C´alculo Diferencial e Integral I
1oTeste (Vers˜ao B) 11 de Novembro de 2017
Mestrado em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores
Apresente todos os c´alculos e justifica¸c˜oes relevantes
I. Considere os seguintes subconjuntos de R:(4,5)
A=x:x+ 3
x−2≤1, B ={x:|3−4x|<1}.
a) Identifique os conjuntos AeBe mostre que
C=A∪B= ]−∞,2[ .
b) Indique os conjuntos dos majorantes de C. Determine, se existirem, o supremo e o m´aximo de
C∩Ne de (C∩N)\Q.
c) Decida, justificando, se s˜ao verdadeiras ou falsas as seguintes afirma¸c˜oes:
(i) Qualquer sucess˜ao estritamente decrescente de termos em Ctem limite negativo.
(ii) Qualquer sucess˜ao (un) convergente, de termos em C, tal que unun+1 <0 para qualquer
n∈N1, tem limite 0.
(iii) Se f:C→R´e uma fun¸c˜ao negativa e estritamente crescente, ent˜ao lim f(−n) = −∞.
II. Prove, por indu¸c˜ao, que para qualquer n∈N1,(2,5)
n
X
k=1
k
2k= 2 −n+ 2
2n.
III. 1. Seja h:R→Rdada por h(x)=1/(2 + x2). Mostre que se (xn) ´e uma sucess˜ao real ent˜ao(4,0)
(h(xn)) tem uma subsucess˜ao convergente (em R).
2. Calcule, ou mostre que n˜ao existem em R, os seguintes limites de sucess˜oes:
a) lim (−1)nn2+ 5n
n3+ 2n−1,b) lim (−3)n+n+ 8
n5+ 2n,c) lim 1
n
√nn+π.
IV. Considere a fun¸c˜ao g:R\ {0} → Rdada por(6,5)
g(x) =
carctg 1
x,se x > 0,
1
1 + x2,se x < 0.
com c∈R.
a) Estude gquanto `a continuidade.
b) Ser´a gprolong´avel por continuidade ao ponto 0? Justifique.
c) Calcule lim
x→−∞ g(x) e lim
x→+∞g(x).
d) Calcule a fun¸c˜ao derivada g0e indique os extremos e os intervalos de monotonia de g.
e) Determine o contradom´ınio de g(com c= 2/π).
V. Seja ψ:R+→Ruma fun¸c˜ao diferenci´avel, tal que o conjunto {x∈R:ψ(x)=2x}n˜ao ´e ma jorado.(2,5)
Prove que, se existir lim
x→+∞ψ0(x), ent˜ao lim
x→+∞ψ0(x) = 2.