Baixe Equações do 1º Grau: Conceitos, Resolução e Aplicações - Prof. Borges e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Tópico 3: Expressões e Funções
Polinomiais de 1º Grau
1 Equação
Chama-se equação toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade.
Exemplos:
São equações: Não são equações: x − 2 = 3 32 + 1 = 10 x + y = 4 z ̸= 9 2 x = 12 x − 4 ≤ 7 Como toda equação é uma igualdade, temos:
(^5) | {z }x + 3 = 9 + 3| {z }x ↓ ↓ 1º membro 2º membro
1.1 Variável ou Incógnita de uma Equação de 1º Grau
- A equação x − 2 = 5 tem um elemento desconhecido expresso pela letra x.
- A equação x + y = 10 tem dois elementos desconhecidos expressos pelas letras x e y.
O elemento ou os elementos desconhecidos de uma equação são chamados va- riáveis ou incógnitas.
- O grau de uma equação é dado através do expoente da incógnita, por exemplo, quando a incógnita é x, é como se tivéssemos x^1 , por isso a eqaução é chamada de 1º grau.
- As variáveis ou incógnitas são normalmente expressas por letras.
- Uma equação pode ter uma, duas, três, ... variáveis.
1.2 Conjunto-Universo, Conjunto-Solução e Raiz de uma Equação
Representamos por U , o conjunto-universo e por S , o conjunto-solução de uma equação. Já a raiz é o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira.
Exemplo: Determinar o elemento do conjunto N que torna verdadeira a equação x + 1 = 4. Esse elemento é o número 3 , pois (3) + 1 = 4.
- N é chamado conjunto-universo da equação.
- { 3 } é chamado conjunto-solução da equação.
- O número 3 é chamado raiz da equação.
Então: Equação: x + 1 = 4 U = N S = { 3 } −→ o número 3 é a raiz da equação. Conjunto-Universo(U) é o conjunto de todos os valores da variável.
Conjunto-Solução(S) é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação.
Raiz é o elemento do conjunto-solução da equação. Observe agora, a importância do conjunto-universo.
Equação: x −
= 0 Equação: x −
U = Q U = Z
S = {^13 } S = ∅ pois (^13) ∈Z O conjunto-solução de uma equação depende do conjunto-universo dado.
1.3 Equações Equivalentes
Nas equações seguintes, considere U = Q. Equação: x + 4 = 9 x = 9 − 4 x = 5 S = { 5 } As equações x + 4 = 9, x = 9 − 4 e x = 5 tem o mesmo conjunto-solução.
Duas ou mais equações que têm o mesmo conjunto-solução são chamadas de equações equivalentes.
1.4 Princípios de Equivalência das Equações
1.4.1 Princípio Aditivo
Podemos somar ou subtrair um mesmo número aos dois membros de uma igual- dade, obtendo uma sentença equivalente.
- Seja a equação x − 2 = 6. Somamos 2 aos dois membros da equação: x − 2 +2 = 6 + x − 2 + (^) 2 = 6 + 2 x = 6 + 2, onde S = { 8 }
- Seja a equação
3 x 10
x 10
De modo prático:
3 x ^10
^10
x ^10
^10 ^
⇐⇒ 3 x + 1 = x + 9
3 x − x = 9 − 1
2 x = 8
x =
x = 4, logo S={ 4 }
OBS: Quando todos os termos de uma equação têm o mesmo denominador, este pode ser cancelado. A nova equação é equivalente à equação dada.
1.5 Resolução de uma Equação
- Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-solução.
- Para resolver uma equação, deve-se determinar a equação elementar equivalente à equação dada.
Exemplos:
1) Resolver a equação 2 x = 16, sendo U = Q.
2 x = 16
x =
Logo, S = { 8 }
2) Resolver a equação − 2 x = 8, sendo U = Q. − 2 x = 8 → neste caso podemos multiplicar a equação por (−1) pois o coeficiente que acompanha o x é negativo.então: (−1). − 2 x = 8.(−1) 2 x = − 8
x =
Logo, S = {− 4 }
3) Resolver a equação 2 x + 1 = 13, sendo U = Q. 2 x + 1 = 13 2 x = 13 − 1 2 x = 12
x =
Logo, S = { 6 }
4) Resolver a equação 5(x − 2) − 3(x + 1) = x − 4 , sendo U = Q. 5(x − 2) − 3(x + 1) = x − 4 5 x − 10 − 3 x − 3 = x − 4 5 x − 3 x − x = −4 + 10 + 3 x = 9. Logo, S = { 9 }
5) Resolver
x + 1 2
x − 2 3
x + 3 4
, sendo U = Q.
