FACULDADE DE TECNOLOGIA
SÃO FRANCISCO
JACAREÍ-SP
MECANISMO PARA FRENAGEM DA
VELOCIDADE DE ROTAÇÃO DE UM SATÉLITE
ARTIFICIAL
Carlos Eduardo Ramos Júnior
Trabalho de Conclusão de Curso
Jacareí – SP
Jacareí – SP
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Equações de Mecânica Clássica: Momento Angular e Energia Potencial, Teses (TCC) de Automação
Documento contendo equações matemáticas relacionadas ao momento angular total em relação à origem e a decomposição do momento angular em termos de momentos angulares de partículas individuais. Além disso, aborda a relação entre a energia potencial e as equações de lagrange.
O que você vai aprender
- Qual é a importância da teoria do momento de inércia e da velocidade angular em mecânica?
- Qual é a função de dissipação de Rayleigh e qual é sua importância no documento?
- Qual é a equação de Lagrange e qual é sua importância no documento?
- Qual é a teoria apresentada no documento?
- Qual é a aplicação prática da teoria apresentada no documento?
Tipologia: Teses (TCC)
2017
1 / 93
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FACULDADE DE TECNOLOGIA
SÃO FRANCISCO
JACAREÍ-SP
MECANISMO PARA FRENAGEM DA
VELOCIDADE DE ROTAÇÃO DE UM SATÉLITE
ARTIFICIAL
Carlos Eduardo Ramos Júnior
Trabalho de Conclusão de Curso
Jacareí – SP
Jacareí – SP
FACULDADE DE TECNOLOGIA
SÃO FRANCISCO
JACAREÍ-SP
MECANISMO PARA FRENAGEM DA
VELOCIDADE DE ROTAÇÃO DE UM SATÉLITE
ARTIFICIAL
Carlos Eduardo Ramos Júnior
Orientador: Dr. Mário César Ricci
Cleiton Rodrigues
Vinícius Jordan Teodoro
Orientador(es): Sérgio de Barros Pinto, Mário César Ricci
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado à Faculdade de Tecnologia
São Francisco – FATESF, para graduação
em Engenharia de Controle e Automação
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado à Faculdade de Tecnologia
São Francisco – FATESF, para graduação
em Engenharia de Controle e Automação
Jacareí – Dezembro/
o
semestre de 2017
i
Agradecimentos
Primeiramente a Deus, pois sem Ele, nada seria possível.
Agradeço a minha família que me incentivou, apoiou e sempre esteve ao meu
lado durante esses anos de minha dedicação ao curso de Engenharia de
Controle e Automação.
Agradeço também todos que de alguma forma contribuíram e apoiaram no
desenvolvimento deste trabalho de conclusão de curso.
Agradeço todos os professores, em especial ao meu orientador Dr. Mário
César Ricci.
ii
RESUMO
MECANISMO PARA FRENAGEM DA VELOCIDADE DE ROTAÇÃO
DE UM SATÉLITE ARTIFICIAL
O objetivo deste trabalho é obter as equações da dinâmica e explicar o funcionamento de um
mecanismo que serve para frear a velocidade de rotação de um satélite artificial. Ao ser
injetado em órbita o foguete lançador, por questões de estabilidade, impõe uma taxa de
rotação, em torno do eixo de maior momento de inércia do satélite, relativamente alta. Para
fins de controle de atitude essa taxa tem que ser diminuída. Pretende-se apresentar os métodos
necessários para obter uma resposta eficaz do sistema de frenagem. Existem alguns modos de
frenar a velocidade de rotação de um satélite. Um deles é usar um mecanismo denominado
“ioiô”, que serve para aumentar o momento de inércia em torno do eixo principal de inércia
do satélite. Uma vez que, na ausência de torques externos, o momento angular do sistema
permanece constante e sendo o momento angular definido pelo produto da velocidade angular
pelo momento de inércia em torno do eixo de giro, aumentando-se o momento de inércia
ocorre uma redução da velocidade angular. O mecanismo ioiô é composto por um peso, uma
mola, um cabo e acessórios. O mecanismo ioiô reduz consideravelmente os erros de giro e os
erros devido a variações no momento de inércia. Henry Cornille do Goddard Space Flight
Center sugeriu a introdução de uma mola, cujo propósito é compensar os erros no giro inicial.
Por exemplo, em uma determinada aplicação de alongamento dos cabos do mecanismo ioiô
haverá certa quantidade de alongamento da mola durante a operação normal. Se a rotação
inicial for maior que a normal a mola alongar-se-á mais que o normal durante a operação e
reduzirá a rotação para o valor desejado. Se o giro inicial for inferior ao giro nominal, a mola
irá alongar menos do que o normal durante o funcionamento para uma rotação inferior. O
mecanismo ioiô é um exemplo simples de um sistema adaptativo: detecta o ambiente de
rotação em que está e corrige-o em conformidade. Além disso, será mostrado que o
mecanismo ioiô é relativamente insensível a variações (incertezas) do momento de inércia de
rotação.
