Tabelas de Contingência: Modelos de Regressão e Testes de Hipóteses (Parte 1) - Análise, Notas de estudo de Metodologia

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Tabelas de contingˆencia: modelos de regress˜ao e

testes de hip´oteses (parte 1)

Prof. Caio Azevedo

Prof. Caio Azevedo

Tabela de contingˆencia r × s: multinomial

Vari´avel 1 (resposta) C 11 C 12 ... C1(s−1) C 1 s Total Vari´avel 2 C 21 N 11 (θ 11 ) N 12 (θ 12 ) ... N1(s−1)(θ1(s−1)) N 1 s (θ 1 s ) N 1. (resposta) C 22 N 21 (θ 21 ) N 22 (θ 22 ) ... N1(s−1)(θ2(s−1)) N 2 s (θ 2 s ) N 2. ... ... ...... ... ... C 2 r Nr 1 (θr 1 ) Nr 2 (θr 2 ) ... Nr (s−1)(θr (s−1)) Nrs (θrs ) Nr. Total - N. 1 N. 2... N.(s−1) N.s n.. Somente o total geral ´e fixado.

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Tabela de contingˆencia r × s: produto de multinomiais

independentes

Vari´avel 1 (resposta) C 11 C 12 ... C1(s−1) C 1 s Total Vari´avel 2 C 21 N 11 (θ 11 ) N 12 (θ 12 ) ... N1(s−1)(θ1(s−1)) N 1 s (θ 1 s ) n 1. (explicativa) C 22 N 21 (θ 21 ) N 22 (θ 22 ) ... N1(s−1)(θ2(s−1)) N 2 s (θ 2 s ) n 2. ... ... ...... ... ... C 2 r Nr 1 (θr 1 ) Nr 2 (θr 2 ) ... Nr (s−1)(θr (s−1)) Nrs (θrs ) nr. Total - N. 1 N. 2... N.(s−1) N.s n.. Os totais marginais por linha ou coluna s˜ao fixadas. Prof. Caio Azevedo

Tabela de contingˆencia r × s: produto de multinomiais

independentes

Ni = (Ni 1 , Ni 2 , ..., Ni(s−1)) ∼ Multinomials (ni., θi ), i = 1, ..., r. θi = (θi 1 , θi 2 , ..., θi(s−1))′^ ((s − 1) parˆametros), θij ∈ (0, 1) e ∑^ s−^1 j=

θij < 1 , i = 1, ..., r.

π = (θi 1 , θi 2 , ..., θis )′^ (s parˆametros), ∑^ s j=

θij = 1, i = 1, ..., r. Defina θ = (θ′ 1 , ..., θ′ r )′^ (r × (s − 1) parˆametros) e π = (π′ 1 , ..., π′ r )′ (r × s parˆametros).

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Hip´oteses de interesse

Em geral, ´e mais f´acil escrever as hip´oteses na forma (1), enquanto que a forma (2) implica numa simplicidade um pouco maior em termos de ajuste do modelo e testes de hip´oteses. Trabalharemos com a forma (1). Exerc´ıcios: obter os resultados para a segunda forma.

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Exemplo 3 (duas inclina¸c˜oes partid´arias)

Inclina¸c˜ao partid´aria Democrata Republicano Total Gˆenero Feminino 762 (θ 11 ) 468(θ 12 ) n 1. = 1230 Masculino 484(θ 21 ) 477(θ 22 ) n 2. = Total - 1246 945 n.. =

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Exemplo 3 (trˆes inclina¸c˜oes partid´arias)

Inclina¸c˜ao partid´aria Democrata Independente Republicano Total Gˆenero Feminino 762 (θ 11 ) 327(θ 12 ) 468(θ 13 ) n 1. = 1557 Masculino 484(θ 21 ) 239(θ 22 ) 477(θ 23 ) n 2. = Total - 1246 566 945 n.. =

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Hip´oteses de interesse

Homegeneidade entre as distribui¸c˜oes. H 0 :

θ 11 = θ 21 θ 12 = θ 22

↔ H 0 :

θ 11 − θ 21 = 0 θ 12 − θ 22 = 0

vs H 1 : h´a pelo menos uma diferen¸ca Nesse caso π = (θ 11 , θ 12 , θ 13 , θ 21 , θ 22 , θ 23 )′^ e θ = (θ 11 , θ 12 , θ 21 , θ 22 )′. Assim B =

 1 0 0 −^1 0

 ; D =

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Hip´oteses de interesse

Para cada (sub) hip´otese temos, respectivamente, que:

B =

[

]

; D =

[

]

e

B =

[

]

; D =

[

]

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Exemplo 1: compara¸c˜ao de m´etodos de detec¸c˜ao de c´arie

Risco de c´arie segundo o m´etodo convencional Baixo M´edio Alto Total Risco de c´arie segundo Baixo 11 (θ 11 ) 5(θ 12 ) 0(θ 13 ) 16(θ 1 .) o m´etodo simplificado M´edio 14(θ 21 ) 34(θ 22 ) 7(θ 23 ) 55(θ 2 .) Alto 2(θ 31 ) 13(θ 32 ) 11(θ 33 ) 26(θ 3 .) Total - 27(θ. 1 ) 52(θ. 2 ) 18(θ. 3 ) n.. =

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Exemplo 7: efeitos de certos fatores na sobrevivˆencia de

rec´em nascidos (considerando apenas o fator idade)

idade N. de cigarros Sobrevivˆencia N˜ao Sim Total < 30 < 5 74 (θ(1)11) 4327(θ(1)12) n(1)1. = 4401 5+ 15(θ(1)21) 499(θ(1)22) n(1)2. = 30+ < 5 55(θ(2)11) 1741(θ(2)12) n(2)1. = 5+ 5(θ(2)21) 135(θ(2)22) n(2)2. =

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Hip´oteses de interesse

Independˆencia (sobrevivˆencia e n. de cigarros) dentro de cada estrato (grupo: idade)

H 0 :

θ(1)11 = θ(1) θ(2)11 = θ(2)

θ(1)11 − θ(1)21 = 0 θ(2)11 − θ(2)21 = 0 vs H 1 : h´a pelo menos uma diferen¸ca Nesse caso π = (θ(1)11, θ(1)12, θ(1)21, θ(1)22, θ(2)11, θ(2)12, θ(2)21, θ(2)22)′ e θ = (θ(1)11, θ(1)21, θ(2)11, θ(2)21)′. Assim B =

 1 0 −^1 0 0 0 0

 ; D =

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Hip´oteses de interesse

Independˆencia (sobrevivˆencia e n. de cigarros) dentro de cada estrato (grupo: idade × dura¸c˜ao da gesta¸c˜ao)

H 0 :

θ(11)11 = θ(11) θ(12)11 = θ(12) θ(21)11 = θ(21) θ(22)11 = θ(22)

θ(11)11 − θ(11)21 = 0 θ(12)11 − θ(12)21 = 0 θ(21)11 − θ(21)21 = 0 θ(22)11 − θ(22)21 = 0 vs H 1 : h´a pelo menos uma diferen¸ca

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Hip´oteses de interesse

Nesse caso π = (θ(11)11, θ(11)12, θ(11)21, θ(11)22, θ(12)11, θ(12)12, θ(12)21, θ(12)22, θ(21)11, θ(21)12, θ(21)21, θ(21)22, θ(22)11, θ(22)12, θ(22)21, θ(22)22)′^ e θ = (θ(11)11, θ(11)21, θ(12)11, θ(12)21, θ(21)11, θ(21)21, θ(22)11, θ(22)21)′. Assim

B =

; D =

[

]′

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