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Métodos numéricos para o cálculo de sistemas de equações não lineares
Introdução
Um sistema de equações não lineares é um sistema constituído por combinação de funções
algébricas e funções transcendentes, tais como a função exponencial, a função logaritmo, as funções
trigonométricas, etc.
Devido à não linearidade dos sistemas de equações não lineares eles não podem ser
reduzidos à forma matricial Ax = b, de modo que nem o cálculo direto pelo método de eliminação
gaussiana nem por inversão de matrizes pode ser aplicado. Outra dificuldade vem da diversidade de
funções transcendentes que impede a elaboração de algoritmo que possa ser aplicado a um sistema
de equações não lineares genérico.
Um sistema de três equações não lineares contendo três incógnitas x, y, z pode ser escrito na
forma padrão como:
hx,y, z
gx,y,z
f x,y,z
(1)
A Tabela 1 apresenta exemplos de sistemas de equações não lineares expressos na forma
padrão na coluna direita, de acordo com a equação (1).
Tabela 1. Exemplos de sistemas de equações não lineares
Sistema Forma padrão
2
x y
x lny ( )
g ( x,y) x y
f x,y x lny
2
1 2 3
2 3
1
3
3 1 2
x x x
e x x
x x x
x
1 2 3 1 2 3
2 3
1 1 2 3
3
3 1 2 3 1 2
hx,x ,x x x x
gx,x ,x e x x
f x,x ,x x x x
x
Significado gráfico da solução do sistema de equações não lineares
A solução de um sistema de equações não lineares é o lócus no qual as curvas representadas
pelas equações não lineares se interceptam. A Fig. 1 apresenta o gráfico contendo as curvas das
equações não lineares
2
2 2
x y
x y (2)
que possui duas raízes no intervalo [-2; 2].
Fig. 1. Gráfico mostrando o locus da solução do sistema de equações não lineares.
Método de Gauss-Seidel
A solução do sistema de equações não lineares pelo método de Gauss-Seidel é feito da
mesma forma que na solução de um sistema de equações lineares. Considere um sistema com duas
equações não lineares:
gx, y
f x,y (3)
Podemos escrever o sistema de equações (3) na forma:
y g* ( x,y)
x f* x,y
=
As equações (4) são as funções para o cálculo iterativo pelo método de Gauss-Seidel:
i^ (^ i i)
i i i
y g* x , y
x f* x,y
1 1
1
=
, i = 0, 1, 2, ... (5)
Para i = 0, escolhemos arbitrariamente os valores iniciais x 0 e y 0.
Critério de convergência para o método de Gauss-Seidel:
O critério de convergência do método de Gauss-Seidel é satisfeito quando o desvio absoluto
nas variáveis x e y for inferior ao o erro especificado ε:
i i
i i
y y
x x
1
1 (6)
raiz 1 raiz 2
Os resultados do cálculo convergente estão apresentados na Tabela 3. Com seis iterações, a solução
do sistema de equações não lineares (2) é dado por x = -1,1468 e y = 1,6302, com desvio inferior a
10
Tabela 3. Resultados do cálculo do sistema de equações não lineares pelo método de Gauss-Seidel
i xi yi δδδδ x δδδδ y
0 -1 2
1 -1,2247 1,6583 0,2247 0,
2 -1,1529 1,6324 0,0719 0,
3 -1,1473 1,6304 0,0056 0,
4 -1,1468 1,6302 0,0004 0,
5 -1,1468 1,6302 3,3.
Fig. 2. Gráfico mostrando a sequência dos valores calculados pelo método de Gauss-Seidel
convergente.
Roteiro Matlab
% Solucao do sistema não linear: metodo de Gauss-Seidel x0 = -1; y0 = 2; % Valor inicial dx = 1; dy = 1; i = 0; erro = 1e-4; % Definição dos desvios iniciais
while dx > erro & dy > erro disp(['i = ' num2str(i) ' x = ' num2str(x0) ' y = ' num2str(y0)]); xn = -sqrt(0.5(y0 + 1)); yn = sqrt(0.5(xn.^2 + 4)); dx = abs(xn - x0); dy = abs(yn - y0); x0 = xn; y0 = yn; i = i + 1; end
Método de Newton-Raphson
Devido ao fato que o método de Gauss-Seidel nem sempre converge, utiliza-se o método
Newton-Raphson, que é baseado na derivada das funções e se existir uma raiz do sistema próxima
ao valor inicial, o método irá convergir para a solução.
