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Apuntes de Ampliación de Matemáticas
1.6 Ejercicios resueltos 1
Ejercicio 1.1 En cada uno de los siguientes casos
a) A = {( x, y ) ∈ R
2
: — 1 < x < 1 , — 1 < y < 1 }.
b) A = {( x, y ) ∈ R
2
: 1 < x
2
2
c) A = {( x, y ) ∈ R
2
: y > 0 }.
se pide:
i) Determinar la frontera del conjunto A.
ii) Probar que el conjunto A es abierto
iii) Dado X 0
∈ A , determinar un valor r > 0 tal que B r
( X
0
) ⊂ A.
1.6 Ejercicios resueltos
SOLUCIÓN:
a) La frontera de A está formada por los lados del cuadrado representado en la
figura 1.12.(a).
Fr ( A ) ={( x, 1 ) ∈ R
2
: — 1 ≤ x ≤ 1 } ∪ {( x, — 1 ) ∈ R
2
: — 1 ≤ x ≤ 1 }
∪ {( 1 , y ) ∈ R
2
: — 1 ≤ y ≤ 1 } ∪ {(— 1 , y ) ∈ R
2
: — 1 ≤ y ≤ 1 }.
Por tanto, A es un conjunto abierto ya que no contiene puntos de la frontera, o
equivalentemente
A ∩ Fr ( A ) = 0/.
Sea X 0
= ( x 0
, y 0
) A. Para determinar un valor de r de tal manera que B r
( X
0
A , calculamos la mínima distancia de X 0
a los puntos que están en la Fr ( A ).
Notaremos a esta mínima distancia por d ( X 0
, Fr ( A )). En nuestro caso,
d ( X 0
, Fr ( A )) = m´ın{ 1 — x 0
, 1 + x 0
, 1 — y 0
, 1 + y 0
Entonces podemos tomar cualquier valor r tal que 0 < r < d ( X 0
, Fr ( A )). En
particular, si tomamos
r =
d ( X 0
, Fr ( A )) =
m´ın{ 1 — x 0
, 1 + x 0
, 1 — y 0
, 1 + y 0
podemos asegurar que B r
( X
0
) ⊂ A (ver figura ?? ).
Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez
2 Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables
(a) (b)
(c)
Figura 1.12: Representación del conjunto A en el ejercicio 1.1.
y 0
x 0
1
1 x 0 2
y
0
x 0
y 0
Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez
4 Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables
SOLUCIÓN: La representación de cada conjunto se encuentra en la figura 1.13.
a) La frontera de A viene dada por
Fr ( A ) = {( x, y ) ∈ R
2
: x
2
2
A es cerrado ya que Fr ( A ) ⊂ A.
Dado que se trata del exterior de la circunferencia, A no es acotado.
A no es compacto, porque no es acotado.
El conjunto A es conexo. Dos puntos cualesquiera de A pueden unirse
mediante una curva continua.
A no es convexo ya que, por ejemplo, los puntos ( 2 , 2 ) y ( 2 , 2 ) perte-
necen a A pero el segmento que los une no está contenido en A.
b) La frontera de A viene dada por
Fr ( A ) = {( x, y ) ∈ R
2
: x
2
2
Dado que Fr ( A ) /⊂ A , el conjunto A no es cerrado.
A tampoco es abierto ya que A ∩ Fr ( A ) /= 0/.
A es acotado, ya que A ⊂ B 1
A no es compacto, porque no es cerrado.
A es conexo. Dos puntos cualesquiera de A pueden unirse mediante una
curva continua.
A no es convexo ya que, por ejemplo, los puntos ( 0 , 1 ) y ( 1 , 0 )
pertenecen a A y, sin embargo, el segmento que los une no está
contenido en A.
c) La frontera de A viene dada por
Fr ( A ) = {( x, y ) ∈ R
2
: x
2
2
= 1 } ∪ {( x, y ) ∈ R
2
: x
2
2
A es abierto, porque A ∩ Fr ( A ) = 0/.
se pide:
i) Representar el conjunto A de R
2
ii) Indicar si A es abierto, cerrado, acotado, compacto y convexo.
Apuntes de Ampliación de Matemáticas
1.6 Ejercicios resueltos 5
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura 1.13: Representación del conjunto A en el ejercicio 1.2.
1
1
1 2
x 2
2
= 1
x 2
2
= 1
x
2
2
= 4
x
2
2
= 1
y = x
2
x
2
2
= 1
y
2
= x
2
1
Apuntes de Ampliación de Matemáticas
1.6 Ejercicios resueltos 7
[
( x, y ) ∈ R
2
: y
2
= x, 0 ≤ x ≤
2 2
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8 Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables
Luego,
A no es abierto, porque A ∩ Fr ( A ) /= 0/.
A es cerrado, ya que Fr ( A ) ⊂ A.
