INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Faculdade de Ciências sociais e Humanas
Curso de Licenciatura em Administração Pública
OPTIMIZAÇÃO E APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NA GESTÃO
Noémia Horácio Aloni: 61240784
Tete, Maio de 2024
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Trabalhjo de Matematica Aplicada, Trabalhos de Matemática Aplicada
Resumo sobre tabelas e graficos
Tipologia: Trabalhos
2024
1 / 8
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INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Faculdade de Ciências sociais e Humanas
Curso de Licenciatura em Administração Pública
OPTIMIZAÇÃO E APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NA GESTÃO
Noémia Horácio Aloni: 61240784
Tete, Maio de 2024
INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Faculdade de Ciências sociais e Humanas Curso de Licenciatura em Administração Pública
OPTIMIZAÇÃO E APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NA GESTÃO
Trabalho de Campo a ser submetido na Coordenação do Curso de Licenciatura em Administração Pública da UnISCED. Tutor: António Alfredo Chichongue
Noémia Horácio Aloni: 61240784
Tete, Maio de 2024
3
1.Introdução A presente pesquisa tem como tema “Optimização e aplicação das derivadas na gestão”, focando muito mais na resolução de exercícios de problemas de optimização. O objectivo dos problemas de optimização é determinar os valores extremos de uma função. De referir que este trabalho tem como principal objectivo conhecer a importância de aplicação das derivadas na resolução de problemas de optimização na gestão.
1.1. Objectivos
1.1.1. Ojectivo geral
Conhecer a importância de aplicação das derivadas na resolução de problemas de optimização na gestão.
1.1.2. Objectivos especificos
Preencher lacunas relacionadas ao ensino de cálculo no curso de gestão pública; Calcular a função custo, custo marginal, receita, receita marginal, lucro e lucro marginal de problemas de optimização.
2.Resoluçao de exercicios
2.1 Esboce o gráfico da função, indicando: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑^ − 𝟐𝒙𝟐^ + 𝒙 a) Domínio da funçao : 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 − 2𝑥^2 + 𝑥 ⇒ 𝑥^3 − 2𝑥^2 + 𝑥 = 0 ⇒ 𝑫. 𝑬: 𝒙 ∈ 𝑰𝑹 ,a funçao é contínua em todo o seu domínio, isto é, não tem pontos de descontinuidade. b) Pontos extremos e intervalos de monotonia- usa-se a derivada, sendo assim: 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 − 2𝑥^2 + 𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥^2 − 4𝑥 + 1 De seguida achemos os pontos críticos, 𝑓′(𝑥) = 3𝑥^2 − 4𝑥 + 1 = 0 ⇒ 3𝑥^2 − 4𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑎 = 3; 𝑏 = −4; 𝑐 = 1 ∆= 𝒃𝟐^ − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 ⇒ ∆= (−4)^2 − 4 ∙ 3 ∙ 1 = 4
𝒙𝟏 𝟐⁄ = −𝒃±√∆𝟐𝒂 ⇒ 𝑥1 2⁄ = −(−4)±√42∙3 ⇒ 𝑥1 2⁄ = 4±2 6 ⇒ {
⇐ o 𝟏𝟑 𝒆 𝟏 sao pontos críticos
𝑥 ]−∞; 1
3 [^
𝟑 ]
3 ;^1 [^
𝟏 ] 1 ; +∞[
𝟐𝟕
4
𝑓 (𝟏𝟑) = (^13 )
3 − 2 (^13 )
2
- 13 = (^) 𝟐𝟕𝟒 ⇒ 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 (𝟏𝟑 ; (^) 𝟐𝟕𝟒) e 𝑓(𝟏) = 1^3 − 2 ∙ 1^2 + 1 = 𝟎 ⇒
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 (𝟏; 𝟎)
Intervalos de monotonia :
{
𝑥 ∈ ]−∞; 13 [ é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 ∈ ]^13 ; 1[ é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 ∈ ]1; +∞[ é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Pontos extremos: 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐: (𝟏𝟑 ; (^) 𝟐𝟕𝟒) 𝒆 𝑴 í 𝒏𝒊𝒎𝒐: (𝟏; 𝟎)
c) Concavidade e ponto de inflexão- usa-se a 2ª derivada, como já temos a 1ª derivada: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥^2 − 4𝑥 + 1 ⇒ 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 4 Segunda derivada.
