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1.3.2 Lei dos cossenos. Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o duplo ...
Tipologia: Notas de aula
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sin
b
a
cos
c
a
tan
b
c
cot
c
b
sec
a
c
csc
a
b
Portanto, podemos derivar as seguintes relações
tan x =
sin x
cos x
cot x =
tan x
sec x =
cos x
csc x =
sin x
Tabela 1: Principais relações trigonométricas
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3 π
2
sin x 0
1
2
√
2
2
√
3
2
cos x 1
√
3
2
√
2
2
1
2
tan x 0
√
3
3
cot x @
√
3
3
sec x 1
2
√
3
3
csc x 0 2
2
√
3
3
1.2.1 Seno da soma
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
1.2.2 Cosseno da soma
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
1.2.3 Seno da diferença
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
Demonstração
sin(a − b) = sin(a + (−b)) de nição
= sin a cos(−b) + sin(−b) cos a seno da soma
= sin a cos b + (− sin b) cos a funções par e ímpar
= sin a cos b − sin b cos a
1.2.4 Cosseno da diferença
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
Demonstração
cos(a − b) = cos(a + (−b)) de nição
= cos a cos(−b) + sin a sin(−b) cosseno da soma
= cos a cos b + sin a(− sin b) funções par e ímpar
= cos a cos b − sin a sin b
1.2.8 Tangente da diferença
tan(a − b) =
tan a − tan b
1 + tan a tan b
Demonstração Exercício
1.2.9 Cotangente da soma
cot(a + b) =
cot a cot b − 1
cot a + cot b
Demonstração Exercício
1.2.10 Cotangente da diferença
cot(a − b) =
cot a cot b + 1
cot b − cot a
Demonstração
tan(a + b) =
cos(a − b)
sin(a − b)
expanda
cos a cos b + sin a sin b
sin a cos b − sin b cos a
divida por sin a.sin b
cos a cos b + sin a sin b
sin a sin b
sin a cos b − sin b cos a
sin a sin b
separe os termos
cos a cos b
sin a sin b
sin a sin b
sin a sin b
sin a cos b
sin a sin b
sin b cos a
sin a sin b
simpli que
cot a cot b + 1
cot b − cot a
1.2.11 Funções circulares de 2ª ordem
cos 2a = cos
2
2 a − sin
2
2 a ⇒
cos 2a = 2 cos
2
a − 1
cos 2a = 1 − 2 sin
2
a
cos
2
a =
1 + cos 2a
sin
2
a =
1 − cos 2a
sin 2a = sin a cos a
tan 2a =
2 tan a
1 − tan
2 a
1.2.12 Fórmulas do produto
sin x cos y =
[sin(x + y) + sin(x − y)]
cos x cos y =
[cos(x + y) + cos(x − y)]
sin x sin y =
[sin(x + y) − sin(x − y)]
1.3.1 Lei dos senos
Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é
constante e igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita.
Demonstração Os ângulos
A e
′ determinam a mesma corda BC na circun-
ferência, portanto, são iguais. Dessa forma, o triângulo A
′ BC é retângulo. Temos
então:
sin
a
2 r
⇒ 2 r =
a
sin
Analogamente, temos:
a
sin
b
sin
c
sin
= 2r
Apêndice - Função par e impar
Seja E ⊆ R um conjunto com a seguinte propriedade de simetria em relação à
origem:
Uma função f : E −→ R é dita par se f (−x) = f (x)
Uma função f : E −→ R é dita ímpar se f (−x) = −f (x)
A nomenclatura provém do fato que a função f (x) = x
k é impar se k é um
número ímpar e par se k é um número par.
Toda função f : R =⇒ R de nida em um conjunto E simétrico em relação à
origem pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar:
f (x) = f i
(x) + f p
(x) =
f (x) − f (−x)
f (x) + f (−x)
Exemplo Seja f (x) = e
x , temos:
f (x) =
e
x − e
−x
e
x
−x
= sinh(x) + cosh(x)
A única função par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula (f (x) = 0).
Há funções que não são nem pares nem ímpares.
Uma função ímpar de nida na origem é nula na origem.
A soma de duas funções de mesma paridade mantem essa paridade.
O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par.
O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar.
A derivada de uma função par é uma função ímpar.
A derivada de uma função ímpar é uma função par.