A es acotado porque A ⊂ B 1
A es compacto, porque ser cerrado y acotado.
A es conexo. Dos puntos cualesquiera de A pueden unirse mediante una
curva continua.
A no es convexo ya que, por ejemplo, los puntos (
1
, 1 ) y (—
1
, 1 ) pertene-
cen a A , pero el segmento que los une no está contenido en A.
f) La frontera del conjunto A viene dada por
Fr ( A ) = {( x, y ) ∈ R
2
: y = x
2
, — 1 ≤ x ≤ 1 }
∪ {( 1 , y ) ∈ R
2
: y ≥ 1 } ∪ {(— 1 , y ) ∈ R
2
: y ≥ 1 }
A no es abierto, porque A ∩ Fr ( A ) /= 0/.
A no es cerrado, ya que Fr ( A ) /⊂ A.
A no es acotado.
A no es compacto, porque no es acotado.
A es convexo. Dados dos puntos cualesquiera de A el segmento que los
une está contenido en A.
g) A = 0/ , luego A es abierto, cerrado, acotado, compacto y convexo.
Ejercicio 1.3 Decidir sobre la existencia de los siguientes límites. En caso
afirma- tivo, calcularlos
a)
l´ım
( x,y )→( 0 , 0 )
x +
2 2
y
x
2
2
b) (
x,y )→( 0 , 0 )
x
2
y
2
l´ım
x
3
3
c)
(
x,y )→( 0 , 0 )
x
y
l´ım
x
2
2
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10 Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables
I) l´ım Ψ( ρ ) = 0, y
ρ → 0
II ) Φ( θ ) = |cos
3
θ + sen
3
θ | ≤ 2 (está acotada),
el resultado 1.3.14 nos asegura que existe el límite, siendo
l´ım x
3
3
( x,y )→( 0 , 0 )
x
2
2
→
( x,y )→( 0 , 0 )
x
2
2
( x,y )→( 0 , 0 )
x
2
2
1
Apuntes de Ampliación de Matemáticas
1.6 Ejercicios resueltos 11
c) Si calculamos el límite siguiendo la dirección dada por la recta y = x , se tiene
l´ım
( x,y ) ( 0 , 0 )
y = x
x
2
2
x + y
l´ım
2 x
2
x → 0 2 x
= l´ım
x
x → 0
En cambio, si calculamos el límite siguiendo la parábola y = x
2
— x , obtenemos
x
2
2
l´ım
( x,y )→
2
( 0 , 0 )
y = x — x
x +
y
= l´ım x
2
2 x + 2 = 2_._
x → 0
Por tanto, concluimos que no existe el límite.
d) Teniendo en cuenta la igualdad
A
B
= e
B log A
, con A > 0 ,
se tiene que
l´ım
1 x
2
y
2 2 2
e
h
h l
´ım
log( 1 + x
2
y
2
( x,y )→( 0 , 0 )
x + y
= ,
( x,y )→( 0 , 0 )
x
2
2
Para calcular este límite utilizamos que
log( 1 + x ) ∼ x para x → 0_._
En nuestro caso,
( x, y ) → ( 0 , 0 ) ⇒ x
2
y
2
→ 0 ⇒ log( 1 + x
2
y
2
) ∼ x
2
y
2
luego
h
l
´ım
log( 1 + x
2
y
2
l
´ım
x
2
y
2
x = ρ cos θ
= l´ım ρ
2
cos
2
θ sen
2
θ = 0_._
ρ → 0
El límite obtenido es independiente de θ. Además, observamos que
y = ρ sen
θ
2 2 2 2
h 0
Apuntes de Ampliación de Matemáticas
1.6 Ejercicios resueltos 13
I) l´ım Ψ( ρ ) = l´ım ρ
2
= 0, y
ρ → 0 ρ → 0
II ) Φ( θ ) = cos
2
θ sen
2
θ ≤ 1 (está acotada),
el resultado 1.3.14 nos asegura que existe el límite, siendo
l´ım
x
2
y
2
( x,y )→( 0 , 0 ) x
2
2
Por tanto,
l´ım 1
( 1 + x y )
x
y
= e = e = 1_._
( x,y )→( 0 , 0 )
e) Teniendo en cuenta que sen x ∼ x para x → 0, se tiene
( x, y ) → ( 0 , 0 ) ⇒ xy → 0 ⇒ sen( xy ) ∼ xy.
