Teorema do valor intermediário
Introdução
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano nasceu em 1781, em Praga, durante o Império
Austríaco, em uma família profundamente católica. Ao lado da fé, Bolzano cultivava grande
interesse pela matemática e pela filosofia, especialmente pela obra de Kant, mesmo sendo
proibida na Áustria. Seu feito mais notável foi a demonstração puramente analítica do
Teorema do Valor Intermediário.
Apesar das adversidades intelectuais e políticas do período, Bolzano destacou-se como
uma figura notável por sua abordagem rigorosa e inovadora da matemática. Seu maior
legado científico é a formulação puramente analítica do Teorema do Valor Intermediário, que
estabelece que, se uma função contínua assume dois valores de sinais opostos em um
intervalo, então existe ao menos um ponto nesse intervalo onde a função se anula ou seja,
onde há uma raiz real. Este teorema tornou-se um dos fundamentos da análise matemática,
especialmente na identificação da existência de raízes de funções, e é amplamente
estudado até os dias atuais.
Propõe-se investigar a importância matemática do Teorema do Valor Intermediário a partir
da contribuição de Bolzano. Como a demonstração analítica do Teorema do Valor
Intermediário por Bolzano contribuiu para a fundamentação rigorosa da análise matemática
e qual é sua relevância no estudo contemporâneo das funções reais?
Justificativa
Esse teorema, formulado de forma rigorosa por Bernard Bolzano, é essencial para garantir
a existência de raízes em funções contínuas, servindo de fundamento lógico para diversos
métodos numéricos, entre eles o método da bisseção.
O método da bisseção é uma técnica simples, mas poderosa, utilizada na aproximação de
raízes reais de funções contínuas. Ele parte justamente do princípio estabelecido pelo
Teorema do Valor Intermediário: se uma função contínua apresenta sinais opostos nos
extremos de um intervalo, então existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo. Essa ideia
permite construir algoritmos confiáveis, que podem ser implementados computacionalmente
de forma eficiente e com precisão controlada.
Neste projeto, propõe-se aplicar esse teorema na elaboração de um código computacional
para o método da bisseção, evidenciando a conexão entre fundamentos matemáticos
clássicos e suas aplicações tecnológicas contemporâneas. Do ponto de vista teórico, o
trabalho aprofunda a compreensão de um conceito fundamental da análise matemática; do
ponto de vista prático, mostra sua aplicabilidade direta na programação de algoritmos de
busca de raízes.
Assim, este estudo busca não apenas valorizar a contribuição histórica de Bolzano, mas
também demonstrar a atualidade e aplicabilidade de sua obra, contribuindo para o
desenvolvimento do pensamento lógico, da análise numérica e da programação
matemática.
