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Topologia da Reta

Maria do Carmo Martins

setembro 2013

Distˆancia entre dois pontos

Dados a, b R, define-se a distˆancia entre a e b por d a, b a b b a

Observa¸c˜ao 1- Tipos de intervalos

Os intervalos de R s˜ao da forma: a, b ; a, b ; a, b ; a, b ; com a b , a ; , a ; b, ; b, ; , R

Ponto interior

Defini¸c˜ao Seja A R. Diz-se que x A ´e ponto interior de A se, e s´o se, existe uma vizinhan¸ca de x contida em A. Ao conjunto de todos os pontos interiores de A, chama-se interior de A e representa-se por int A ou A. Simbolicamente x int A h R : V (^) h x A h 0 : x h, x h A.

• Exerc´ıcio
  • Determine o interior de I 2 ,

Exerc´ıcio 2

Seja A x 1 , x 2 , , x (^) n um conjunto finito. Determine o interior de A.

Observa¸c˜ao 4

Note-se que sendo A um conjunto infinito o int A poder´a ser ou n˜ao o conjunto vazio.

Exerc´ıcio 3

Determine o interior de Q.

Conjunto Aberto

Defini¸c˜ao Um conjunto A R, diz-se aberto se, e s´o se, int A A.

Nota: O conjunto vazio ´e um aberto de R.

Exerc´ıcio 5

Verifique se os seguintes conjuntos s˜ao abertos de R: a) a, b ; b) Q; c) a, b ; d) , a ; e) a, ; f) R; g) a, b ; h) a, b ; i) , a ; j) a,.

Exerc´ıcio 7

Mostre que se A 1 e A 2 s˜ao abertos de R, ent˜ao A 1 A 2 ´e um aberto de R.

Teorema 1 - Propriedades dos Abertos de R

(^1) A intersec¸c˜ao de um n´umero finito de abertos ´e um aberto. (^2) A reuni˜ao de um n´umero finito ou n˜ao de abertos de R ´e um aberto de R. (^3) R e s˜ao abertos de R.

Exerc´ıcio 8

Considere a intersec¸c˜ao infinita

A n N

n ,^

n Averigue se ´e um aberto.

Exerc´ıcio 9

Considere a intersec¸c˜ao infinita B n N

n, n.

Averigue se ´e um aberto.