UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
JOÃO ANTÔNIO MIRANDA GONDIM
Contribuições à modelagem matemática de epidemias no combate à COVID-19
Recife
2021
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Análise Matemática do Modelo SEIR com Máscaras para Prevenção de COVID-19, Notas de aula de Cálculo
A análise matemática do modelo seir (susceptível-exposto-infectado-recuperado) para prevenção de surtos epidémicos de doenças como a covid-19, utilizando a grande maioria da população que usa máscaras em público. O documento inclui equações diferenciais, cálculos de equilíbrio livre e controle ótimo para o modelo, além de um exemplo de código matlab para implementação.
Tipologia: Notas de aula
2022
Compartilhado em 07/11/2022
usuário desconhecido 🇧🇷
4.6
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
JOÃO ANTÔNIO MIRANDA GONDIM
Contribuições à modelagem matemática de epidemias no combate à COVID-
Recife 2021
JOÃO ANTÔNIO MIRANDA GONDIM
Contribuições à modelagem matemática de epidemias no combate à COVID-
Trabalho apresentado ao Programa de Pós- graduação em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernam- buco, como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor em Matemática.
Área de Concentração : Análise
Orientador : César Augusto Rodrigues Castilho
Recife 2021
JOÃO ANTÔNIO MIRANDA GONDIM
CONTRIBUIÇÕES À MODELAGEM MATEMÁTICA DE EPIDEMIAS NO
COMBATE À COVID-
Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco, como requisito parcial para a obtenção do título de Doutorado em Matemática.
Aprovado em: 10/02/
BANCA EXAMINADORA
________________________________________________________
Prof. Dr. César Augusto Rodrigues Castilho (Orientador) Universidade Federal de Pernambuco
Prof. Dr. Felipe Wergete Cruz (Examinador Interno) Universidade Federal de Pernambuco ________________________________________________________ Prof. Dr. Cilon Valdez Ferreira Perusato (Examinador Interno) Universidade Federal de Pernambuco
Prof. Dr. Eduardo Massad (Examinador Externo) FGV
Prof. Drª. Viviane Moraes de Oliveira (Examinador Externo) Universidade Federal Rural de Pernambuco
A todos que torceram e torcem por mim ao longo desta jornada acadêmica.
RESUMO
Nesta tese, algumas contribuições às pesquisas no combate à pandemia de COVID-19 são apresentadas. Após uma breve introdução às principais técnicas usadas ao longo do trabalho, isto é feito de três maneiras: na primeira, estudamos a eficiência de diferentes estratégias de controle. O modelo é estruturado etariamente e o número reprodutivo básico é calculado por um método de próxima geração, sendo a sua sensitividade com respeito aos parâmetros avaliada numericamente. Isso nos permite inferir estratégias de controle mais adequadas à estrutura etária da população. Na segunda, aplicamos a Teoria de Controle Ótimo ao modelo estruturado etariamente. O Princípio do Máximo de Pontryagin é utilizado para encontrar as estratégias ótimas de quarentena, as quais são simuladas numericamente usando o Algoritmo de Varredura Frente-Trás. Finalmente, analisamos como o uso de máscaras por si só pode contribuir para evitar o surgimento de novas epidemias de doenças respiratórias. Isso é feito por meio de um modelo que divide a população em pessoas que usam máscaras e pessoas que não usam. O número reprodutivo básico é calculado, novamente a partir de um método de próxima geração, e um percentual crítico de indivíduos que usam máscaras em público é deduzido para que um surto epidêmico seja evitado. Os resultados são, então, aplicados aos dados da COVID-19 do Brasil, dos Estados Unidos e da Itália.
Palavras-chaves : Modelagem matemática. Modelo SEIR. Epidemiologia Matemática. COVID-
- Princípio do Máximo de Pontryagin. Uso de Máscaras.
ABSTRACT
In this thesis, research contributions to the combat against the COVID-19 pandemic are presented. After a brief introduction into the main techniques used throughout the work, this is done in three ways: firstly, we study the efficiency of different control strategies. The model is age-structured and its basic reproductive number is calculated via a next generation method, with the sensitivity to the parameters calculated numerically. This allows us to infer control strategies that are more suited to the age structure of the population. Then, Optimal Control theory is applied to the age-structured model. Pontryagin’s Maximum Principle is used to find the optimal quarantine strategies, which are simulated numerically via the Forward-Backward Sweep Algorithm. Finally, we analyze how face-mask use can, by itself, contribute to avoid the emergence of new respiratory disease epidemics. This is done via a model that divides the population into individuals that wear masks and those that do not. The basic reproductive number is again calculated with the next generation method and a critical percentage of individuals that wears masks in public so that an epidemic outbreak is avoided is deduced. The results are, then, applied to the COVID-19 data from Brazil, the United States and Italy.
Keywords : Mathematical Modelling. SEIR model. Epidemiology. COVID-19. Optimal Control. Face-mask use.
