Teorema de Borsuk-Ulam
Introdução
Na era digital, a crescente geração de dados, especialmente na forma de sinais e imagens
de alta resolução, impõe um desafio contínuo à necessidade de armazenamento e
transmissão eficientes. A compressão de dados tornou-se uma área de pesquisa,
tradicionalmente focada em explorar a redundância estatística através de técnicas de
codificação. Este trabalho, no entanto, investiga uma abordagem menos convencional, mas
teoricamente robusta, para a compressão, fundamentada em um dos mais elegantes
resultados da topologia: o Teorema de Borsuk-Ulam. Descoberto por Stanisław Ulam e
provado por Karol Borsuk na década de 1930, este teorema fundamental afirma que
qualquer função contínua de uma esfera de dimensão n para um espaço euclidiano de
dimensão n deve mapear pelo menos um par de pontos antipodais (aqueles que são
diametralmente opostos um ao outro) para o mesmo ponto
Justificativa
A realização deste trabalho justifica-se pela crescente e incessante demanda por métodos
de compressão de dados mais eficientes. Em um cenário onde a geração de imagens de
alta definição, vídeos e dados científicos complexos acelera exponencialmente, os
algoritmos de compressão tradicionais, embora otimizados, aproximam-se de um limite de
saturação em sua capacidade de explorar redundâncias puramente estatísticas. Diante
deste antecedente, a busca por novos fundamentos teóricos para a compressão de dados
torna-se não apenas relevante, mas necessária para um avanço significativo na área. É
neste ponto que a presente pesquisa encontra seu pilar a exploração de um princípio
matemático profundo e não trivial, o Teorema de Borsuk-Ulam, como uma nova fonte de
redundância explorável a simetria geométrica.
O trabalho propõe estabelecer uma ponte formal e robusta entre dois campos do
conhecimento raramente conectados: a topologia algébrica abstrata e a engenharia de
processamento de sinais. Ao traduzir as consequências do Teorema de Borsuk-Ulam para o
domínio dos sinais e imagens, a pesquisa aprofunda a compreensão de ambas as áreas.
onde ha potencial de revelar estruturas geométricas e simetrias ocultas nos próprios dados,
que não são capturadas por análises estatísticas convencionais
Objetivo geral
Este trabalho visa explorar a intersecção entre a topologia algébrica e a engenharia,
demonstrando a aplicabilidade de um teorema fundamental da matemática pura na
resolução de um problema prático de compressão de dados.
Objetivo específico
Fundamentar teoricamente a aplicação do Teorema de Borsuk-Ulam, analisando suas
demonstrações e consequências para estabelecer um modelo matemático que conecte a
topologia da esfera com a representação de domínios de sinais e imagens.
