. Utilize os polinômios de Lagrange de primeira e segunda ordem para avaliar a densidade do óleo do motor a uma temperatura de 15ºC, baseado nos dados previamente apurados. x 1 = 0 f (x 1 ) = 3, x 2 = 20 f (x 2 ) = 0, x 3 = 40 f (x 3 ) = 0, D. 1.ª forma: 1,5625; 2.ª forma: 1,33169.
Aula 8 – Otimização
- Utilize a busca da razão áurea a fim de determinar uma aproximação para o máximo da função f(x) = 3x^2 - 2ex no intervalo xi = 1 e xs = 4****. Faça 4 iterações. D. f ( 1,4721) = -2,
- Utilize a interpolação quadrática para determinar o máximo da função f(x) = 3x^2 - 2ex com aproximações iniciais x 0 = 1 , x 1 = 2 e x 2 = 3****. Faça 7 iterações. A. f ( 1,5121 ) = -2,
- Utilize o método de Newton para determinar o máximo da função f(x) = 3 x 2 - 2 e x com aproximação inicial x 0 = 2. Faça 4 iterações. B. f(1,5121) = -2,
3x – 2y + 2z = -1 ; x + 4y + 3z = -1 ; -2x + y + 4z = - C. x = 3, y = 2, z = -
- Um garoto quer comprar um presente para sua namorada. Ele gostaria de adquirir conjunto composto por um colar, um par de brincos e uma pulseira. Para isso, ele separou R$ 250,00. Ao fazer as contas, verificou que não pode fazer a compra com o dinheiro que tem. Se comprar o colar e os brincos, o valor fica R$ 220,00. Caso compre o colar e a pulseira, o total é de R$ 250,00. Na hipótese de ficar com os brincos e a pulseira, gasta R$ 190,00. Qual é o valor do conjunto completo? D. R$ 330,00.
- Em determinado sistema massa-mola, é possível calcular o deslocamento de cada massa por meio de um sistema de equações lineares. Considere o sistema massa- mola a seguir. E. x 1 = 6, x 2 = 8, x 3 = 8
Aula 11 – Sistemas Lineares: Eliminação de Gauss com Pivotamento
1.Resolva o sistema linear
3 x + 2 y + 4 z = 1
x + y + 2 z = 2
4 x + 3 y + 2 z = 3
D. x = -3; y = 5; z = 0.
- Cada equação do sistema linear
17 c 1 − 2 c 2 − 3 c 3 = 500
− 5 c 1 + 21 c 2 − 2 c 3 = 200
− 5 c 1 − 5 c 2 + 22 c 3 = 30
A.
c 1 = 33,99; c 2 = 18,89; c 3 = 13,38.
- As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, e, assim, percorrerá 550km. Caso ela se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 450 km. Para ir de B para C, passando por A, a distância será de 600km. Determine quantos quilômetros essa pessoa vai percorrer ao se deslocar de A para B, sem passar por C. E. 350km
- Determine a solução do sistema
x + y + 2 z = 4
2 x − 3 y + z = 0
5 x − y − z = 3
C.
x = 1; y = 1; z = 1.
No Dia das Mães, dois amigos decidiram comprar um buquê de flores com rosas e tulipas para oferecer às respectivas mães. O primeiro garoto foi a uma floricultura que cobrava R$ 2,50 por cada flor, independentemente da espécie, e gastou R$ 25,00. Já o segundo rapaz efetuou a compra em outra loja especializada, na qual o valor de cada rosa era R$ 2,00 e o das tulipas, R$ 3,00 a unidade, gastando R$ 24,00. Os dois amigos compraram buquês com a mesma quantidade de rosas e tulipas. Indique quantas flores havia em cada buquê.
B.
Aula 12 – Modelagem Matemática e Métodos Numéricos: erros e sistemas de Ponto
Flutuante.
