CADEIRA: ESTABILIDADE
(TEOREMA DE CASTEGLIANO)
SEMESTRE: SEGUNDO. ANO: QUARTO
FACULDADE DE ENGHENARIA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA
Professor : Engº Valter de Jesus da Costa Lourenço MSc.
Professor Auxiliar da Universidade Agostinho Neto
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Teorema de Castigliano: Aplicação em Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas, Resumos de Resistência dos materiais
Uma explicação detalhada sobre o teorema de castigliano e sua aplicação no cálculo de deformações em estruturas isostáticas e hiperestáticas. O texto aborda os fundamentos teóricos do teorema, incluindo as relações entre cargas e deformações, o trabalho de deformação elástica e os teoremas de betti e castigliano. São discutidos os procedimentos para aplicação do teorema em estruturas isostáticas e hiperestáticas, com ênfase na determinação das reações de apoio e cálculo das deformações em pontos específicos. O documento inclui exemplos ilustrativos que demonstram a aplicação prática do método. Essa abordagem abrangente fornece uma compreensão sólida do teorema de castigliano e sua relevância na engenharia estrutural.
Tipologia: Resumos
2024
1 / 36
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CADEIRA: ESTABILIDADE
(TEOREMA DE CASTEGLIANO)
SEMESTRE: SEGUNDO. ANO: QUARTO
FACULDADE DE ENGHENARIA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA
Professor : Engº Valter de Jesus da Costa Lourenço MSc.
Professor Auxiliar da Universidade Agostinho Neto
BIBLIOGRAFIA
NOTAS DE CONFERÊNCIAS E APRESENTAÇÕES
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. Clésio Gabriel Di Blasi MANUAL DE RESISTÊNCIA DE MATERIALES. Pisarenko, G.S. et.al. RESISTÊNCIA DE MATERIALES. Tomo II. Gilda Fernández Levy. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. Timoshenko, S. P. R. C. HIBBELER – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 7ª Edição RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 1ª EDIÇÃO 2017 – ENGº M. A. MAZOCA
O teorema de CastIgliano, em comparação com isso, baseia-se em considerações de energia. Conforme aquele teorema, com base no trabalho total de deformação elástica obtêm-se em pontos singulares z = ℎ as deformações devidas à influência parcial da carga correspondente (F ℎ ,M ℎ ) , pelas quais o engenheiro frequentemente se interessa exclusivamente. O método da “linha elástica”, pelo contrário, fornece as deformações devidas à flexão como funções das coordenadas z ao longo dos eixos da viga, mas exige um gasto elevado de tempo. Bases teóricas Imaginemos várias cargas (forças e/ou momentos) aplicadas numa viga, estando duas cargas de cada tipo representadas na Figura seguinte:
A figura1.1 ilustra uma viga carregada por forças e momentos Caso consideremos só pequenas deformações e pressupondo a validade da lei de Hooke, podemos supor relações lineares entre as cargas (forças e momentos), por um lado, e as deformações (deslocamentos e inclinações), por outro.
Prosseguindo com o estudo das relações na viga da Figura 1.1, imaginemos, agora, que apenas a força actue sobre a viga. Então o ponto de aplicação da força deslocar-se-á em um valor e a força produzirá o trabalho (Figura 1.2). Figura 1.2 Trabalho produzido pelas forças
TEOREMA DE BETTI
Com base nas relações [1.1], [1.2] e [1.6] resulta: Atendendo a [1.4] e considerando [1.1] e [1.2] obtemos o primeiro teorema de Castigliano:
Existe um segundo teorema de Castigliano, que apresentamos sem dar demonstração, por ter importância reduzida na prática de engenharia: (1.9) Atenção: o teorema de Castigliano com a forma das equações [1.8] e [1.9] é apenas válido, em condições de invariabilidade da temperatura e de validade da lei de Hooke. No caso contrário, o trabalho de deformação elástica deve ser substituído pelo trabalho suplementar. Introduzamos então, as expressões do trabalho de deformação elástica, válidas para vários tipos de solicitações:
O trabalho total de deformação elástica para estruturas compostas trechos n trechos será: (1.10)
Com base na expressão [1.10] e mediante o teorema de Castigliano [1.8], as deformações podem ser determinadas para qualquer ponto da estrutura. Por exemplo: (1.11)
Para fins de determinação das deformações em quaisquer pontos da estrutura, torna-se necessário formular para cada trecho as expressões analíticas dos esforços. Em comparação com o método da linha elástica, os esforços entram nas fórmulas do teorema de Castigliano na forma quadrada, de modo que os seus sinais não dependem das coordenadas usadas. Além disso, deixa de existir a necessidade da determinação das condições de fronteiras e de transição. Num ponto, onde se peçam deformações e não haja cargas externas (reais) aplicadas, devemos introduzir cargas fictícias correspondentes. As equações dos esforços e as reacções de apoio determinam-se como funções das cargas reais e fictícias. Tendo efectuado, conforme a equação [1.11], as derivadas em relação às cargas fictícias, igualamo-las a zero.
1.2. Aplicação do teorema de Castigliano em estruturas
isostáticas
Em estruturas isostáticas utiliza-se o teorema de Castigliano com o fim de determinar as deformações em pontos singulares. Utiliza-se a seguinte sequência de cálculo:
- Introduzir cargas fictícias nos pontos onde se pedem deformações, quando não houver nestes pontos cargas reais correspondentes.
- Determinar as reacções de apoio como funções das cargas reais e fictícias.
- Subdividir a estrutura em trechos e introduzir as coordenadas de trecho correspondentes.
- Estabelecer as equações dos esforços como funções das cargas reais e fictícias e calcular as derivadas parciais em relação às cargas, em cujas direcções são pedidas as deformações. É conveniente trabalhar com uma tabela (Vide nos exemplos a seguir).