Baixe Determinação de Transformadas de Laplace de Funções e outras Slides em PDF para Mecânica, somente na Docsity!

J�··

.

...

I

'. ·.. " '.

(e Ptll)

COMPANHIA PORTUGUESA DE INDúSTRIAS (^) ��CLEARES,SABk

NOTA TBCNICA NQ 8

JRANSFORHAÇÃO DE LAPLACE

I - Equações diferenciais ordinárias

LISBOA

1959

(^1) •

(c: PilO

Quer no plano d a Física Teórica, quer no nível d as suas aplicações práticas, são numerosos os problemas que implicam a resolução d e equa·· ções d iferenciais ord inárias, d e d erivad as parciais ou, aind a, d e equa ções d e d iferenças finitas, (^) Não existe qualquer métod o absolutamente geral para a resolução d estas equações e os métod os clássicos, muitas vezes d e d ifícil utilização1 são aind a complicad os pela necessid ad e d e se atend er constantemente às cond ições nas fronteiras e d e se introd u zirem as cond ições iniciais. Com base no métod o simbólico d e Oliver Heavisid e(l850-1925),criou -se_, já no nosso século, um processo simples e elegante d e resolução d e equações, bem^ fund amentad o d o^ ponto d e^ vista^ matemático, e que^ é d esigna d o por "Cálculo Operacional" ou !l'Jt.o_d.o�t_r_a.n.s.f_o]")ll§S.ã..O__d e__l!�l_ê.c_e_. O gue caracteriza es�e método1 e (^) lhe confere o seu principal inte resse, ��-a ./i!.c_o_n_d_i,çõ.e..'?... iEi_ciais e (^) nol'L).�!l'J.J�s. (fronteiras ) s!()__ .§l-U_to !Jl.�}ls�ment.\3 sai;=!-§J.�itas...'l'?..�c,S>:r:r_e_:r_ila s�g�-· O conhecimento elementar d a transformação d e Laplace permite a re solução d e muitas equações d iferenciais ord inárias d e coeficientes co�� tantes;para o caso d e algumas equações d iferenciais 1�ineares1 d as equa ções d e d erivad as parciais, equações integrais e equações não lineares, é necessário generalizar para o d omínio d a variável complexa. Nesta pri meira parte, faremos apenas o tratamento elementar.

..

das transformadas de Laplace.

I. l - .T.�e_o_r:e'fi!.él:. 4.a. l:i.p_c_a!_i_d_a�ª-.e.� 11A trâ.nsformação de Laplace é uma trans formação linear que satisfaz o princípio da sobreposição". E uma consequência imediata da definição da transformação de Lapla ce e das propriedades dos integrais. Com efeito , a transformada da função K f(t ) , em que K é constante, ser.á L K f ( t ) = K L f(t ) = K i(p) e, por conseguinte , L (^) r Klfl ( t ) + K 2 f 2 ( t ) 1 =^ Kl fl (p)^ +^ K 2 f 2 (p)

I. 2 - J_c_o_r�!!!§l:.' "Se f ( p) for a transformada de Laplace da função f ( t ) , f(p-a) será a transformada da função eat f(t )n. É� também, uma consequ&:;.'lcia imediata da rJ.efiniçãoo Com efeito,

f^ ''Xl (^) -pt } e o

eat f(t )dt = (^) )("Op e -^ ( p-a t^ )^ f ( t ) dt = - f (p-a), o donde se conclui que multiplicando uma função f ( t ) por e at a trans- formada da nova função está "desviada" de a em relação à transformada de f ( t). Por isso se designa este teorema por lQ teorema da trans··· lação (First Shifting Theorem).

I. 3 - ]:_e!?_r_e.!!'.E-.' "Se for lim e -ptf ( t ) (^) = O, as transformadas de Laplace t. i·"""' de f ( t ) 0 da sua primeira derivada satisfazem a equação L f'(t ) = (^) p f (p) - f(O) 11 Calculemos o integral foct' e-pt^ f' ( t ) dt

Integrando por partes, vem

. � C'JO f ( t ) J o + (^) p (^) f= e-p tf(t)dt = o

·-f( O) +^ p f (p)

ou p f (p) - f(O)

..