Por tanto, l
´ım
sen( xy )
l
´ım
xy
= l
´ım
y = 0_._
( x,y )→( 0 , 0 ) x ( x,y )→( 0 , 0 ) x
( x,y )→( 0 , 0 )
SOLUCIÓN:
a) Teniendo en cuenta que sen x ∼ x para x → 0, se tiene
Ejercicio 1.4 Calcular los siguientes límites, en caso de que existan:
a)
(
x,y )→( 0 , — 2 )
( y
2
) sen x
l´ım
x
3
sen( y
2
— 4 )
b)
l´ım
( x,y )→( 0 , 0 )
l´ım
( x,y )→( 0 , 0 )
l´ım
( 1 —cos y ) sen
x
x
2
2
c)
x + y
x 2
2
d)
x
3
4
( x,y
)→(
0 , 0 )
x + y
2 2
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14 Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables
( x, y ) → ( 0 , — 2 ) ⇒ y
2
— 4 → 0 ⇒ sen( y
2
— 4 ) ∼ y
2
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16 Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables
c) Haciendo el cambio a coordenadas polares, se tiene
l´ım
x + y
l ´ım
ρ (cos θ + sen θ )
= cos θ + sen θ.
( x,y )→( 0 , 0 )
x
2
2
( x,y )→( 0 , 0 )
ρ
Como el límite obtenido depende de θ , concluimos que no existe el límite.
)
→( 0
Apuntes de Ampliación de Matemáticas
1.6 Ejercicios resueltos 17
d) Hacemos el cambio a coordenadas polares
l´ım
x
3
y
4
x
= ρ cos
θ
l´ım ρ
2
cos
3
θ ρ sen
4
θ 0
( x,y )→( 0 , 0 )
x
2
2
y = ρ sen
θ
ρ → 0
El límite obtenido es independiente de θ. Además, teniendo en cuenta que
ρ → 0, se cumple que
I) | F ( ρ, θ ) — L | = ρ
2
|cos
3
θ + ρ sen
4
θ | ≤ ρ
2
( 1 + ρ ) = Ψ( ρ ),
II) l´ım Ψ( ρ ) = l´ım ρ
2
( 1 + ρ ) = 0.
ρ → 0 ρ → 0
Aplicando el resultado 1.3.12 concluimos que existe el límite, siendo
l´ım
x
3
y
4
( x,y )→( 0 , 0 )
x
2
2
SOLUCIÓN: Observemos que la función f es continua en cualquier punto de R
2
\
{( 0 , 0 )}. Para estudiar la continuidad en el punto ( 0 , 0 ) hemos de analizar si
l´ım
( x,y )→( 0 , 0 ) f ( x, y ) = f ( 0 , 0 ).
Para calcular este límite usamos que log( 1 + x ) ∼ x para x ∼ 0. En nuestro caso,
( x, y ) → ( 0 , 0 ) ⇒ x
2
2
→ 0 ⇒ log( 1 + x
2
2
) ∼ x
2
2
Por tanto,
l´ım
x
2
y
2
x
2
y
2
(1.35)
( x,y )→( 0 , 0 )
log( 1 + x
2
2
( x,y
lım
, 0 )
x
2
2
f
si ( x, y ) /= ( 0 , 0 ) , f ( 0 , 0 ) = 0_._
x
2
y
2
x
y
log( 1 + x
2
2
f
Ejercicio 1.5 Estudiar la continuidad de la función
Apuntes de Ampliación de Matemáticas
1.6 Ejercicios resueltos 19
SOLUCIÓN:
a) Las funciones componentes de la función f son
f 1
( x, y, z ) = x sen z, f 2
( x, y, z ) = x sen y cos z,
por tanto,
D f ( x, y, z ) =
∂ f 1
∂x
∂ f 2
∂x
∂ f 1
∂y
∂ f 2
∂y
∂ f 1
∂z
∂ f 2
∂z
sen z 0 x cos z
En particular,
sen y cos z x cos y cos z — x sen y sen z
D f 1 0
π
sen z 0 x cos z
sen y cos z x cos y cos z — x sen y
sen z
b) Las funciones componentes de la función f son
( 1 , 0 ,π )
f 1
( t ) = 2 t
2
, f 2
( t ) = t
2
( t ) = log t.
Por tanto,
∂ f 1
∂t
4 t
2
π
, π ).
d) f : R
3
→ R
3
, f ( r, θ, φ ) = ( r cos θ sen φ, r sen θ sen φ, r cos φ ), en el
punto
π
2
, θ ) = ( r cos θ, r sen θ ), en 0 , ).
2 2
c) f : R → R , f ( r
b) f : R → R
3
, f ( t ) = ( 2 t
2
,t
2
- 1 , log t ), en el punto t = 1.
Ejercicio 1.6 Calcular la matriz derivada en los puntos que se indican para cada
una de las funciones siguientes
a) f : R
3
→ R
2
, f ( x, y, z ) = ( x sen z, x sen y cos z ), en el punto ( 1 , 0 , π ).
∂ f 2
2 t
2 t
∂t
∂ f 3
∂t t t t = 1
Ana M. Lerma, José M. Quesada y Rafael Sánchez
20 Capítulo 1. Introducción a las funciones de varias variables
D f ( t ) =
⇒ D f ( 1 ) =