Figura 18 – Gráficos do máximo da curva de infectados e do instante em que o máximo é atingido como funções de 𝑝 no caso dos EUA............... 60 Figura 19 – Gráficos das curvas de infectados para diferentes valores de 𝑝 no modelo (5.3) nos casos do Brasil (esquerda) e da Itália (direita)........... 60
LISTA DE CÓDIGOS
SUMÁRIO
- Código Fonte 1 – Cógigo para a Seção 2.2
- Código Fonte 2 – Código para a Seção 3.1 - Modelo não estruturado
- Código Fonte 3 – Código para a Seção 3.1 - Modelo estruturado
- Código Fonte 4 – Análise de sensitividade numérica de 𝑅
- Código Fonte 5 – Algoritmo de Varredura Frente-Trás usado no Capítulo
- Tabela 20 – Número reprodutivo básico em cada país no modelo SEIR padrão.
- 1 INTRODUÇÃO
- 2 REVISÃO DAS TÉCNICAS
- 2.1 MÉTODO DE PRÓXIMA GERAÇÃO
- 2.2 AJUSTE DE PARÂMETROS E ANÁLISE DE SENSITIVIDADE
- 2.3 PRINCÍPIO DO MÁXIMO DE PONTRYAGIN
- TRUTURA ETÁRIA 3 CONTROLE DA COVID-19 EM UMA POPULAÇÃO COM ES-
- 3.1 O MODELO SEIR COM ESTRUTURA ETÁRIA
- 3.2 ANÁLISE DO NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO
- 3.3 OS EFEITOS DE DIFERENTES POLÍTICAS DE QUARENTENA
- COVID-19 4 CONTROLE ÓTIMO ESTRUTURADO ETARIAMENTE PARA A
- 4.1 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
- 4.2 O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
- 4.3 COMPARAÇÃO DE CONTROLES ÓTIMOS PARA DIFERENTES CUSTOS
- CARAS 5 PREVENÇÃO DE UMA EPIDEMIA POR MEIO DO USO DE MÁS-
- 5.1 ESTRUTURA DO MODELO
- 5.2 O NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E ALGUMAS CONSEQUÊNCIAS
- 5.3 AJUSTE DE PARÂMETROS E RESULTADOS NUMÉRICOS
- 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
- REFERÊNCIAS
- APÊNDICE A – CÓDIGOS EM MATLAB
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lhos aplicando a teoria à pandemia de COVID-19 também apareceram, como (GRIGORIEVA; KHAILOV; KOROBEINIKOV, 2020) e (DJIDJOU-DEMASSEA et al., 2020). Finalmente, o Capítulo 4 dedica-se ao artigo (GONDIM, 2021), aceito para publicação na revista Chaos, Solitons & Fractals. Neste trabalho, a eficiência do uso de máscaras como estratégia de controle é estudada em detalhes, como em outros trabalhos como (EIKENBERRY et al., 2020), (CHAN; YUEN, 2020), (CHENG et al., 2020) e (LI et al., 2020). Propomos uma modificação do modelo SEIR que culmina em um critério que determina quando uma epidemia respiratória pode ser evitada apenas pelo uso de máscaras em público, e um percentual crítico de usuários de máscaras na população é derivado. Os resultados são, então, aplicados à situação da COVID-19 no Brasil, na Itália e nos Estados Unidos. Os apêndices contém os principais códigos em MATLAB usados para desenvolver as simu- lações numéricas.
16
2 REVISÃO DAS TÉCNICAS
Neste Capítulo, as técnicas usadas nos Capítulos subsequentes são comentadas. Na Seção 2.1, o método de próxima geração para o cálculo do número reprodutivo básico, 𝑅 0 , é apresen- tado. Na Seção 2.2, indicamos como fazer um ajuste de parâmetros a um conjunto de dados, além de introduzir a análise de sensitividade em relação a esses parâmetros. Finalmente, a Seção 2.3 contém uma introdução ao Princípio do Máximo de Pontryagin, usado para obter controles ótimos para um sistema.
2.1 MÉTODO DE PRÓXIMA GERAÇÃO
Nesta tese iremos considerar alguns modelos compartimentados para doenças contagiosas. Modelos deste tipo começaram a ser estudados com os trabalhos de Kermack e McKendrick (KERMACK; MCKENDRICK, 1927; BRAUER, 2005) nos anos 1920 e têm como ideia central a divisão da população em algumas classes epidemiológicas. Essas classes podem consistir de indivíduos suscetíveis (que são aqueles que ainda não contraíram a doença), expostos (que contraíram a doença mas ainda encontram-se em um período de latência), infecciosos (que transmitem a doença adiante) e removidos (que foram retirados da dinâmica, seja por recuperação ou por morte), por exemplo, e são descritos pelas iniciais dos nomes das classes consideradas. Assim, um modelo SIR, por exemplo, desconsidera o período de latência, o que funciona bem nos casos em que esse período é muito curto. Já um modelo SEIR considera o período de latência. Em ambos os casos, assume-se que a imunidade obtida pela recuperação é perma- nente, de modo que não é possível se infectar pela mesma doença mais de uma vez. Exemplos de modelos que consideram reinfecção são SIRS e SEIRS. Dessa forma, considere o sistema SEIR abaixo
𝑆 ′^ = − 𝛽 𝑆𝐼𝑁 𝐸 ′^ = 𝛽 𝑆𝐼𝑁 − 𝜎𝐸 𝐼 ′^ = 𝜎𝐸 − 𝛾𝐼 𝑅 ′^ = 𝛾𝐼
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de mortalidade, denotada por 𝜇.