x + 1 2
x − 2 3
x + 3 4
m.m.c(2, 3 , 2 , 4) = 12
6(x + 1) 12
4(x − 2) 12
3(x + 3) 12
cancelando o denominador comum, temos:
6(x + 1) ^12 ^
4(x − 2) ^12 ^
^12 ^
3(x + 3) ^12 6(x + 1) + 4(x − 2) = 6 − 3(x + 3)
6 x + 6 + 4x − 8 = 6 − 3 x − 9
6 x + 4x + 3x = 6 − 9 − 6 + 8
13 x = − 1
x = −
Logo, S = {− 131 }
1.6 Casos Particulares
Na resolução de uma equação do 1º grau existem 3 possibilidades:
i) A equação ter uma única solução, o que aconteceu em todos os exemplos anteriores.
ii) A equação não ter solução, sendo chamada então de impossível. Exemplo: Resolver a equação 5 x − 6 = 5x no conjunto Q. 5 x − 6 = 5x 5 x − 5 x = 6 0 x = 6 Não há número que multiplicado por 0 resulte em 6. Então, a equação é impossível no conjunto Q. Logo, S=∅
iii) A equação ter infinitas soluções, sendo chamada então de identidade. Exemplo: Resolver a equação 2 x + 5 − 1 = 4 + 2x, sendo U = Q. 2 x + 5 − 1 = 4 + 2x 2 x − 2 x = 4 − 5 + 1 0 x = 0 Qualquer número racional multiplicado por 0 dá 0, logo a equação é uma identidade.
Exemplos:
- Considere o sistema: (^) 5 x + 3y = 2 2 x − 3 y = − 16
Vamos somar membro a membro:
Pra obter o valor de y, basta substituir x = 2 em qualquer uma das equações. Observe: 5 x + 3y = 2 5 · (−2) + 3y = 2 −10 + 3y = 2 3 x = 12 y = 4
Portanto: V= {(− 2 , 4)}.
Observe, que nesse sistema, os coeficientes de uma das variáveis (y) são simétri- cos: 3 y e − 3 y. Por isso, ao somar as duas igualdades, chegamos a uma equação com uma só variável. Quando isso não ocorre, podemos obter valores simétricos utilizando artifícios de cálculos.
- Considere o sistema: (^) 3 x − 5 y = 17 5 x − 7 y = 31
Multiplicamos a 1ª equação pelo coeficiente (x) da 2ª equação e a 2ª equação pelo simétrico do coeficiente do (x) da 1ª equação:
Substituindo y = 2 em uma das equações do sistema, obtemos o valor de x:
3 x − 5 y = 17 5 x − 5 · (2) = 17 3 x = 27 x = 9
Portanto: V= {(9, 2)}.
- (PROBLEMA) Numa olimpíada de Matemática, a prova é composta de 25 ques- tões. Pelo regulamento, cada questão correta vale 4 pontos e cada questão errada vale − 2 pontos. um estudante obteve 76 pontos. Quantas questões acertou e quan- tas errou?
Representação: número de questões certas: x; número de questões erradas: y
Note que o número total de questões é 25, logo x + y = 25
Cada questão certa vale 4 pontos, logo o total de pontos é 4 .x e cada questão errada vale − 2 pontos, logo o total de pontos é − 2 .y. Sistema: (^) x + y = 25 4 x − 2 y = 76
Utilizando o método da adição, vem: x + y = 25 .(2) 4 x − 2 y = 76
2 x + 2y = 50 4 x − 2 y = 76 6 x = 126 x = 1266 = 21
Substituindo o valor de x = 21 na 1ª equação, temos: 21 + y = 25 y = 25 − 21 y = 4. Logo, o número de acertos é 21 e o de erros é 4 ou o par ordenado (21, 4).
3 Razão, Proporção e Regra de Três
3.1 Razão
Razão de dois números é o quociente do primeiro pelo segundo. Exemplo: A 6ª série D, classe de Vinícius, tem 20 meninos e 30 meninas. Podemos comparar esse números, fazendo:
20 30
Dizemos, então, que na classe de Vinícius, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é de 2 para 3.
Na razão
a b
, o número a é o antecedente e o nùmero b é o consequente. Exemplo: A razão de 2 para 5 é
, onde 2 é o antecedente e 5 é o consequente.
Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção o produto dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.
Assim:
Se
a b
c d
, então a.d = c.b
Cálculo do Termo Desconhecido
Exemplos:
- Calcular o valor de x na proporção
x 8
x 8
24 · x = 8 · 15
24 x = 120
x =
x = 5
- Calcular o valor de x na proporção
x − 3 4
x 5 x − 3 4
x 5 5(x − 3) = 4x
5 x − 15 = 4x
5 x − 4 x = 15
x = 15
3.3 Regra de Três
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira.
Exemplo: Uma máquina:
- em 1 hora, produz 100 peças;
- em 2 horas, produz 200 peças. Note que:
1º) dobrando-se o número de horas, o número de peças produzidas também dobra.
razão entre a razão entre a grandeza tempo grandeza produção
Assim, as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma de- las, a outra diminui na mesma razão da primeira. Exemplo: Um veículo faz um percurso em:
- em 2 horas, com a velocidade de 60 km/h.
- em 1 hora, com a velocidade de 120 km/h; Note que:
1º) dobrando-se a velocidade, o tempo diminui pela metade.
razão entre a razão inversa entre a grandeza velocidade grandeza tempo
Assim, as grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais.
Regra de Três Simples
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas através de proporções, envolvendo duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Roteiro para Resolução de Problemas
1) Colocar as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna.
2) Indicar duas grandezas:
- diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido.
- inversamente proporcionais com flechas de sentido contrário.
3) Armar a proporção e resolvê-la.
3.4 Porcentagem
Porcentagem é uma razão cujo denominador é 100, representada pelo símbolo % (por cento), por exemplo:
Problemas de Porcentagem
Os problemas podem ser resolvidos por meio de regra de três simples e direta. Exemplos:
- Calcular 20% de R$ 600,00. Solução: R$ % Interpretação 600,00 100 600,00 99K corresponde a 100% x 20 x 99K corresponde a 20% Armando a proporção e resolvendo, temos:
600 x
100 · x = 600 · 20
x =
x =
Logo, 20% de R$ 600,00 é R$ 120,00. Observação: Na Matemática, a preposição "de" significa uma multiplicação, assim:
20% de R$600, 00 =
× 600 =
- Na compra de um telefone celular, que custava R$ 500,00, obtive um desconto de 15%. De quanto foi o desconto? Solução: R$ % 500,00 100 x 15 Armando a proporção e resolvendo, temos:
500 x
100 · x = 500 · 15
x =
x =
O desconto foi de R$ 75,00.
4 Função Afim
Chamamos de função afim qualquer função de R em R, quando existem constantes a, b ∈ R tais que f (x) = ax + b para todo x ∈ R. Observação: A fórmula matemática f (x) = ax + b pode ser representada por y = ax + b.
Exemplos:
- A função identidade f : R → R, definida por f (x) = x para todo x ∈ R, é afim. Tam- bém são afins as translações f : R → R, f (x) = x + b. São ainda casos particulares de funções afins as funções lineares, f (x) = ax e as funções constantes f (x) = b.
- Outros exemplos de funções afim do tipo f (x) = ax + b:
(a) f (x) = 3x − 1 a = 3 e b = − 1 (b) f (x) = 4x a = 4 e b = 0 99K função linear (c) f (x) = − 2 a = 0 e b = − 2 99K função constante
- Dada a função real f (x) = 3x − 2 , determinar f (5). Resolução: f (x) = 3x − 2 ⇒ f (5) = 3 · (5) − 2 ⇒ f (5) = 13.
- Dada a função real f (x) = ax + b, sabe-se que f (1) = 4 e f (−2) = 10. Escrever a lei de formação da função f e calcular f (2). Resolução: Se f (1) = 4 ⇒ a.(1) + b = 4 ⇒ a + b = 4. Se f (−2) = 10 ⇒ a.(−2) + b = 10 ⇒ − 2 a + b = 10. Vamos determinar a e b resolvendo o sistema: a + b = 4 − 2 a + b = 10 Utilizando o método da adição, onde adicionamos a 1ª equação ao oposto da 2ª equação e daí temos: a + (^) b = 4 2 a − (^) b = − 10 3 a = − 6 a = − 2 Substituindo a = − 2 em uma das equações originais, temos: (−2) + b = 4 ⇒ b = 4 + 2 = 6. Assim, a = − 2 e b = 6, logo a função f é dada por f (x) = − 2 x + 6.
