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Tipologia: Notas de estudo
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Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática Matemática para Arquitetura
A trigonometria ( trigono = triângulo, metria = medida) teve origem no estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo, em particular, do triângulo retângulo. Observa uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:
Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme, ou tem declive maior, pois o ângulo de subida é maior (55º^ > 30º). Mas como saber qual das duas rampas é mais íngreme sem conhecer os ângulos de subida? Para responder a esta pergunta precisamos conhecer um pouco de trigonometria. Observa a rampa e a tabela seguinte:
altura
percurso
6 m α
0
1m 2m 4m
afastamento
Figura 1
2m
4m
8m
12m
Figura 2
A 2m 1m B 4m 2m C 8m 4m D 12m 6m
Observando a figura 1 verificamos que os triângulos retângulos, ∆ OAA’, ∆ OBB’, ∆ OCC’, ∆ ODD’ são semelhantes e, portanto, existe uma proporcionalidade entre seus lados. Fazendo a razão entre a altura e o afastamento em cada ponto, temos:
k afastamento
altura = = = = = 12
A constante “ k ” é chamada tangente do ângulo de subida. Para determinar o ângulo de subida basta consultar uma tabela ou uma calculadora. Quanto maior a tangente maior será o ângulo de
subida. Este ângulo também poderia ser obtido através de outras razões. A razão entre a altura e o percurso é chamada seno do ângulo de subida. A razão entre o afastamento e o percurso é chamada co-seno (ou cosseno ) do ângulo de subida. Para utilizarmos essas razões precisamos conhecer o percurso em cada ponto. No nosso caso temos a altura e o afastamento, para calcularmos o percurso, usamos o teorema de Pitágoras. Num triângulo retângulo como o da figura:
c
1 m
2 m
5 m
No nosso caso:
Até o ponto A o percurso será:
p
p
Então, sen α= 5
e cos α= 5
Procurando numa tabela ou numa calculadora encontramos o mesmo ângulo de subida obtido anteriormente através da tangente. No nosso exemplo, no triângulo retângulo da figura (2), o percurso é a hipotenusa, o afastamento e a altura são os catetos, sendo o afastamento o cateto adjacente ao ângulo de subida e a altura o cateto oposto. De maneira geral, podemos definir:
a (^) b
α
a^2 = b^2 + c^2
hipotenusa
hipotenusa
α
cos
sen tg = = catetoadjacentea
catetoopostoa
Usamos com bastante freqüência essas relações para os ângulos de 30º, 45º e 60º e seus valores são dados no quadro abaixo.
10) Um observador em A vê uma torre vertical CD sob um ângulo de 30^0 e caminhados 40m em direção a torre passa a vê-la sob 40^0. Sabendo que a altura do observador é 1,70m, calcula a altura da torre e a que distância ela se encontra do observador.
11) Um mergulhador percorreu uma distância de 40m, entre a superfície e o fundo do mar, segundo uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 50^0 com a superfície. a) Qual é, aproximadamente, a profundidade do local alcançado pelo mergulhador? b) Subindo verticalmente para a superfície, a que distância do ponto em que mergulhou ele sairá aproximadamente?
1) h ≡ 22,93 m (sem levar em conta a altura da pessoa).
2) h ≡ 0,53589 km = 535,89 m d ≡ 2,07055 km = 2070,55 m
3) x ≡ 20,78 m
4) h ≡ 128,56 m
5) d ≡ 17,43 m
6) h = 19,92 m
7) h = 75 km
8) d = 4 m
9) h = 0,25 km = 250 m
10) h = 75,73 m d = 128,23 m
11) a) h = 30,64 m b) x = 25,71 m