Baixe Teoremas do Cálculo: Teorema do Valor Intermediário, Teorema de Weierstrass e Outros e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Calculo 3 Tema 1
TEOREMAS DO CÁLCULO
Teorema do Valor Intermediário (TVI)
Se f(x) for contínua num intervalo fechado [a, b], então para cada valor M entre f(a) e
f(b), existe pelo menos um valor c 𝜖 (a, b) tal que f (c) = M.
Exemplo:
Use o TVI para mostrar que f(x) , = x² + x + 3 atinge o valor 7 para algum x entre [0, 2]
Teorema de Weierstrass
O Teorema de Weierstrass afirma que uma função contínua em um intervalo fechado
tem um valor máximo e um mínimo global,
Dado um intervalo I e uma função f: I → ℛ
Diremos que x 0
𝜖I é um ponto de máximo local de f, se existir 𝛿> 0 talque f(x) ≤
f(x 0
), para todo x 𝜖 (x 0
- 𝛿) ∩I. Neste caso, diremos que f(x 0
) é um
máximo local.
Diremos que x 0
𝜖I é um ponto de mínimo local de f, se existir 𝛿> 0 tal que f(x)
≥f(x 0
), para todo x 𝜖 (x 0
- 𝛿) ∩I. Neste caso, diremos que f(x 0
) é um
mínimo local.
Um ponto x 0
𝜖I,será dito um ponto extremo local, se x 0
for um ponto de máximo
local ou um ponto de mínimo local.
Diremos que x
0
𝜖I é um ponto de máximo global (ou absoluto) de f, se f(x)
≤f(x
0
), para todo x ∩I. Neste caso, diremos que f(x
0
) é um máximo global.
Diremos que x
0
𝜖I é um ponto de mínimo global de f, se f(x) ≥f(x
0
), para todo x
∩I. Neste caso, diremos que f(x
0
) é um mínimo global.
Um ponto x
0
𝜖 I,será dito um ponto extremo global, se x
0
for um ponto de
máximo global ou um ponto de mínimo global.
Exemplo: O valor máximo de f(x) = cos x é 1, o qual é assumido infinitas vezes.
Encontrando máximos e mínimos:
Método do Intervalo Fechado. Para encontrar os valores máximos e mínimos globais de
uma
função contínua f num intervalo fechado [a; b] :
- Encontre os valores de f nos pontos críticos de f em (a; b).
- Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.
- O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo global e o menor desses valores é o
mínimo
global.
Exemplo:
Um triângulo isósceles tem uma base de 6 unidades e uma altura de 12 unidades.
Encontre a área máxima possível de um retângulo que pode ser colocado dentro do
triângulo com um dos lados sobre a base do triângulo.
Teorema de Rolle
Suponha que f(x) seja contínua em [a, b] e derivável em (a,b). Se f(a) = f(b), então
existe um número c entre a e b tal que f’ (c) = 0.
Exemplo:
Verifique o teorema de Rolle para f(x) = x
4
2
em [-2, 2]
Observação: O teorema de Rolle é um caso específico do Teorema do Valor Médio.
Teorema do Valor Médio (TVM)
Suponha uma função f, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável em (a, b). Então
existe pelo menos um ponto c em (a, b) tal que:
′
Exemplo
Seja f uma função definida em ℛ para todo x ≠ 1, temos
ଶ
ଶ
Calcule lim ௫→ଵ
e justifique
Regra de L’Hôpital
Suponha que f(x) e g(x) sejam deriváveis num intervalo aberto contendo a e que
f(a) = g(a) = 0
então
lim
௫→
= lim
௫→
Exemplo:
Use a regra de L’Hôpital para calcular o limite lim
௫→ଵ
௫
య
ି ଵ
௫ ି ଵ
Observação: A Regra de L’Hôpital permanece válida se x → ∞.
Atividades
Nos exercícios 1 e 2, encontre um ponto c satisfazendo a conclusão do TVM para a
função e intervalos dados.
y = x
, [1, 4]
- y = (x – 1 ) (x – 3) , [1, 3]
3 Use o TVI para mostrar que f(x) = x
3
- x atinge o valor 9 para algum x em [1, 2]
4 Mostre que g(t) = t
2
tg t atinge o valor
ଵ
ଶ
para algum t em [0,
గ
ସ
]
- Resolva o limite usando o teorema do sanduíche lim ௫→ஶ
௦ ௫
௫
Nos exercícios 6 e 7 mostre que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada e use-a para
calcular o limite.
- lim ௫→ଵ
ଶ௫
మ
ା ௫ ି ଷ
௫ ି ଵ
- lim ௫→ଽ
√௫ ି ଷ
ଶ௫
మ
ି ଵ௫ିଽ
- (Ligado no ENADE). Para calcular L = lim ௫→ஶ
௦ ௫
௫
os argumentos podem ser
desenvolvidos usando as desigualdades 0 ≤ ቚ
௦ ௫
௫
ଵ
௫
, válidas para todo real x > 0.
A partir desses argumentos , conclui-se que L é igual a
a) – 1 b) 0 c) 1 d) ∞ e) − ∞