Dado o número π=3,1415926535…, qual a sua representação com parte inteira igual a zero? C. c) 0,31415926535. π = 3,1415926535… Quando utilizamos a notação em ponto flutuante, a parte inteira é, por padrão, zero. Para isso, é necessário, muitas vezes, deslocar a vírgula. Porém, para que o número não seja alterado, iremos demonstrar que deslocamento foi esse, fazendo o produto pela base elevada a um determinado expoente. No nosso caso, π está representado na base 10 original. Dessa forma, na notação de ponto flutuante, teríamos 0,31415926535. Para que esse número não deixe de representar π, é preciso que a vírgula seja deslocada para a direita novamente e, nesse caso, faríamos uma multiplicação por 10^1 ou simplesmente 10. Obs: quando deslocarmos a vírgula “arbitrariamente” em um número, faremos: se o deslocamento for à esquerda, o expoente será positivo tantas casas quanto for o deslocamento; se for à direita, será negativo tantas casas quanto for o expoente.
Ainda sobre o número π=3,1415926535…, qual o seu arredondamento para 7 dígitos após a vírgula? D. d) 3, Os sete dígitos após a vírgula são 1415926. Como o primeiro dígito após a mantissa é 5, devemos avaliar os dígitos que se seguem. Nesse caso, vale a regra: se o primeiro algarismo após a mantissa for 5 e seguido em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no último algarismo da mantissa. Portanto, temos 3,1415927.
B.
Calcule a raiz de y = 42x^ – x² com o uso do método da secante, sabendo que este se encontra no intervalo [0, 1] e considerando como critério de parada £ 0,. A.
Aula 14 – Integração Numérica: Regra do Trapézio
Calculando pela regra do trapézio com quatro subintervalos, qual é o maior erro cometido na aproximação?
0 4
( 3 u
3
− 3 u + 1 ) du
E. ¿^ Ei ∨ ≤^24
2. Dado o quadro a seguir e a expressão V =∫
0 1
e
v
dv indique o valor aproximado
de V pela regra do trapézio composta
C.
3. Sabendo que V =∫
0 1
e
v
dv =1,7198 pela regra do trapézio com dez subintervalos e
utilizando a fórmula do erro da regra do trapézio, qual é o maior erro cometido? (Utilize o valor de e = 2,718. )
¿ Ei ∨ ≤ 2,265 × 10
− 3
4. Dada a integral ∫
0 1
e
v
dv indique o menor número de subintervalos para que o erro
cometido seja inferior a 0,001. C. 16
5. Determine o valor aproximado de ∫
0 0,
1 + w
dw pela regra do trapézio composta,
considerando apenas três casas decimais. B.
0,
Aula 15 – Integração Numérica: Regra de Simpson
- Indique o valor da integral
1 2
u
du
pela regra de Simpson com precisão de quatro casas decimais. E. 0,
- Considere os dados do quadro a seguir. E leve em conta a expressão
I =∫
0 1
e
i
di Com base em taisdados, indique o valor aproximado de i pela regra do
trapézio composta. C. 1,
3. Considere I =∫
0 1
e
i
di =1,7184 pela regra de Simpson, com dez subintervalos e
utilize a fórmula do erro da regra de Simpson. A partir desses dados, qual é o maior erro cometido? (Utilize o valor de e = 2,718.) B. | Ei | ≤ 1,51 x 10 -
4. Dada a integral ∫
0 1
e
i
di qual é^ o menor número de subintervalos para que o erro
cometido seja inferior a 0,001? C.
5. Sabendo que ∫
1 2
u
du ≈ 0,69315 e ln (2) = 0,69314718, indique a margem de erro
dessa aproximação. B. 2,82 x 10-
Aula 16 – Sistemas Lineares: Método Iterativo de Jacobi
5 x 1 + x 2 − x 3 = 6
x 1 + 3 x 3 =− 4
2 x 1 − 5 x 2 =− 1
E. x 1 =0,779; x 2 =0,511; x 3 =-1,
Aula 17 – Sistemas Lineares: Método Iterativo de Gauss-Seidel
- Em um sistema linear Ax = b , a matriz A é dada por: Qual é a melhor maneira de alterar essa matriz para que seja possível utilizar o método de Gauss-Seidel? C.
- Determine a solução do sistema linear a seguir pelo método iterativo de Gauss- Seidel, com ε ≤ 10 -^2 ou k > 10 e aproximação inicial x(0)^ = (1, 1, 1). A. x 1 = 0,613; x 2 = 0,863; x 3 = 0,.
- Resolva o sistema linear a seguir pelo método iterativo de Gauss-Seidel, com ε ≤ 10 -^2 ou k > 10 e aproximação inicial x(0)^ = (1, 0, 1).
