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Teoria dos anéis – 2a^ parte 4
objetivos
A U L A
Meta da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- Conhecer algumas propriedades operatórias dos anéis.
- Compreender comportamentos diferentes de elementos de um anel quanto
à operação de multiplicação.
- Aprender as estruturas algébricas de domínio de integridade e corpos.
- Analisar exemplos de domínios de integridade e corpos.
Apresentar algumas propriedades operatórias básicas
dos anéis e descrever tipos especiais de anéis,
chamados domínios de integridade e corpos.
Pré-requisito
Você precisará das propriedades do anel dos
inteiros módulo n , do seu curso de Álgebra I,
e dos conhecimentos de anéis desenvolvidos
na aula anterior.
Álgebra II | Teoria dos anéis – 2a^ parte
INTRODUÇÃO Vamos iniciar esta aula vendo algumas propriedades características do anel dos números inteiros, que tornam os cálculos muito mais fáceis. Em seguida, vamos expandir o conceito de anel e obter duas novas estruturas algébricas.
PROPOSIÇÃO 1
Considere A um anel e a , b ∈ A. Então:
- a .0 = 0. a = 0.
- a. (– b ) = (– a ). b = –( a.b ).
- –(–a) = a.
- (–a).(–b) = a.b.
Demonstração
- Você precisará ter em mãos os axiomas de anel apresentados na Aula 3. Veja que:
a .0 = a .0 + 0 pelo axioma A3; a .0 + 0 = a .0 + ( a .0 + (–( a .0))) pelo axioma A4; a .0 + [ a .0 + (–( a .0))] = [ a .0 + a .0] + (–( a .0)) pelo axioma A1; [ a .0 + a .0] + (–( a .0)) = a. [0 + 0] + (–( a .0)) pelo axioma A8; a .[0 + 0] + (–( a .0)) = a .0 + (–( a .0)) pelo axioma A3; a .0 + (–(a.0)) = 0 pelo axioma A4.
Assim, provamos que a .0 = 0.
- Observe que:
(– a ).b = (– a ). b + 0 pelo axioma A3; (– a ). b + 0 = (– a ). b + [ a.b + (–( a.b ))] pelo axioma A4; (– a ). b + [ a.b + (–( a.b ))] = [(– a ). b + a.b ] + (–( a.b )) pelo axioma A1; [(– a ). b + a.b ] + (–( a.b )) = [(– a ) + a ]. b + (–( a.b ) pelo axioma A8; [(– a ) + a ]. b + (–( a.b ) = 0. b + (–( a.b )) pelo axioma A4;
- b + (–( a.b )) = 0 + (–( a.b )) pela propriedade 1; 0 + (–( a.b )) = – ( a.b ) pelo axioma A3.
Álgebra II | Teoria dos anéis – 2a^ parte
EXISTEM DIFERENTES TIPOS DE ANÉIS!
Observe que a Proposição 1.1 afirma que, se a ou b for igual a
zero, então a.b = 0. Agora, é interessante notar que existem anéis em que
a multiplicação de elementos não-nulos resulta em um produto zero. Por exemplo, no anel Z 6 , temos 2. 3 = 6 = 0. Neste caso, dizemos que 2 e 3
são divisores de zero. Já não é o caso do anel Z , pois, se a ≠ 0 e b ≠ 0,
então a.b ≠ 0, ou seja, o anel Z não tem divisores de zero.
Definição 1
Sejam A um anel e a ∈ A , a ≠ 0. Dizemos que a é um divisor de
zero , se existe b ∈ A , b ≠ 0, tal que a.b = 0.
Definição 2
Um anel A é chamado de um domínio de integridade , se A não possui divisores de zero, isto é, se
a ≠ 0 e b ≠ 0 ⇒ a.b ≠ 0 ,
ou, equivalente,
a.b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0.
A lei do cancelamento para a multiplicação não vale, em geral, para os anéis, mas vale para os domínios de integridade.
PROPOSIÇÃO 2
Sejam A um domínio de integridade e a,b,c ∈ A. Se a.b = a.c e
a ≠ 0, então b = c.
Demonstração
De a.b = a.c , segue que a.b − a.c = 0; logo, a .( b − c ) =
a.b − a.c = 0. Como A é domínio de integridade, a = 0 ou b − c = 0.
Mas, por hipótese, a ≠ 0; portanto, só resta a possibilidade b − c = 0,
ou seja, b = c..
AULA
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ATIVIDADE
Vamos agora para o anel Z 9. Veja que 2. 5 = 10 = 1, ou seja,
como 2. 5 = 1, dizemos que 2 e 5 são elementos invertíveis de Z 9. Já não
é o caso de 6. Não existe nenhum elemento de Z 9 que, multiplicado por 6, seja igual a 1. Neste caso, dizemos que o elemento 6 não é invertível.
Na verdade, 6 é um divisor de zero, pois 6. 3 = 18 = 0.
Definição 3
Sejam A um anel e a ∈ A. Dizemos que a é um elemento
invertível , se existe b ∈ A , tal que a.b = 1. Neste caso, dizemos que b
é um elemento inverso de a. Como o elemento inverso é único, podemos
denotá-lo por a-1. Daí, temos a.a -1^ = a -1. a = 1.
4. Prove que o elemento inverso é único, isto é, prove que, se a.b = 1
e a.b´ = 1 , então b = b´. Prove também que, se a é invertível, então
( c^1 ) -1^ = a.
Exemplo 1
Em todo anel A , os elementos 1 e −1 são invertíveis, pois 1.1 =
1 e (−1).(−1) = 1, pela Proposição 1.4. O zero não é invertível, pois,
pela Proposição 1.1, 0. a = 0 para todo a ∈ A.
Exemplo 2
Os únicos elementos invertíveis do anel Z são 1 e −1.