Para se. calcular a transformada da 2<:2. derivada, procede-se anàlo gamente (�·, e -pt f"( t) dt

/o

= r e -pt

e , portanto , se for lim

• O() f ' (t) 1 + _I 0

/ :.-:��, P (^) )( e-pt

e-pt f'( t) = O, vir&

f' (t)dt

L f"(t) = -f'(O) + p L f ' ( t) = - f ' (O) + p r P f{p) - f(0)- 1 =

= (^) -f'( O) + p^2 i(p) - p f(O)

= (^) l i (p) - p f ( O) - f ' (O) Repetindo n vezes este processo , obteríamos a transformada da deri vada de ordem n:

L f(n) (t) = pu i(p) - pn-1 f(O) ,,,,. -p f(n-2) (O) - f(n-1) (O) que é apenas vilida se f(t) e todas as suas derivadas atá à ordem n-l forem contínuas.

l - "Considere·· se a função f( t) = l para t >O. (^) Determine a sua trans formada de Laplace",

f (p) =

(':X

-pt l e /O

dt = 1 I_

l p

2 - "Calcule a transfornmda de Laplace da função f(t) = A + Bt + Ct^2 Em virtude do teorema ( I , l) , vir& L :f( t) =^ L (A (^) + J3t

i: L( A) =^ -pt A dt o

i( L (Bt) = >pt Bt

o

!ex- dJ

• ·-l^ e-pt = p (^) o j

• Ct^2 )

= (^) A (^) 1-

dt =^ B

= (^) L(A) + L(Bt)

. -l^ c -pt^ - i^ "'"·' p (^)! (^) o^ =

A p

L(t) = B jc-oe^ -pt

o

l-i (^) r� B ·^ l^ G -pt = B (^) X p (^) o

L (Gt^2 )

t dt =

l 2=p (^) p

( " --------=-Q__....._

B -I^ l^ --ptl^ ""'- t-

-t p. e .J O

B 2

..

5 - Determinar a transformada de Laplace da função f ( t ) = sen - "' t ii

L(sen w t ) = (^) )(cO e^ -pt o

sen L'-'^ t dt =^ r __ -

�

e _

• _

p _

t sen<,-'t (^) l:

'

l - (^) -0_. _____

,_x ( o p )"^ e-pt cos u.a>t dt

•ll (^1) -pt

�.·.v � (^) ·" (. '-pt ) [

= l -

p p c^ c^ os^ t•J^ t^1 '^ e^ sen^ VJ^ t .Ij ·J^ p^ )o (_,.} p

=

l�

!...--·' p L (sen c-J

t ) l

p^2

2 u.J p^2 L ( sen^ c•J^ t ) 2·

• '"" 2 JLCsen Lclt ) = p (^) /

L(sen <ut) =

p 2

p____ 2 1 + (,) 2 p Ou, de outro modo�

Como: (^) ei i.,^ I^ t = c os t..J t + i sen w t

e-i'" t = cos w t - i sen^ v.J^ t Subtraindo , vem;

w

= __ 2 P__ 2 _ _ _ .l' ____^ +<::2._ p^2

dt^ )

)

= --z----2^ 0)

p +^ LJ

i wt -i<.ut

e , portanto:

=^1 2 i

!^ I (^1) i. - -·- ----- '·.p - Í'·'·' = 1 2 i

=

__L--)= 1

1

sen LU t =^ -��--·-·-·:::. ·0- - · ��·-· 2 i

L e( iwt^ - e -iwt) 2 i

p + iL�' 2 i ---·---·-:::::2 i^ w P^2 +w^2 p^2 + .)..)^2 (Ver problema^ Hº^ Lf)

6 - "DetGrmine a transformada de Laplace da função f ( t ) = t sen <v t " Aplicando o teorema (L3), teríamos L f"( t ) = (^) i f(p) - p X f(O) - f'(O) em que f ( t ) = t sen U ) t fI ( t ) = sén :._J..) t + wt f"( t ) = 2 Wcos e, portanto, f(O) =O f'(O ) =O

cv t

Teremos, por conseguinte:

c os IJ-)t u.J^2 t sen uJ t

2 u.JL( cos 'L' t ) --w (^2) L(t sGn w t ) = p^2 L(t sen wt )

Has Hcos Lv t ) =

2u.> L( cos r.v t ) = (^) (p^2 + w^2 ) (^) L(t scm Wt )

i':'G - pt^ COS W t dt = [- � -pt J

co e cos ·» t (^0) � (^) fo = e ·-pt l sen (.v' t dt = p

/ 2

·;_J ..�

= l^ w^ ·---·^ w^ _.____ = l (l = l ____.J2.. ---

Portanto

2 t.V .......12. --

p^2 + (^) l.0^2

p p p^2 + u_)^2 p

__,

= (p^2 + w)^2 L(t sen '...Jt)