D. x 1 = 0,608; x 2 = –0,473; x 3 = –0,.
- Determine a solução do sistema a seguir pelo método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial x(0)^ = (0, 0) e critérios de parada ε ≤ 10 -^2 ou k > 12. C. x 1 = 0,363; x 2 = –0,.
- Determine a solução do sistema a seguir pelo método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial x(0)^ = (0, 0) e critérios de parada ε ≤ 10 -^3 ou k > 10. E. x 1 = –0,080; x 2 = –0,.
E. x 1 = 0,333; x 2 = -0,333; x 3 = -0,
- Determine a inversa da matriz A, utilizando a decomposição LU: A.
Um engenheiro civil precisa de 5.200m3 de areia, 6.300m3 de brita e 6.100m3 de cascalho para realizar uma construção. Existem três minas diferentes, de modo que são solicitados o material e a composição de extração de cada mina. B. Mina 1: 2.154m^3 ; mina 2: 8.525m^3 , Mina 3: 7289m^3
Aula 19 – Modelagem Matemática e Métodos Numéricos: erros e sistemas de Ponto
Flutuante
O software TKD577 converte números decimais em binários. Foi realizado um teste com os números (205) 10 e (89) 10. Quais seriam os números binários que devem aparecer na tela do computador, respectivamente, para que o software esteja funcionando corretamente? C. 11001101 e 1011001.
A representação de um número real em um computador é realizada pela aritmética do ponto flutuante. Dados os números: I – (49,785) 10 II – (10110011) 2 III – (11001) 2 Indique como seriam as representações desses números no computador respectivamente? A. I – 0,49785 × 102 ; II – 0,10110011 × 21000 ; III – 0,11001 × 2101
- A tabela a seguir descreve os sistemas de representação de quatro máquinas.
Aula 20 – Método de Newton-Raphson
Utilize o método de Newton para encontrar uma estimativa para a raiz positiva da função f(x) = ex^ – 2x – 1 com aproximação inicial x 0 = 1 e ε = 0,. C. A aproximação fornecida pelo método de Newton é de 1,.
Determine o zero positivo da função f(x) = x^2 – cos x , utilizando o método de Newton- Raphson com ε =10–3^ ou 4 iterações no máximo e intervalo (0,5; 1). B. O zero da função para ε = 0,001 é 0,.
Use o método de Newton com o valor inicial especificado x 1 para encontrar x 3 , a terceira aproximação da raiz da equação dada por x^3 – x^2 – 1 = 0. Considere a iteração inicial x 1 = 1 (sua resposta deve conter quatro casas decimais). A. x 3 = 1,
- Calcule a raiz da função f(x) = x − cos(x). Comece o cálculo com x 1 = 1. D. A raiz da função é 0,.
- Dada f(x) = 1/x + x^2 – 5 , determine o zero dessa função pelo método de Newton- Raphson para ɛ = 0,001 no intervalo de 1 a 3 de x. Considere o chute inicial x 0 = 2. D. x 2 = 2,1284 é o zero da função.
Aula 21 – Método da Falsa Posição
Dada a função t(u) = - cos(u) – u³ , com raiz no intervalo fechado [-1, 0] , encontre uma aproximação linear para a raiz de t com precisão de 0,001. D.
Dada a função s(r) = 2r cos(2r) – (r – 2)², com raiz no intervalo fechado [2, 3] , encontre uma aproximação linear para a raiz de s com precisão de 0,00001. A. 2,
- A tabela a seguir descreve o número de iterações da função f(x) = sen(x) – e-x^ no intervalo fechado [3, 4] com ϵ = 10-5. Indique o critério de parada atendido e o seu valor respectivamente. D. |f(ak)| e 2 ∙ 10 -
- As tabelas 1 e 2 determinam a aproximação linear pelo método da secante e da falsa posição da função g(y) = cos y – y no intervalo fechado [0.5, π/4]. Indique a diferença entre a iteração 4 do método da secante e a média aritmética das iterações 4 e 5 do método da falsa posição. A. 1,5215 ∙ 10 -
- Considerando a função g(z) = z³ - 9z + 3 , com raiz no intervalo fechado [0, 1] e precisão 0,0005 e a tabela de iterações pelo método da falsa posição a seguir, indique o critério de parada alcançado e seu valor respectivamente.