6𝑥 − 4 = 0 ⇒ 6𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 46 = 𝟐𝟑 𝑒 𝑓 (𝟐𝟑) = (^23 )
3 − 2 (^23 )
2
- 23 = (^) 𝟐𝟕𝟐 ⇒ (𝟐𝟑 ; (^) 𝟐𝟕𝟐) Ponto de
refexao
𝑥 (^) ]−∞; 2 3 [^
3 ]
3 ;^ +∞[
𝑥 ∈ ]−∞; 23 [ 𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 é 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.
𝑥 ∈ ] 27 2 ; +∞[ 𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 é 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎.
d) As funções polinomiais não têm assímptotas Zeros da função 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 − 2𝑥^2 + 𝑥:
𝑥^3 − 2𝑥^2 + 𝑥 = 0 𝑥1 2⁄ = −𝑏±√∆2𝑎 = −(−2)±√02∙1 = 2±0 2 ⇒ 𝑥1 2⁄ = 1
⇒ 𝑥(𝑥^2 − 2𝑥 + 1) − 0 Logo, 𝒙𝟏 = 𝟎; 𝒙𝟐 = 𝒙𝟑 = 𝟏 𝒙 = 𝟎 ∨ 𝑥^2 − 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑎 = 1; 𝑏 = −2; 𝑐 = 1⇒ ∆= 𝑏^2 − 4𝑎𝑐⇔(−2)^2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 0 Gráfico da função
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a) Função Receita: 𝑅(𝑞) = (0,001𝑞 + 10)𝑞 ⇒ 𝑹(𝒒) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝒒𝟐^ + 𝟏𝟎𝒒
b) Função Receita Marginal: é so derivar a função receita.
𝑅(𝑞) = 0,001𝑞^2 + 10𝑞 ⇒ 𝑹′(𝒒) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝒒 + 𝟏𝟎
c) Função Receita Marginal dos níveis 𝒒 = 𝟒𝟎𝟎𝟎, 𝒒 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒆 𝒒 = 𝟔𝟎𝟎𝟎 , interpretando seus significados
𝑅′(4000) = 0,002 ∙ 4000 + 10 = 18 Esta é a receita aproximada a 4001ª unidade. 𝑅′(5000) = 0,002 ∙ 5000 + 10 = 20 Esta é a receita aproximada a 5001ª unidade. 𝑅′(6000) = 0,002 ∙ 6000 + 10 = 22 Esta é a receita aproximada a 6001ª unidade. Neste caso verifica-se o crescimento da receita.
d) Gráfico da Receita Marginal
Como pode ver, este é o gráfico da receita marginal, que é uma recta, é crescente. O gráfico é positivo quando 𝑞 é maior do que −5000, isto é, (𝑞 > −5000) e é negativo quando 𝑞 é menor do que −5000, ou então, quendo (𝑞 < −5000).
e) Gráfico da receita
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2.5. 𝑹(𝒒) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝒒𝟐^ + 𝟏𝟎𝒒, 𝒄𝒐𝒎 𝟎 ≤ 𝒒 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎. Suponhando que o custo para a produção das toalhas seja dado por 𝑪(𝒒) = 𝟐𝒒 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎.
a) Função lucro – é a diferença entre a receita e o custo, isto é, 𝑳(𝒒) = 𝑹(𝒒) − 𝑪(𝒒).
𝐿(𝑞) = − 0 , 001 𝑞^2 + 10 𝑞 − 2 𝑞 + 12000 ⇒ 𝑳(𝒒) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝒒𝟐^ + 𝟖𝒒 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎
b) Função Lucro Marginal: 𝐿′(𝑞)^ = − 0 , 002 𝑞 + 8
c) A quantidade que dá o lucro máximo a partir das derivadas do lucro
O lucro máximo acontece quando a derivada do lucro for igual à zero [𝑳′(𝒒) = 𝟎], logo temos:
𝐿′(𝑞) = −0,002𝑞 + 8 ⇒ −0,002𝑞 + 8 = 0 ⇒ −0,002𝑞 = −8 ⇒ 𝑞 = (^) −0,002 −8 = 4000
A quantidade que dá o lucro máximo é de 4000 toalhas.
3. Considerações Finais Feito o trabalho, concluiu-se que através da aplicação dos pontos críticos, pode se conhecer resultados de problemas que em algumas situações são mais próximos da nossa realidade. Não só, viu-se também que as derivadas possuem uma larga importância no que tange ao estudo de optimização na gestão. 4. Bibliografia J. Stewart, Cálculo, 5ª ed., vol. II, São Paulo: Thomson, 2006; L. Leithold, Matemática aplicada à Economia e Administração, São Paulo: Harbra, 2001; A. O. Maronese, “Máximos e Mínimos em Funções de Várias Variáveis: Uma Aplicação da Fórmula de Taylor, com Análise de Autovalores da Matriz Hesiana,” Campinas, 2003; www.google.com