Donde: L( t sen U.J t ) = .....?.. �---· ( (^) P^2 + w^2 )^2

7 -" Calcule a transformada da função

p +(A)

f ( t ) = sh '-" t " Por definição e<.<Jt - e••^ Wt sh^ <.<!^ t = ··----· ···i^ ·^ ---·· A transformada será

L( sh-.<iC) =^ i

�' O

e ·..pt vJt^ -cvt la=

;?____ - - -- (^) .c... -·- dt l (^2 )

e^ - (^ D"

l (^) j

e -( p - ,..., )t dt l^

fw

-(p

= - e -^ +^ •.v)^ t (^2) o 2 o

p p^2 + w^2

• cu)t (^) .. (^) e-(p

dt

• 7-

= ____.J2.._ p^2 + w^2

• (^) '..<) (^) )� dt

f(n-2)(t) t

= 2< f(n-2)(0)

f(n-l)(t) = lit^ = t' f(n-l)(O)

Portanto, substituindo estes valores em (1)1 vem

L(l) = e como

l (^) = pn p

pn L(^ l) = ··l^ · p

L (-t_n__)ll! ,/

,teremos

l pn+l

lO -"Calcular a transformada de Laplace da função f(t) � cos^2 (1-.) t Como

= (^) o

= (^) o

cos 2i.vt = cos^2 ._,Jt - sen^2 0Jt = COS^2 LJ.rC'^ � (^) l + COS 2 Lt.l t -- ::!. cos^2 l.,<.) t -l v<?m

cos^2 •-.vt = - l^ - +^.^ ---COS^ -^ ;;,^ ·^2 -^ .vJ^ --^ t-

e podemos escrever

L(cos^2 .,;t) = JJ 1 +^ - cos^ �.. - ..r·-�-�.- ·---�^ 2c......rc

=^ l 2

foco e-pt^ dt + �

j (^) O" (^) - e pt- (^) cos 2 •,;Jt dt

= l

l p e-pt o

o

• } L(^ cos 2Wt) =^ l 2p

+ .!, ___ 2 , Jl. ---. 2

2 p (^) + Ltw

dt =

(ver problema NQ 6)

-lO- II

Dada uma equação diferencial ordinária e substituindo cada um dos seus termos pelas respectivas transformadas do Laplace , obtemos uma equação algébrica, em que a incógnita é a transformada da função que satisfaz à equação diferencial. Resolvendo a equação algébrica, obter·emos a solução da equação di- ferencial proposta pela tr_a_n_sfo_l:'!ll?d_a___ip�e_rs_a. Seja a equação diferencial

.d •^2 ..'l.. (^) + K^2 q = (^) F( t) (II.a) dt^2 --pt 1-!ultiplicando por e e integrando entre O e OG, obtemos uma equação entro as transformadas. Calculemos estas para cada um dos tormos:

L (^ ___.9,.^ =

I d 2 ) \ dt^2

p^2 q(p) - pq (o) - q' (o) (pelo teorema I.3)

L(K^2 q) =^ K^2 q (p) L I" F (t ;I = F (p) ·· Substituindo p^2 q(p) - pq(O) - ou

em (II.a), q' (O) + K^2

vem

i' C p)

(p^2 + K^2 )q(p) = (^) pq(O) + q'(O) + F(p) Resolvendo em ordem a �(p), vem

= .P.!l.. (o). + .'L'..(o). (^2) .2 + F (.p) 2 ___. 2 p + h p (^) + K

(II. b)

(II. c)

(II.c) designa-se por A f (^) unçao-^ p^2 + "2"

e_o,u?ção__B_tl_b_s_i_d_iA_r:L.!;l; da equação diferencial dada. chama-- se fu�1_Ç�?S�.:r;':'"":.�C?���-ey_ís�-�.9_a (^) Q O primeiro termo (^) do 2Q membro da equação (II.c), função das con- dições iniciais1 é a transformada da solução que tende para zero quan do t -·}coe que por isso se chama a solução -�F.?-nsi t�r=i:�; o 2Q termo é independente das condições iniciais, não se anula quando t --�coe é a transformada de:. solução a que chamaremos .�s_t��-�s>E..�.r_ia ou .P.eppl?.P.�n_t�.o A primeira corresponde ao integral geral da equação homogénia (sem 2Q