O método de Newton-Raphson, que foi desenvolvido para o cálculo de raízes de equações
não lineares, também pode ser aplicado para o cálculo iterativo da solução de sistemas de equações
não lineares. Vamos desenvolver o método para um sistema de duas equações não lineares:
gx, y
f x,y (11)
Expandindo as funções f(x,y) e g(x,y) em séries de Taylor em torno de (xi, yi) vem:
f ( x,y) = f( xi ,yi) +fx( xi,yi)( x−xi) +fy( xi,yi)( y−yi) +K= 0
g ( x,y) = g( xi ,yi) +gx( xi,yi)( x−xi) +gy( xi,yi)( y−yi) +K= 0
nas quais:
( xi,yi)
x i i x
f f x,y ∂
≡ e ( )
( xi,yi)
y i i y
f f x,y ∂
( xi,yi)
x i i x
g g x,y ∂
≡ e ( )
( xi,yi)
y i i y
g g x,y ∂
Truncando as séries de Taylor até os termos de 1ª ordem
f x ( xi,yi) ∆xi+fy( xi,yi) ∆yi=−f( xi,yi)
g x ( xi,yi) ∆xi+gy( xi,yi) ∆yi=−g( xi,yi)
Escrevendo na forma matricial:
i i
i i
i
i
x i i y i i
x i i y i i
gx, y
f x,y
y
x
g x,y g x,y
f x,y f x,y (12)
A solução do sistema de equações lineares (12) pode ser utilizado na solução do sistema de
equações não lineares empregando o seguinte esquema iterativo:
^ =
i
i
i
i
i
i
y
x
y
x
y
x
1
1 (13)
A solução é obtida quando o critério de convergência for satisfeito:
i
i
y
x (14)
Exemplo
Cálculo da solução do sistema de equações não lineares (2) pelo método de Newton-
Raphson:
2
2 2
x y
x y (2)
Novamente, tomando-se os valores calculados acima, i = 2, x 2 = -1,1470 e y 2 = 1,6306, na
equação (17), obtém-se:
2
2
,
y
x
,
A solução deste sistema fornece: ∆ x 2 = 0 , 0003 e ∆ y 2 =− 0 , 0004. Substituindo em (13):
^ =
2
2
2
2
3
3
,
y
x
y
x
y
x
Na próxima iteração (i = 4), calculada a partir dos valores i = 3, x 3 = -1,1468 e y 3 = 1,
obtemos os seguintes resultados:
−
7
7
3
3
1410
y
x
,
Como a solução deste sistema fornece os valores:
8 3 4 310
− ∆ x = ,. e
8 3 6 210
− ∆ y = −,. , que são
os valores dos desvios do método de Newton-Raphson, o cálculo das raízes do sistema de equações
não lineares (2) convergiu para: x = -1,1468 e y = 1,6302.
Os resultados do cálculo passo-a-passo estão resumidos na Tabela 4.
Tabela 4. Resultados do cálculo do sistema de equações pelo método de Newton-Raphson
i xi yi δδδδ x δδδδ y
0 -1 2
1 -1,1667 1,6667 0,1667 0,
2 -1,1470 1,6306 0,0196 0,
3 -1,1468 1,6302 0,0003 0,
4 -1,1468 1,6302 4,3.
Observa-se deste exemplo que o método de Newton-Raphson converge rapidamente para a
solução, diferentemente do método de Gauss-Seidel, cuja convergência e rapidez dependerão do
sistema de equações não lineares.
Roteiro Matlab
% Sistema de equações não lineares: metodo de Newton-Raphson x0 = -1; y0 = 2; dx = 1; dy = 1; i = 0; erro = 1e-4;
while abs(dx) > erro & abs(dy) > erro disp(['i: ' num2str(i) ' x: ' num2str(x0) ' y: ' num2str(y0) ... ' dx: ' num2str(dx) ' dy: ' num2str(dy)]); A = [-2x0 4y0; 4x0 -1]; b = [x0.^2 - 2y0.^2 + 4; -2*x0.^2 + y0 + 1]; delta = A\b; dx = delta(1); dy = delta(2); xn = x0 + dx; yn = y0 + dy; x0 = xn; y0 = yn; i = i + 1;
end