𝑆 ′^ = Λ − 𝛽 𝑆𝐼𝑁 − 𝜇𝑆 𝐸 ′^ = 𝛽 𝑆𝐼𝑁 − 𝜎𝐸 − 𝜇𝐸 𝐼 ′^ = 𝜎𝐸 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼 𝑅 ′^ = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅
Nesse caso, deduzir uma fórmula para 𝑅 0 é mais complicado do que antes. É aqui que apresentamos a ideia de matrizes de próxima geração , técnica introduzida por Diekmann e Heesterbeek em (DIEKMANN; HEESTERBEEK; METZ, 1990). O método que apresentamos a seguir foi descrito em (DRIESSCHE; WATMOUGH, 2002). Uma ótima referência para o leitor mais interessado é (MARTCHEVA, 2015). Começamos calculando o equilíbrio livre de doença , que refere-se ao caso 𝐸 = 𝐼 = 𝑅 = 0 em (2.5). Neste caso, ficamos com 𝑆 ′^ = Λ − 𝜇𝑆
e é fácil ver que este equilíbrio é dado por
𝑆 *^ = Λ 𝜇 , 𝐸 *^ = 𝐼 *^ = 𝑅 *^ = 0_._ (2.6)
A ideia é considerar o subsistema de (2.5) formado pelas equações que envolvem compar- timentos da doença, isto é, E e I. Esse subsistema é
𝐸 ′^ = 𝛽 𝑆𝐼𝑁 − 𝜎𝐸 − 𝜇𝐸 𝐼 ′^ = 𝜎𝐸 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼
Agora, escrevemos o lado direito do sistema acima como a diferença entre duas matrizes da seguinte forma: se 𝑥 =
(︃ 𝐸𝐼
)︃ , então escrevemos
𝑥 ′^ = ℱ( 𝑥 ) − 𝒱( 𝑥 ) , (2.8)
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onde ℱ( 𝑥 ) é formada apenas pelos termos que conduzem a novas infecções e 𝒱( 𝑥 ), por sua vez, é formada pelos termos correspondentes à evolução da doença (de exposto para infectado) e demais termos. Assim, temos
⎡ ⎢⎢ ⎣
⎤ ⎥⎥ ⎦ e^ 𝒱( 𝑥 ) =
⎡ ⎢⎢ ⎣
⎤ ⎥⎥ ⎦.^ (2.9) Agora, calculamos as matrizes jacobianas 𝐹 e 𝑉 de ℱ e 𝒱, respectivamente, no equilíbrio livre de doença. Isso nos fornece
𝐹 =
⎡ ⎢⎢ ⎣
⎤ ⎥⎥ ⎦ e^ 𝑉^ =
⎡ ⎢⎢ ⎣
⎤ ⎥⎥ ⎦.^ (2.10)
É possível demonstrar que 𝑉 sempre é uma matriz 𝑀 não singular (ver (BERMAN; PLEM- MONS, 1994)), isto é, os elementos fora da diagonal são todos não-positivos e 𝑉 −^1 tem todos os seus elementos não-negativos. 𝐹 também é, sempre, uma matriz cujos elementos são não- negativos, logo 𝐾 = 𝐹 𝑉 −^1
é sempre uma matriz não-negativa e irredutível (ver (DIEKMANN; HEESTERBEEK; ROBERTS, 2010)). Nesse caso, o raio espectral de 𝐾 (que é o maior valor entre os módulos de todos os seus autovalores) é um autovalor de 𝐾 pelo Teorema de Perron-Frobenius (ver o Capítulo 3 de (GONDIM, 2017)). Dessa forma, a matriz 𝐾 tem sempre um autovalor positivo que é maior que o módulo de todos os outros autovalores. Essa matriz é chamada de matriz de próxima geração e esse autovalor fornece 𝑅 0. No nosso caso, temos
𝑉 −^1 = (^) ( 𝜎 + 𝜇 )(^1 𝛾 + 𝜇 )
⎡ ⎢⎢ ⎣
⎤ ⎥⎥ ⎦ ,^ (2.11)
e então
𝐾 = 𝐹 𝑉 −^1 = (^) ( 𝜎 + 𝜇 )(^1 𝛾 + 𝜇 )
⎡ ⎢⎢ ⎣
⎤ ⎥⎥ ⎦.^ (2.12) Pelo formato da matriz 𝐾 , fica fácil ver que seus autovalores são 0 e 𝑅 0 = (^) ( 𝜎 + 𝜇𝛽𝜎 )( 𝛾 + 𝜇 ). (2.13) O Exemplo acima ilustra a utilidade desta técnica, que será empregada adiante no texto para estudar modelos mais complicados.