-12;- NOTAS: lo Para se realizar pràticamento a decomposição. .de um·. quociente de ·po linómios numa soma de fracções parciais, procede-se do seguinte modo: a) Factoriza-se o denominador; b ) Iguala-se o quociente a uma soma do fracções ·cújos d<mominadores são os factores deterl'tinados na alíne·a anterior· e ·cujos· numerado res são constantes c 1 , c 2 , o • • • o a determinar; c ) Para calcular c 1 , c 2 , ..... , multiplic.a::-ae ambos os· membros da igualdade resultante pelo menor múltiplo comum·· dos ·'denomi-nadores do 2º membro ( que é igual ao denominador do.. lQ ·•membro'} e ·iguàlam -se os coeficientes dos termos semelhantes ,('em·J?.) de ambos o s membros; d) Resolve-se em ordem a c 1 , c 2 , •. • • • o sistema ·de ·equaçõe·s resul tante. �xemplo : Decompor em fracções parciais a função

p - l .p(p (^2) - p --·-- 6) Vamos factorizar o denominador p^2 - p - 6^ =^ o

p = l^ :!: /],^ +_ .?.:t 2 Portanto p^2 - p (^) - 6 = (p + 2) (p (^) - 3) Vem, pois

--- p^ -^1 p(p^2 - p - 6)^ =^ --- p(p '+^. l'....:..J. 2) (p --- 3) (^) p + 2 e, multiplicando ambos os membros por p(p + 2) (p

• �- p - 3

• 3),

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os mem- bros, teremos

18c 2

J

cl + c 2 + c 3 = 2c 3 3c 2 - cl l 6cl

) i

l 2c 3

= 1

c 2 + c 3 =

• 3c -^ ··-^1 2 6

• 18c 3 =^ -

-18c 2 + 12c 2 =^7 30c 3 =^4

o

o

Será, por conseguinte,

___^ _;e-1^ = l^1 p(p^2 - p - 6) 6 p

(C: PI N)

1

1

30

• 2 lO

f 6c 2 + 6c 3 =^ -

( -18c 2 + 12c 3 = 7

= 152

-------^1 p + 2

:::18_^ c 2 =-

• +-12c 2 = 7 -30c = 9

2

10

• 2 ··-··--l 15 p - 3

2. Se todas as n raizes de B(p) são diferentes, diremos que^ A(pJB(p) tem A palas simples ou de 1ª ordem. Seria então - (^) A(pl_ q(p) = B(p) =^ ·---

c -�--- p - r 1

c 2

• -···--- p - r 2

• • • • • • • • +

c · ·-····ll-·- p - r (^) n (l)

-13-

Para se calcular cK' neste caso, multiplicam-se ambos os membros da equação (1) por p-rK e toma-se o limite para p -7 rK. Teríamos assim

e, tomando os limites: ....- ..

l

lim p · -7 rK

c 2 (p-rK)

• ---··-·-- +p-r 2

• • CK + • • o • • +

.MJ?J.

-·----, (p - rK) (^) B(p) =^ cK II !' -----�

------··^ cn(p-rK) p-r (^) n

(2)

Como é evidente;·· o lQ membro de (2) conduzirá sempre a uma indeter-· minação que será necessário levantar ou então, o que é mais directo, fazer prCviamente a simplificaçãoo No exemplo da nota anterior que só tem polos simples, viria, apli cando a regra de l'Hôpital:

Para calcularmos c• 1 bastar-nos-á, então , fazer nesta expressão

c' 1 - -

Derivando a expressão (1) em ordmn a .P.• viria

(3)

que nos permite calcular cl' fazendo p = r 1

• q(p) i I p=rl Derivando (3), obteríamos_

q(p)

com o factor p-r 1 e, fazendo p = r 1 , calcularíamos c" 1 i (p) .J^ I p=r l

Procedendo do mesmo modo, poderíamos calcular sucessivamente as constantes c(n) 1 Em^ geral ,^ será

(n) cl =-·-^ ..^1 _, ___ (n-1) i

II

I

.^ d .n-1. -. dpn-^

(p-rl)K^ - q (p) ii

p=rl

As constantes c 2 , c 3 ,.... são calculadas como no caso dos polos simples. Determinados os valores das constantes q(p) ., ficaria decomposta em fracções parciais e tendo presente que, pelo teorema I. 2, é

L-1^.^.^ ^ ]. n

(p-rl)

tn- --·- (n-l)l

vir-nos-ia

q(t) = t

K- C 1 I.^ • �"----^ + (K-1);

(C: p^ III!)

