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sophiaodg @sosophiadutra 2025
Teorema
fundamental
do Cálculo
Resumo
Difere os conceitos de diferenciação e integração.
DIFERENCIAÇÃO
Processo de encontrar a derivada de uma função. Ela permite analisar
como uma função muda em resposta a pequenas alterações em suas variáveis.
INTEGRAÇÃO
Determina a função original a partir da sua derivada e determina a área sob a curva de uma função
part 1. A derivada de uma integral: Dado uma função f(t) define uma nova função G(x).
G(x) é a integral de f(t) de um ponto fixo [a,b]
então a derivada de G(x) em relação a x é simplesmente a própria função f(x). Em termos mais simples:
Integrar e depois derivara leva a função original!
part 2. Cálculo de Integrais definidas
Para calculara a integral definida de f(x) no intervalo [a,b], primeiro é necessário encontrar a antiderivada
qualquer de f(x), exemplo F(x), e depois avaliar essa antiderivada nos limite s superior e inferior e subtrair
Esta parte do TFC é o que nos permite calcular áreas e variações totais de forma prática, sem precisar recorrer a somas infinitas.
Antiderivada - Integrais Indefinidas
primitiva de uma função > inverso da
derivada
Derivação: A derivação encontra a taxa de
variação instantânea de uma função. Ela
responde à pergunta: "Como essa função está
mudando em um determinado ponto?" O
resultado da derivação é outra função,
chamada derivada.
Antiderivação (Integração): A antiderivação
faz o oposto. Dada uma função (a derivada),
ela encontra uma função original da qual
essa é a derivada. Ela responde à pergunta:
"Qual função, quando derivada, resulta nesta
função que tenho agora?" O resultado da
antiderivação é uma família de funções, pois
a constante de integração pode variar.
Dada uma função f(x), uma antiderivada F(x) é uma função tal
que, quando deriva se obtém f(x).
[a partir da derivação da antiderivada obtenho a função original]
Exemplo:
Derivação: Se temos a função f(x) = x², a sua derivada é f'(x) = 2x.
Antiderivação: Se começarmos com a função f'(x) = 2x, a sua
antiderivada é f(x) = x² + C, onde C é uma constante arbitrária
. Note que derivando x² + 1, x² - 5, ou x² + qualquer constante,
sempre obtemos 2x. É por isso que a antiderivação resulta em uma
família de funções.
Em resumo, a derivação "desfaz" a antiderivação e vice-versa
(exceto pela constante de integração). Elas são operações inversas
no cálculo.
Indefinidas VS Definidas
Integral Indefinida:
Notação: ∫f(x)dx (sem limites de integração).
Resultado: Uma família de funções (a antiderivada geral) mais a constante de integração
"C".
Propósito: Encontrar a função original a partir de sua taxa de variação. É o processo de
encontrar a antiderivada.
Integral Definida:
Notação: ∫ a b f(x)dx (com limites de integração a e b).
Resultado: Um número real. Esse número pode representar uma área, um volume, uma
variação total, etc.
Propósito: Calcular um valor específico, como a área sob uma curva, a distância percorrida, o
volume de um sólido, etc. Utiliza a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