AULA
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ATIVIDADE
Exemplo 6 Os anéis Q , R e C são corpos. Agora, o anel Z é um domínio de integridade, mas não é um corpo.
Exemplo 7 Pelo que vimos no Exemplo 5, o anel Z p é um corpo para todo p primo. Como Z p só tem um número fi nito de elementos, dizemos que é um corpo fi nito.
PROPOSIÇÃO 4
Todo corpo é um domínio de integridade.
Demonstração
Sejam A um corpo e a ,b ∈ A , com a.b = 0.
Se a = 0, então não há mais o que provar.
Se a ≠ 0, então a é um elemento invertível de A e
b = 1. b = ( a -1. a ). b = a-1.( a.b ) = a -1.0 = 0,
o que prova que A é um domínio de integridade.
5. Justifi que as igualdades na seqüência b = 1. b = ( a -1. a ). b = a-1.( a.b )
= a -1.0 = 0, da demonstração da Proposição 4, utilizando os axiomas de anel, a defi nição de corpo e as propriedades vistas anteriormente.
Álgebra II | Teoria dos anéis – 2a^ parte
Exemplo 8 Se n não é primo, então o anel Z n não é sequer um domínio de
integridade. Pois, se n não é primo, então existem inteiros a e b , 1 < a
< n e 1 < b < n , tal que n = ab. Portanto,
a. b = ab = n = 0,
ou seja, a e b são divisores de zero de Z n.
Os exemplos 4 e 8 são tão importantes, que podemos resumi-los no seguinte teorema:
TEOREMA 1
O anel Z n é um corpo, se, e somente se, n é primo. Mais ainda, se n não é primo, então o anel Z n não é um domínio de integridade.
CONCLUSÃO
É natural que você encontre uma certa dificuldade para se sentir à vontade com os conceitos apresentados nesta aula. Afinal, tratamos de muitas sutilezas e isso requer amadurecimento matemático. Não tenha receio de ler e reler esta aula algumas vezes. A cada releitura alguma dúvida ficará esclarecida. Não tenha receio, também, de procurar seu tutor para esclarecer alguma passagem que resista em permanecer obscura. Mas lembre que é pela insistência que você vai vencer muitas das dificuldades na Matemática. Saiba, também, que a Matemática tem muita elegância e diversão. Nós autores achamos os assuntos tratados nesta aula muito elegantes e esperamos que você, também, venha a apreciá-los.
Álgebra II | Teoria dos anéis – 2a^ parte
Atividade 2
a. (– b ) = a. (– b ) + 0 pelo axioma A3; a. (– b ) + 0 = a. (– b ) + [ a.b + (–( a.b ))] pelo axioma A4; a. (– b ) + [ a.b + (–( a.b ))] = [ a. (– b ) + a.b ] + (–( a.b )) pelo axioma A1; [ a. (– b ) + a.b ] + (–( a.b )) = a. [(– b ) + b ] + (–( a.b )) pelo axioma A8; a. [(– b ) + b ] + (–( a.b )) = a. 0 + (–( a.b )) pelo axioma A4; a. 0 + (–( a.b )) = 0 + (–( a.b )) pela propriedade 1; 0 + (–( a.b )) = – ( a.b ) pelo axioma A3.
Atividade 3
Se os axiomas e as propriedades anteriores já estão claros para você, então você já pode resumir sua argumentação:
a. ( b − c) = a. [ b + (− c )]
= a.b + a. ( -c )
= a.b + (−( a.c ))
= a.b − a.c.
Atividade 1
- a = 0. a + 0 pelo axioma A3;
- a + 0 = 0. a + (0. a + (–(0. a ))) pelo axioma A4;
- a + [0. a + (–(0. a ))] = [0. a + 0. a ] + (–(0. a )) pelo axioma A1; [0. a + 0. a ] + (–(0. a )) = [0 + 0]. a + (–(0. a )) pelo axioma A8; [0 + 0]. a + (–(0. a )) = 0. a + (–(0. a )) pelo axioma A3;
- a + (–(0. a )) = 0 pelo axioma A4.
Atividade 4
Você consegue identificar a propriedade aplicada em cada igualdade?
b´ = 1. b´
= ( a.b ). b´
= ( b.a ). b´
= b. ( a.b´ )
= b.
= b.
Agora,como ( a -1 ). a = a. ( a -1 ) = a , segue, pela unicidade do elemento inverso, que
( a -1 ) -1^ = a.
RESPOSTAS
AULA
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Atividade 5 Temos:
b = 1 .b pelo axioma A7;
1.b = ( a -1^ − a ).b pois a é um elemento não-nulo do corpo A;
( a-1. a ). b = a-1. ( a.b ) pelo axioma A5;
a-1. ( a.b ) = a-1. 0 pela hipótese a.b = 0 ;
a-1. 0 = 0 pela proposição 1.1.
Atividade Final 1
Divisores de zero de Z 16 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.
Atividade Final 2
Elementos invertíveis de Z 8 : 1 (com inverso 1 ), 3 (com inverso 3 ), 5 (com inverso 5 ) e 7 (com inverso 7 ).
Atividade Final 3
Se a. a = 1, então a. a = 1, isto é, a^2 ≡ 1(mod p ) e, portanto, p ( a^2 − 1 ). Como
a^2 − 1= ( a − 1 )( a + 1 ), então p ( a − 1 )( a + 1 ). Agora, como p é primo, então p ( a − 1 ) ou
p ( a + 1 ).
Se p ( a − 1 ) , então a ≡ 1(mod p ), o que significa que a = 1.
Se p ( a + 1 ), então
a ≡ (− 1) (mod p )
≡ ( p − 1)(mod p ),
e a ≡ ( p − 1)(mod p ) significa que a = p − 1.