K-

2 c11 1 j;(K-2):____ + � o o. ..-� I que poderia tambéc1 escrever-se

q ( t ) 1 �-d

K-1 (^) K - = (p) ept ------�---

• • • ( p-r 1 )^ q (K-1)! dpK-

n ,- I

• ::t (p-r.) q(p) pt' i=2 � c _I p=ri

�.?_;:.emplo: nnecompor em fracções parciais

J.:1_ (p-2)^2 p^3 li

-16-

p=r 1

a função

A (^) função tem um po1o de 2ª ordem p=2 e outro de 3ª ordem p=O.

u-1 c' 1 cn 1 c' 2 --�- 23 = -----·-z + --- -·· + ·-o;· ( p-2) p (p-2 ) p-2 (^) PJ Vir6 , então de acordo com ( 2 ) , (4)

cli = 1

-i

( p-2 ) 2 '^ -·-·-"'"in--1 3"- ·1^ i ( p-2) p (^) _.1 p=

d 2 n (^) -1 -j

= 1

c p-2 ) ---- "'"- _ dp (p-2) (^) 2_3__p (^) Ip=

=

--- -. 2 i = .::-.?..i'.:!:PJL^!

e seguintes:

d

P^6 i j P=

= 1

• i

c 2 =^ l ��:)�-

l

.J (^) p=O

= 1

I (^2 )

p=O

= 1 c_p-2)_^ __^ - _2_4;--1)<J?.:·.2J L ( p-2)^ p=O

li

2 C 11Y-^ d^ J?.::)____^.^ -I 2 - !2 -2 2 I _I

dp (p-2 )

= ; [

d p=O dp

.,j.u-2-2(P,-1)_____ --- ····--- (p--2) 3

-. i

_I p=O

(^4) - (^) �- = (^) o 16

=

f

L sen ( <-" t +o<: ) =

-·-^1 sen o( + - - cos ""-w^. ----p^ ---· :o2----- 2 l + -� 2 p Por conseguinte, vem:

. �pi(p) + R i ·- (p) = (^) V

donde

= -·^ p^ ..sen^.^ '>!.^ +WCOS^ c<. ·

------.- p^2 + •JJ^2

i(p) = v^ .P_^ s_en.. 2 �- +^ w 2 c^ os^ .,_ - equação subsidiária p +^ w

3

d][ dt

• 2y = O; (^) y(O) =

Pelo teorema Io3, vem:

L y"(t )^ =^ p^2 y(p) - p y(O) -y' ( o ) = (^) p 2 y(p) (^) - p - v Yo o L (^) y ' (t ) =^ p y(p) (^) - y(O) = (^) p y(p) - Yo

L y(t ) = y(p) Por conseguinte: p^2 y(p) - p y 0 - v 0 + 3 p y(pl - 3 y 0 +^2 y(p) = o (p +^2 - 3p+2 )y(p)^ =^ p y 0 + v 0 + 3 y 0

• equação subsidiária

4. -"Determinar a solução da equação diferencial do problema 111•

d._;.1^ j}^ ddi t + R i^ =^ E Vimos que a equação subsidiária é

i(p) - E p( p (^) {., + R )

= - ----- ---.^ E .""-"'"!>\J.:.^ / p+-- 'R\

.. ;^ .^ •.•^ �i'.,

E

-^ -- �--I P\ P+-&/r^ R\

i.

Nas tabelas de transformadas vem que

f(p) ----?^ f(t)

Será pois (^) R

• (^) '!: t l

/ i ( t ) = iiE^. tR '\i^1 -^ e (^) I = }�R (' I '

5. • Integrar a equação diferencial

para as condições Temos que L q( t ) =^ q^ (p) L E =^ E p e pelo teorema I.

.d ,_^2 q (^) + K^2 q dt^2 iniciais q(O)

1 -^ e

= E

= q (^) I ( 0)

R (^) t
:t (^) I

J

= o

L ·^ d^ --'1^2 = p^2 q ( (^) p ) •· p q (O (^) ) ·· q ' (O) - p- q^2 ( p) dt^2 e , portanto

donde q (p) ;:::^ .. - .. -�-·. 2 ··-·- 2 p(p (^) + K )

• equação subsidiária

Na tabela das transformadas vê-se que

li

q ( t ) (1 - cos Kt ) ·· solução da equaçiio dada.

6. • Resolver a equação diferencial

• 3 dtdv (^) + 2y = o

Supondo as condições iniciais y(O) = O e y'(O ) = 1 11 Temos que Ly( t ) = y(p) e pelo teorema I.