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CÁLCULO DE POLIGONAIS FECHADAS
A partir dos ângulos medidos em campo (ângulos e distâncias), orientação inicial e coordenadas do ponto de partida, é possível calcular as coordenadas de todos os pontos da poligonal. A resolução do exercício abaixo irá demonstrar os passos para o calculo das coordenadas de poligonais fechadas.
EXERCÍCIO : Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para o levantamento de uma poligonal, determinar as coordenadas dos pontos que formam a mesma. São dados:
Azimute da direção A-B: 45º
Coordenadas da estação A: XA = 0,00 m e YA = 0,00 m
Tolerâncias: Ângular: 2’ x m1/2^ (m = número de ângulos medidos na poligonal) Linear: 1/
Croqui da Poligonal
Seguir os passos para resolução da questão:
1º - Verificação do erro angular; 2º - Correção do erro angular; 3º - Cálculo dos azimutes; 4º - Cálculo das coordenadas provisórias (considerar 3 casas decimais); 5º - Verificação do erro linear; 6º - Cálculo das coordenadas corrigidas (finais);
Ponto Direção Ângulo Horiz Distância (m) A A-B 0°00’00” 56, B B-C 215º32’00” 60, C C-D 288º54’00” 60, D D-E 287º06’00” 44, E E-A 142º07’00” 51, A’=A A’-B 326º19’00”
RESOLUÇÃO:
1º - Verificação do erro angular:
Para a poligonal fechada, antes de calcular o azimute das direções, é necessário fazer a verificação dos ângulos medidos. Uma vez que a poligonal forma um polígono fechado é possível verificar se houve algum erro na medição dos ângulos.
Em um polígono qualquer:
- O somatório dos ângulos medidos (externos) = (n+2) x 180
- O somatório dos ângulos medidos (internos) = (n-2) x 180
O erro angular (e (^) a) = Somatório dos ângulos medidos – (n+2) x 180
Ou seja,
Somatório dos ângulos medidos (externos) = 1259º58’00” e (n+2) x 180 =1260°
Então,
O erro angular (e (^) a) = Somatório dos ângulos medidos – (n+2) x 180 O erro angular (e (^) a) = 1259º58’00” – 1260º = - 0º 2’ 00”
O erro angular (e (^) a) encontrado deve ser menor que a tolerância especificada no exercício. Caso o erro angular seja maior que o erro tolerável (εa) é necessário refazer as medições angulares. Verificando:
(εa) = p x m1/2^ onde: (m = número de angulos medidos e p = precisão do equipamento)
(εa) = 2’ x 51/2^ = 4,47’
|e (^) a| < (εa) então ok!
2º - Correção do erro angular:
A correção se dará nos ângulos formados pelos menores lados da poligonal. O sinal da correção deve ser contrário ao sinal do erro.
Ponto Direção Ângulo Horizontal Correção Ângulo Corrigido Distância (m) A A-B 0°00’00” 0°00’00” 56, B B-C 215º32’00” 215º32’00” 60, C C-D 288º54’00” 288º54’00” 60, D D-E 287º06’00” +1’ 287º07’00” 44, E E-A 142º07’00” +1’ 142º08’00” 51, A’=A A’-B 326º19’00” 326º19’00” Σ 1260°
4º - Cálculo das coordenadas provisórias (considerar 3 casas decimais após a vírgula):
Após todos os ângulos terem sido corrigidos e os azimutes calculados é possível iniciar o cálculo das coordenadas parciais dos pontos, conforme as equações a seguir.
Xi = Xi - 1 + d (^) i – 1,i x sen (Azi-1,i ) Yi = Yi-1 + d (^) i-1,i x cos (Azi-1,i )
Onde: Xi = Coordenada parcial pretendida do ponto em questão; Xi-1 = Coordenada do ponto anterior (estipulada); d (^) i-1,i = Distância do alinhamento anterior; Azi-1,i = Azimute do alinhamento anterior.
Calculando:
XB = XA + d (^) A-B x sen (Az (^) A-B ) XB = 0,00 + 56,57 x sen (45º) XB = 40,001 m
YB = YA + d (^) A-B x cos (Az (^) A-B ) YB = 0,00 + 56,67 x cos (45º) YB = 40,001 m
XC = XB + d (^) B-C x sen (Az (^) B-C ) XC = 40,001 + 60,83 x sen (80º32’) XC = 100,002 m
YC = YB + d (^) B-C x cos (80º32’) YC = 40,001 + 60,83 x cos (80º32’) YC = 50,005 m
XD = XC + d (^) C-D x sen (Az (^) C-D) XD = 100,002 + 60,75 x sen (189º26’) XD = 90,046 m
YD = YC + d (^) C-D x cos (Az (^) C-D) YD = 50,05 + 60,75 x cos (189º26’) YD = - 9,922 m
XE = XD + d (^) D-E x sen (Az (^) D-E) XE = 90,046 + 44,72 x sen (296º33’) XE = 50,042 m
YE = YD + d (^) D-E x cos (Az (^) D-E) YE = -9,922 + 44,72 x cos (296º33’) YE = 10,067 m
XACALCULADO^ = XE + d (^) E-A x sen (Az (^) E-A) XACALCULADO^ = 50,042 + 51,01 x sen (258º41’) XACALCULADO^ = 0,023 m
YACALCULADO^ = YE + d (^) E-A x cos (Az (^) E-A) YACALCULADO^ = 10,067 + 51,01 x cos (258º41’) YACALCULADO^ = 0,057 m
5º - Verificação do erro linear:
A partir do ponto de partida (A), calculam-se as coordenadas parciais dos demais pontos até retornar ao ponto de partida. A diferença entre as coordenadas calculadas e as fornecidas para este ponto resultará no chamado erro linear ou planimétrico cometido.