4.1 Gráfico de Uma Função Afim
Observações:
- O gráfico da função afim é uma reta.
- O conjunto imagem da função afim é R.
Exemplos:
2º passo: Gráfico: Marcar os pontos A(0, 1) e B(1, −2) no plano cartesiano:
Im= R
- A figura a seguir representa uma função afim (y = ax + b). Qual o valor da função no ponto x = 3?
Solução: Temos no gráfico da função os pontos A(0, −2) e B(2, 0) e como a função é do tipo y = ax + b, substituimos os valores das coordenadas na equação da função para descobrir os coeficientes a e b; assim: a · (2) + b = 0 a · 0 + b = − 2 2 a + b = 0 b = − 2
Temos: b = − 2. Substituindo b = − 2 na 1ª equação, temos: 2 a − 2 = 0 ⇒ 2 a = 2 ⇒ a = 1. Assim, a = 1 e b = − 2 , logo a função é dada por y = x − 2. Então: f (3) = 1 · 3 − 2 = 1. Logo, o valor da função no ponto x = 3 é 1.
4.2 Coeficientes a e b da função y = ax + b
Coeficiente a
Na função afim y = ax + b, o número real a é chamado de inclinação ou coeficiente angular , mas o mais correto é chamar esse coeficiente de TAXA DE VARIAÇÃO.
Exemplos:
Dê o coeficiente angular (ou taxa de variação) das seguintes funções:
- y = 3x + 4 coeficiente angular a = 3.
- y = −x + 2 coeficiente angular a = − 1.
- y = −8 + 5x coeficiente angular a = 5.
Isso é importante saber!!!
- Se a > 0 , a função é crescente, ou seja, aumentando x aumenta y.
- Se a < 0 , a função é decrescente, ou seja, aumentando x diminui y.
Exemplos:
- f (x) = 3x + 1 a = 3 ⇒ a > 0 (função crescente)
- f (x) = − 2 x + 3 a = − 2 ⇒ a < 0 (função decrescente)
Coeficiente b
Na função afim y = ax + b, o número real b é chamado de coeficiente linear. Exemplo:
Dê o coeficiente linear das seguintes funções:
- y = 2x + 3 coeficiente linear b = 3;
- y = −5 +
x 4
coeficiente linear b = − 5.
Observe que:
Em y = ax + b, para x = 0 temos y = b; o ponto (0,b) é a intersecção da reta com o eixo y.
- Interpretação Geométrica: Construir o gráfico da função real f (x) = x − 3.
Vamos encontrar primeiramente o zero dessa função: f (x) = 0 ⇒ x − 3 = 0 ⇒ x = 3, Assim temos o ponto (3, 0) O coeficiente linear da função f é − 3.
Utilizando o conhecimento visto até aqui, podemos dizer que os pontos que inter- ceptam os eixos coordenados são:
eixo x: (−ab , 0) 99K Geometricamente, o zero da função afim f (x) = ax + b, a ̸= 0 é a abcissa do ponto em que a reta corta o eixo x eixo y: (0, b) 99K Geometricamente, o coeficiente linear sempre corta o eixo y Logo, os pontos (3, 0) e (0, −3) cortam os eixos coordenados. Veja o gráfico:
- Na função real y = − 2 x + 2, o zero da função é x = 1, assim, o ponto (1, 0) é a intersecção da reta com o eixo x. Construindo o gráfico: - quando y = 0 → x = 1, temos o ponto (1, 0) e - quando x = 0 → y = 2 (coef. linear é 2 ), temos o ponto (0, 2).
4.4 Estudo do Sinal da Função Afim
Dada uma função afim f (x) = ax + b, conforme o valor atribuído a x podemos ter:
a) y > 0 ou f (x) > 0;
b) y = 0 ou f (x) = 0;
c) y < 0 ou f (x) < 0;
Exemplos:
- Dada a função real f (x) = 2x − 4 , determinar os valores reais de x para os quais:
(a) f (x) = 0 (b) f (x) > 0 (c) f (x) < 0
- Podemos notar que f é crescente, pois a = 2 > 0.
- A raiz ou zero da função é: 2 x − 4 = 0 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x =
⇒ x = 2 Logo: a reta intercepta o eixo x no ponto de abcissa x = 2. Observando essas considerações, vamos fazer um esboço do gráfico da fun- ção f :
Assim:
- f (x) = 0 para x = 2;
- f (x) > 0 para x > 2
- f (x) < 0 para x < 2
