c) Decida, justificando, se s˜ao verdadeiras ou falsas as seguintes afirma¸c˜oes: (i) Qualquer sucess˜ao estritamente decrescente de termos em C tem limite negativo. Solu¸c˜ao: Falsa. Por exemplo, un = 1/n.

(ii) Qualquer sucess˜ao (un) convergente, de termos em C, tal que unun+1 < 0 para qualquer n ∈ N 1 , tem limite 0. Solu¸c˜ao: Verdadeira: Se (un) ´e uma sucess˜ao de termos em C, e un → , de unun+1 < 0 vem^2 ≤ 0 e portanto ` = 0.

(iii) Se f : C → R ´e uma fun¸c˜ao negativa e estritamente crescente, ent˜ao lim f (−n) = −∞. Solu¸c˜ao: Falsa. Por exemplo, f (x) = arctg(x) − π/2.

(2,5) II. Prove, por indu¸c˜ao, que para qualquer n ∈ N 1 ,

∑^ n

k=

k 2 k^

n + 2 2 n^

Solu¸c˜ao: Para n = 1, a condi¸c˜ao ´e verdadeira, pois 1/2 = 2 − (1 + 2)/2. Se, para algum n, a condi¸c˜ao ´e verdadeira, ent˜ao

n∑+

k=

k 2 k^

n + 2 2 n^

n + 1 2 n+^

n + 3 2 n+^

isto ´e, ´e tamb´em verdadeira para n + 1. Logo, por indu¸c˜ao, ´e verdadeira para qualquer n ∈ N 1.

(4,0) III. 1. Seja h : R → R dada por h(x) = 1/(2 + x^2 ). Mostre que se (xn) ´e uma sucess˜ao real ent˜ao (h(xn)) tem uma subsucess˜ao convergente (em R).

Solu¸c˜ao: Como 0 < h(xn) ≤ 1 /2, para qualquer n ∈ N 1 , a sucess˜ao (h(xn)) ´e limitada e o Teorema de Bolzano-Weierstrass garante o resultado.

Calcule, ou mostre que n˜ao existem em R, os seguintes limites de sucess˜oes:

a) lim

(−1)nn^2 + 5n n^3 + 2n − 1

, b) lim

(−3)n^ + n + 8 n^5 + 2n^

, c) lim

√ nnn (^) + π.

Solu¸c˜ao: a) 0, b) Tem dois sublimites distintos (±∞), pelo que n˜ao existe limite, c) 0, pois 0 < 1 √ nnn (^) + π ≤

n

(6,5) IV. Considere a fun¸c˜ao g : R \ { 0 } → R dada por

g(x) =

c arctg

x , se x > 0, 1 1 + x^2 , se x < 0.

com c ∈ R.

a) Estude g quanto `a continuidade.

Solu¸c˜ao: A continuidade de g decorre da continuidade das fun¸c˜oes constantes, racionais, arctg e dos teoremas da continuidade do produto e da composi¸c˜ao.

b) Ser´a g prolong´avel por continuidade ao ponto 0? Justifique.

Solu¸c˜ao: Como lim x→ 0 +^

g(x) = lim x→ 0 +^

c arctg

x = c

π 2 e lim x→ 0 −^

g(x) = lim x→ 0 −

1 + x^2 = 1, a fun¸c˜ao ´e

prolong´avel por continuidade ao ponto 0 sse c =

π

c) Calcule lim x→−∞ g(x) e lim x→+∞ g(x).

Solu¸c˜ao: lim x→−∞ g(x) = lim x→−∞

1 + x^2

= 0 e lim x→+∞ g(x) = lim x→+∞ c arctg

x

d) Calcule a fun¸c˜ao derivada g′^ e indique os extremos e os intervalos de monotonia de g.

Solu¸c˜ao: g′^ : R \ { 0 } → R ´e dada por

g′(x) =

−c 1 + x^2

, se x > 0, − 2 x (1 + x^2 )^2

, se x < 0.

Por exemplo, se c > 0, tem-se g′(x) < 0 para x > 0, pelo que g ´e estritamente decrescente em ]0, +∞[. Al´em disso, g′(x) > 0 para x < 0, pelo que g ´e estritamente crescente em ] − ∞, 0[ (o caso c < 0 faz-se do mesmo modo).

e) Determine o contradom´ınio de g (com c = 2/π).

Solu¸c˜ao: Pelo Teorema do valor interm´edio e do resultado das al´ıneas anteriores, notando que g ´e uma fun¸c˜ao positiva, tem-se g(] − ∞, 0[) = g(]0, +∞[) =]0, 1[. Logo g(R \ { 0 }) =]0, 1[.

(2,5) V. Seja ψ : R+^ → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel, tal que o conjunto {x ∈ R : ψ(x) = 2x} n˜ao ´e majorado. Prove que, se existir lim x→+∞ ψ′(x), ent˜ao lim x→+∞ ψ′(x) = 2.

Solu¸c˜ao: Se o conjunto indicado n˜ao ´e majorado, pode garantir-se a existˆencia de uma sucess˜ao (xn), de termos no conjunto, estritamente crescente e tal que lim xn = +∞. Aplicando justificadamente o Teorema de Lagrange no intervalo [xn, xn+1], para cada n ∈ N 1 , existe yn ∈]xn, xn+1[ tal que

ψ′(yn) = ψ(xn+1) − ψ(xn) xn+1 − xn

2 xn+1 − 2 xn xn+1 − xn

Como lim yn = +∞, a existˆencia de lim x→+∞ ψ′(x) obriga a que lim x→+∞ ψ′(x) = 2.