Como os ângulos foram corrigidos, este erro será decorrente de imprecisões na medição das distâncias.
Calculando o erro linear (ex ) e (e (^) y) para as componentes X e Y:
e (^) x = XACALCULADO^ - XA e (^) y = YACALCULADO^ - YA
e (^) x = 0,023 – 0,00 = 0,023 m e (^) y = 0,057 – 0,00 = 0,057 m
O erro linear (ep) = (e (^) x ² + e (^) y²) 1/
ep = {(0,023)² + (0,057)²) 1/ ep = 0,061 m
Expressando o erro em forma de escala:
É necessário verificar se este erro está abaixo de uma determinada tolerância linear. Normalmente esta é dada em forma de escala, como por exemplo 1/1000. O significado disto é que, em uma poligonal com 1000 m o erro aceitável é 1 m. Para calcular o erro linear em forma de escala utilizam-se as fórmulas abaixo:
ep = 1/Z
Onde:
Z= Σd / (e (^) x ² + e (^) y²) 1/
Σd = somatório de todas as distâncias da poligonal
Z = 273,88 / 0, Z = 4489,
YCCORRIGIDA^ = [YBCORRIGIDA^ + d (^) B-C x cos (Az (^) B-C )] + [-0,057 x {(dB-C ) / Σd}] YCCORRIGIDA^ = [39,989 + 60,83 x cos (80º32’)] + [-0,057 x {(60,83) / 273,88}] YCCORRIGIDA^ = [49,993] + [-0,012] YCCORRIGIDA^ = 49,980 m
XDCORRIGIDA^ = [XCCORRIGIDA^ + d (^) C-D x sen (Az (^) C-D)] + [-0,023 x {(dC-D) / Σd}] XDCORRIGIDA^ = [99,991 + 60,75 x sen (189º26’)] + [-0,023 x {(60,75) / 273,88}] XDCORRIGIDA^ = [90,034] + [-0,005] XDCORRIGIDA^ = 90,028 m
YDCORRIGIDA^ = [YCCORRIGIDA^ + d (^) C-D x cos (Az (^) C-D)] + [-0,057 x {(dC-D) / Σd}] YDCORRIGIDA^ = [49,980 + 60,75 x cos (189º26’)] + [-0,057 x {(60,75) / 273,88}] YDCORRIGIDA^ = [-9,948] + [-0,012] YDCORRIGIDA^ = -9,960 m
XECORRIGIDA^ = [XDCORRIGIDA^ + d (^) D-E x sen (Az (^) D-E)] + [-0,023 x {(dD-E) / Σd}] XECORRIGIDA^ = [90,028 + 44,72 x sen (296º33’)] + [-0,023 x {(44,72) / 273,88}] XECORRIGIDA^ = [50,023] + [-0,003] XECORRIGIDA^ = 50,019 m
YECORRIGIDA^ = [YDCORRIGIDA^ + d (^) D-E x cos (Az (^) D-E)] + [-0,057 x {(dD-E) / Σd}] YECORRIGIDA^ = [-9,960 + 44,72 x cos (296º33’)] + [-0,057 x {(44,72) / 273,88}] YECORRIGIDA^ = [10,028] + [ -0,009] YECORRIGIDA^ = 10,018 m
XACORRIGIDA^ = [XECORRIGIDA^ + d (^) E-A x sen (Az (^) E-A)] + [-0,023 x {(dE-A) / Σd}] XACORRIGIDA^ = [50,019 + 51,01 x sen (258º41’)] + [-0,023 x {(51,01) / 273,88}] XACORRIGIDA^ = [0,000] + [-0,004] XACORRIGIDA^ = 0,00 m
YACORRIGIDA^ = [YECORRIGIDA^ + d (^) E-A x cos (Az (^) E-A)] + [-0,057 x {(dE-A) / Σd}] YACORRIGIDA^ = [10,018 + 51,01 x cos (258º41’)] + [-0,057 x {(51,01) / 273,88}] YACORRIGIDA^ = [0,008] + [-0,010] YACORRIGIDA^ = 0,00 m
POLIGONAL FECHADA - PLANILHA FINAL
Ângulo Horiz.
Ângulo Corrigido (
α
)^
Azimute
Coordenadas Parciais
CoordenadasCorrigidas
Ponto
Direção
º^
‘^
Distância
(m)
Correção Ângular
º^
‘^
“^
º^
‘^
“^
X
P^ (m)
Y
P^ (m)
X
C^
(m)
Y
C^
(m)
A
A-B
B
B-C
C
C-D
D
D-E
E
E-A
A’=A
A’-B