Palavras-chave: Frenagem, Ioiô, Rotação, Velocidade.
iv
- 1 INTRODUÇÃO SUMÁRIO
- 1.1 Objetivos.......................................................................................................................
- 1.2 Revisão Bibliográfica
- 1.3 Metodologia
- 1.4 Conteúdo do trabalho
- 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
- 2.1 Definição de rotação
- 2.2 Representação de Atitude
- 2.3 Princípios físicos
- 2.3.1 Momento angular
- 2.3.2 Momento de inércia
- 2.3.3 Força centrífuga.................................................................................................
- 2.4 Dinâmica Lagrangiana
- 2.4. 1 Princípios da Mecânica Newtoniana
- 2.4.2 Vínculos
- 2.4.3 Princípio de d’Alembert
- 2.4.4 Coordenadas Generalizadas e Equações de Lagrange
- 2.4.5 Aplicações das Equações de Lagrange..............................................................
- 2.4.6 Potenciais Generalizados e Função de Dissipação
- 2.4.7 Forças Centrais e Teorema de Bertrand
- 2.5 Sistemas de coordenadas
- 2.6 Equações de movimento
- 2.6.1 Equação de Euler
- 2.7 Energia Cinética e Potencial
- 2.7.1 Equações cinemáticas em termos dos quatérnions
- 2.7.2 Energia potencial gravitacional
- 2.7.3 Energia potencial elástica
- 2.7.4 Conservação da energia mecânica.....................................................................
- 2.8 Satélites estabilizados por rotação
- 3 DESENVOLVIMENTO
- 3.1 Análise Dinâmica
- 3.2 Equação de movimento da fase
- 3.3 Equação de movimento da fase
- 3.4 Abordagem simplificada para as equações do mecanismo ioiô
- 3.5 Massa distribuída no cabo
- 3.6 Aplicando as equações do projeto
- 4 TESTES E RESULTADOS
- 4.1 Resultados obtidos para o mecanismo ioiô.................................................................
- 5 CONCLUSÕES
- REFERÊNCIAS..................................................................................................
- APÊNDICE A.....................................................................................................
- APÊNDICE B......................................................................................................
- APÊNDICE C......................................................................................................
v
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 – Parâmetros e requisitos de projeto.......................................................................
vii
LISTA DE SÍMBOLOS
θ Teta
ϕ Fi (variante)
Δ Delta
ζ Zeta
φ Fi
𝜕 Diferencial
𝑝 Densidade
𝑒 Exponencial
δ Delta minúsculo
α Alpha
β Beta
π Pi
𝝴 Épsilon
ξ Csi
γ Gama
∇ Nabla
viii
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CM Centro de Massa
FATESF Faculdade de Tecnologia São Francisco
TEC Teorema da Energia Cinética
RPM Rotação por minuto
rotação pode comprometer o experimento e um grande erro de desvio pode fazer com que os
apêndices de satélites não funcionem ou podem danificá-los no funcionamento.
O dispositivo que reduz, consideravelmente, os erros de rotação devido a variações no
momento de inércia de rotação é o mecanismo ioiô. Ele pode consistir em um peso, um cabo e
acessórios (Figura 1.2), ou simplesmente um peso, uma mola e acessórios (Figura 1.3). O
objetivo da mola é compensar erros na rotação inicial. Por exemplo, em uma determinada
aplicação de alongamento do ioiô, haverá certa quantidade de alongamento da mola durante o
funcionamento normal. Se a rotação inicial for superior ao valor nominal, a mola alongar-se-á
mais do que o normal durante a operação e reduzirá a rotação para o valor desejado. Se a
rotação inicial for inferior ao valor nominal, a mola alongar-se-á menos do que o normal
durante a operação e não reduzirá a rotação para o valor desejado. O mecanismo ioiô é um
exemplo simples de um sistema de controle adaptativo que detecta o ambiente de rotação em
que está, e corrige a rotação em conformidade. Além disso, será mostrado que o mecanismo
ioiô é relativamente insensível às variações (incertezas) do momento de inércia de rotação.
Figura 1.2 – Mecanismo ioiô consistindo de peso,
cabo e acessórios. Escala em polegadas.
(Fonte: Joseph V. Fedor, 1963)
Figura 1.3 – Mecanismo ioiô constituindo de
peso, mola e acessórios. Escala em polegadas.
(Fonte: Joseph V. Fedor, 1963)
As próximas três seções deste trabalho desenvolvem modelos dinâmicos deste sistema e
investiga o comportamento do mecanismo através da análise e simulação desses modelos
matemáticos. Serão apresentadas também todas as equações obtidas para que se tenha uma
resposta eficaz do mecanismo ioiô e todos os métodos realizados para uma boa compreensão.
