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TRABALHO DE ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” – ECC
TRELIÇA PLANA e PÓRTICO PLANO – 1º Semestre de 2009 Prof. Dr. João Kaminski Junior – DECC – CT – UFSM
1) Para a estrutura plana de aço apresentada na figura abaixo determinar os deslocamentos, as reações nos apoios e as ações de extremidade de barra (esforço normal), utilizando o método da rigidez e considerando todos os nós rotulados (treliça plana). Apresentar todos os passos da solução, bem como as matrizes e os vetores envolvidos na análise.
Considerar o módulo de elasticidade longitudinal do aço E = 200 GPa. As barras têm seção transversal em dupla cantoneira, como indicado na figura abaixo.
CONECTIVIDADES: BARRA 1 NÓ INICIAL 1 NÓ FINAL 2 (^23 12 ) (^45 23 )
y
z
Perfil L 76 x 76 x 9, A = 13,6 cm^2 (área da seção transversal de 1 perfil L) Iz = 73,3 cm^4 (momento de inércia em relação ao eixo “z” de 1 perfil L)
2
x
y
10 kN
1
3
4
5
(^1 )
3 4
3 m
35 kN 35 kN
3 m 3 m 3 m
2) Utilizando o programa FTOOL , determine os mesmos valores calculados no item (1). Apresente as reações de apoio e o diagrama de esforço normal fornecidos no FTOOL.
3) Para a mesma estrutura do item (1) determinar os deslocamentos, as reações nos apoios e as ações de extremidade de barra (esforço normal, esforço cortante e momento fletor), utilizando o método da rigidez e considerando todos os nós rígidos (pórtico plano). Apresentar todos os passos da solução, bem como as matrizes e os vetores envolvidos na análise.
4) Utilizando o programa FTOOL , determine os mesmos valores calculados no item (3). Apresente as reações de apoio e os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor fornecidos no FTOOL.
5) Utilizando o programa FTOOL , determine os mesmos valores calculados no item (3), considerando agora uma seção transversal com a mesma área e momento de inércia 10 vezes maior. Apresente as reações de apoio e os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor fornecidos no FTOOL.
6) Comparar e comentar os resultados (deslocamentos, reações nos apoios e diagramas) obtidos nos itens (2), (3), (4) e (5).
deslocamentos restringidos (NR = 4 → D1, D2, D3 e D4), num total de oito GDL (N + NR = 4 + 4 = 8). BARRA 1:
O comprimento “L” da barra “1” vale:
L = 6,0 m
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência local fica:
yL
y
D 2 D 4
D 1 1 D 3 x xL 1 2 Figura 2 - Barra “1” da treliça plana na numeração arbitrária.
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência global fica:
Pode-se observar que para a barra “1” a matriz SM 1 L^ é igual a SM 1 , pois θ = 0º. Neste caso, a matriz de rotação R é igual a matriz identidade.
BARRA 2:
D 6 xL yL^ D 5 x
3 y 2
yL^ D 2
D 1 1
Figura 3 - Barra “2” da treliça plana na numeração arbitrária.
BARRA 3:
O comprimento “L” da barra “3” vale:
L = m
y xL^ D 6 D 5 3
3
D 4
D 3 x yL^2
Figura 4 - Barra “3” da treliça plana na numeração arbitrária
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de referência local fica:
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de referência global fica:
A matriz de rigidez da barra “4” no sistema de referência global fica:
BARRA 5:
yL
y
D 6 D 8
D 5 5 D 7 x xL 3 4
Figura 6 - Barra “5” da treliça plana na numeração arbitrária
O comprimento “L” da barra “5” vale:
L = 6,0 m
A matriz de rigidez da barra “5” no sistema de referência local fica:
A matriz de rigidez da barra “5” no sistema de referência global fica:
A matriz SJ deve ser colocada na numeração prioritária, para que possa ser particionada em S , SRD , SDR e SRR. A numeração prioritária dos GDL para a treliça do exemplo está indicada na figura abaixo.
2
x
y
10 kN
1
3
4
5
(^1 )
3 4 3 m
35 kN 35 kN
3 m 3 m 3 m
D 2 D 4
D 1 D 3
D 6 D 8
D 5 D 7
Figura 7 - Treliça plana na numeração prioritária.
Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numeração prioritária, obtém-se:
Assim, as matrizes S e SDR ficam:
O vetor de cargas nodais na numeração prioritária fica:
, (em N).
Resolvendo o sistema de equações chega-se aos deslocamentos livres:
, (em N).
, (em N).
, (em N).
, (em N).
, (em N).
- Verificação dos cálculos com o auxílio do Ftool.
TRELIÇA PLANA COM APLICAÇÃO DE CARGAS:
DEN + Reações de apoio:
Figura 10 - Diagrama de esforço normal + reações de apoio da treliça plana gerado com o auxílio do software Ftool.
Figura 9 - Treliça Plana com aplicação de cargas gerada com o auxílio do software Ftool.
- Cálculo dos deslocamentos, reações de apoio e das ações de extremidade de barra (esforço normal), considerando todos os nós rígidos.
Coordenadas dos nós de cada barra:
Tabela 2 - Coordenadas dos nós de cada barra de acordo com as coordenadas globais.
Barra
Nó inicial Nó final X Y X Y 1 0,0 0,0 6,0 0, 2 0,0 0,0 3,0 3, 3 6,0 0,0 3,0 3, 4 6,0 0,0 9,0 3, 5 3,0 3,0 9,0 3,
Inicialmente, devem ser determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de referência local e global:
O pórtico plano possui quatro nós (NJ = 4), cinco barras (M = 5), dois nós com algum tipo de restrição (NRJ = 2), oito deslocamentos livres (N = 8 → D3, D6, D7, D8, D9, D10,
2
x
y
10 kN
1
3
4
5
1 2
3 4 3 m
35 kN 35 kN
3 m 3 m 3 m
D 8 D 11
D 7 D 10
D 9 D 12
D 2 D 5
D 1 D 4
D 3 D 6
Figura 11 - Pórtico plano na numeração arbitrária.