1.3 Metodologia
Os métodos a serem seguidos para atingir o objetivo desejado são classificados nas
seguintes etapas.
a) Aprofundamento nos estudos teóricos dos assuntos relacionados ao projeto:
Notoriamente nas áreas da física (Energia cinética), dinâmica lagrangiana, cálculo
diferencial, quebra de rotação, momento angular, mecânica. De onde iremos tirar
as equações apropriadas ao funcionamento do mecanismo ioiô em sua fase de
aplicação.
b) Análise do sistema: Observar, interpretar e avaliar os requisitos do projeto.
c) Modelagem matemática do sistema: Através da utilização do conhecimento da
física e matemática, esta etapa consiste em obter as equações do mecanismo para
frenagem da velocidade de rotação de um satélite artificial. A base fundamental
para a formulação desta etapa consiste na teoria da Dinâmica Lagrangiana, Energia
Cinética, Equações do movimento e Equação de Euler.
d) Análise de teste e das repostas: Análise do teste foi realizada através de
experimentos realizados no qual será apresentado o funcionamento e respostas
obtidas pelo mecanismo.
1.4 Conteúdo do trabalho
O trabalho será dividido em cinco capítulos, onde cada um deles apresentarão as etapas
para obtenção do resultado final. Segue a descrição de cada um dos capítulos:
a. Capítulo 1 – Introdução: São detalhados os conceitos iniciais do trabalho, tais
como a base introdutória para elaboração dos demais capítulos.
b. Capítulo 2 – Fundamentos Teóricos: nesta etapa são apresentadas as bases teóricas
do projeto, em sua maior parte assuntos relacionados ao mecanismo ioiô do satélite
e todos os conceitos relacionados.
c. Capítulo 3 – Desenvolvimento: Após coletar toda a base teórica necessária, será
então aplicado o conhecimento adquirido para elaborar o projeto do mecanismo
para frenagem da velocidade de rotação de um satélite artificial com seus
parâmetros de correção de rotação pré-estabelecidos.
d. Capítulo 4 – Teste e Resultado: Os cálculos, gráficos e simulações implementados
até esta etapa serão testados e apresentados para demonstrar o funcionamento do
mecanismo de forma clara e objetiva.
e. Capítulo 5 – Conclusão: os resultados obtidos serão analisados para uma conclusão
do que foi feito no projeto.
𝑂
= r × 𝑚Ṙ (2.2)
Uma vez que Ṙ = Ṙ
𝑂
- 𝑟̇ Equação (2.2) torna-se:
𝑂
= 𝑟 × 𝑚𝑟̇ + 𝑟 × 𝑚Ṙ
𝑂
Figura 2.1 – Movimento de uma partícula de
massa m em relação a um referencial móvel x, y, z e
em relação ao referencial inercial X, Y, Z.
(Fonte: Halliday e Resnick, 2012)
O primeiro termo a direita na Equação (2.3) é o momento angular aparente no sistema x , y,
z que está se movendo e o segundo termo à direita na Equação (2.3) é a correção devido ao
movimento do ponto O.
A taxa de variação de ℎ
𝑂
é de muita importância para o desenvolvimento das equações de
movimento de atitude. Derivando a Equação (2.2) em relação ao tempo tem-se:
𝑂
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 × 𝑚𝑟̇ ) − 𝑅
𝑂
× 𝑚𝑟 − 𝑅
𝑂
× 𝑚𝑟̇ (2.4)
Cada termo do lado direito da Equação (2. 4 ) tem um significado físico. O primeiro é a
taxa de variação do momento angular aparente no sistema x, y, z. O segundo termo representa
o efeito da aceleração do ponto O e o último representa a correção devido à velocidade do
ponto O. Essa taxa de variação do momento angular pode ser relacionada com um torque
aplicado em relação ao ponto O definido como 𝑀
𝑂
. O momento de uma força agindo sobre m ,
em relação ao ponto O , é definido por:
𝑂
= 𝑟 × 𝐹 (2.5)
Onde 𝐹 = 𝑚𝑅
para esse caso. Assim, 𝑀
𝑂
resulta em:
𝑂
= 𝑟 × 𝑚𝑅
= 𝑟 × 𝑚(𝑅
𝑂
Uma vez que 𝑟̇ × 𝑟̇ = 0 , a Equação (2.6) torna-se:
𝑂
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 × 𝑚𝑟̇ ) − 𝑅
𝑂
× 𝑚𝑟 (2.7)
Comparando as Equações (2.6) e (2.4) tem-se:
𝑂
𝑂
𝑂
× 𝑚𝑟̇ (2.8)
Uma observação importante pode ser feita imediatamente desse resultado da Equação
Se o ponto O é fixo no espaço ou r é constante, então:
𝑂
𝑂
Da Equação (2.9) conclui-se que se o torque aplicado for zero, o momento angular do
sistema em relação ao ponto O é conservado, ou seja, isso indica que ℎ 𝑂
é constante sobre a
condição de torques externos serem nulos.
2.3.2 Momento de inércia
O momento de inércia é de suma importância para o entendimento do estudo realizado
nesse trabalho, mas antes de explicar o conceito de momento de inércia será apresentada uma
breve explicação do conceito de inércia.
Inércia é a resistência de qualquer objeto físico a qualquer mudança no seu estado de
movimento, incluindo mudanças na sua velocidade e direção. É a tendência de objetos para
manter, se em movimento, em linha reta com velocidade constante. O princípio da inércia é