Baixe Сущность и значение средних величин в статистическом анализе e outras Esquemas em PDF para Dietética, somente na Docsity!
Сущность и значение средних величин. В результате группировки единиц совокупности по величине варьирующего признака получают ряды распределения - первичную характеристику массовой статистической совокупности. Чтобы охарактеризовать такую совокупность в целом, часто пользуются средней величиной. Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени. Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака единиц наблюдения, т.е. в замене x 1 , x 2 , x 3 , ... xn некоторой уравненной величиной. Средние величины применяются для оценки достигнутого уровня изучаемого показателя, при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности предприятий (объединений), фирм, банков и других хозяйственных единиц; средние используются при выявлении взаимосвязей явлений, при прогнозировании, а также расчете нормативов. Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность (единицу измерения), что и признак у отдельных единиц совокупности. Основным условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Поэтому очень важное правило - вычислять средние величины лишь по однородной совокупности единиц. Только при выполнении этого условия средняя как обобщающая характеристика отражает общее, типичное, закономерное, присущее всем единицам исследуемой совокупности. Прежде чем вычислять средние величины, необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы. Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, - групповыми средними.
Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы. Средняя арифметическая простая и взвешенная. Если имеется несколько различных индивидуальных величин одного и того же вида и надо исчислить среднюю, то необходимо найти сумму всех индивидуальных величин и поделить полученную сумму на их число. Обозначим индивидуальные значения признака через x1, x2, x3, ...xn, число индивидуальных величин - n, среднюю величину -. Средняя величина, вычисленная по формуле: называется средней арифметической простой. Средняя арифметическая простая равна частному от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество. Пример. Требуется вычислить средний стаж работы 12 работников туристической фирмы. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6, 4, 5, 4, 3, 3, 5, 6, 3, 7, 4, 5. Как видим, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значение, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.
Средняя арифметическая взвешенная, по которой производился расчет в рассмотренном примере, не имеет принципиальных отличий от простой средней арифметической (средние, рассчитанные по разным формулам совпадают), просто суммирование f раз одного и того же значения признака (варианта) заменено в ней умножением варианта на f. При этом величина средней зависит уже не только от величины индивидуальных значений признака (как в простой средней арифметической), но и от соотношения их весов (частот). Чем большие веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней и наоборот. Вычисление средней арифметической интервального ряда. Вариационные ряды получаются в результате группировок, причем часто группировочные признаки показаны не одной величиной, а в определенных интервалах. Такие ряды называются интервальные. Вычисление средней из интервального ряда имеет некоторые особенности. Для того, чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем - среднюю для всего ряда. Средняя для каждого интервала определяется как полусумма верхней и нижней границ, т.е. по формуле средней арифметической простой. Определение варианты как полусуммы верхней и нижней границ интервального ряда исходит из предположения, что индивидуальные значения признака внутри интервала распределяются равномерно и, следовательно, средние значения интервалов достаточно близко примыкают к средней арифметической в каждой группе. В действительности это не всегда так, поэтому средние, вычисленные из интервальных рядов, являются приблизительными.
Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые определяют ее широкое применение в экономических расчетах и в практике статистического исследования. Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: Свойство 2 (нулевое). Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: для первичного ряда и для сгруппированных данных (di - линейные (индивидуальные) отклонения от средней, т.е. xi - ). Это свойство можно сформулировать следующим образом: сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений. Логически оно означает, что все отклонения от средней в ту и в другую сторону, обусловленные случайными причинами, взаимно погашаются. Свойство 3 (минимальное). Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное: что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы
В статистике все абсолютные величины являются именованными, измеряются в конкретных единицах. И в отличие от математического понятия абсолютные величины могут быть .как положительными, так и отрицательными. Абсолютные величины делятся на:
- Индивидуальные – характеризуют размер признака отдельных единиц совокупности.
- Суммарные. Характеризуют итоговое значение признака по определённой части совокупности. Они разделяются на: a) моментные - показывают фактическое наличие на определённый момент или дату. b) интервальные - итоговый накопленный результат за период в целом. В отличие от моментных, они допускают их последующее суммирование. Абсолютная величина не даёт представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями и развития во времени. Эти функции выполняют относительные показатели. Относительная величина – это обобщающий показатель, который даёт числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин. Основное условие правильного расчёта относительной величины – это сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями. Таким образом, по способу получения относительные показатели всегда величины производные, определяемые в форме коэффициентов, промилле и т.п. Показатели вариации и способы их расчета. При изучении явлений и процессов общественной жизни статистика встречается с разнообразной вариацией (изменчивостью) признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности.
Величины признаков изменяются под действием различных факторов. Очевидно, что чем разнообразнее условия, влияющие на размер данного признака, тем больше его вариация. Например, размер заработной платы рабочих зависит от нескольких факторов: специальности, разряда, стажа работы, образования, состояния здоровья и т.д. Чем больше различия между значениями факторов, тем больше вариация в уровне заработной платы. При характеристике колеблемости признака используют систему абсолютных и относительных показателей. Абсолютные показатели вариации: Размах вариации R = xmax - xmin; Среднее линейное отклонение Дисперсия Среднеквадратическое отклонение Абсолютные показатели, кроме дисперсии, измеряются в тех же единицах, что и сам признак. Относительные показатели вариации: Коэффициент осцилляции
для сгруппированных данных (вариационного ряда) Дисперсия - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины. Дисперсия рассчитывается по следующим формулам: для несгруппированных данных для сгруппированных данных (вариационного ряда) Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако её применение как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение (представляет собой корень квадратный из дисперсии): для несгруппированных данных для вариационного ряда
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение недостаточно полно характеризуют колеблемость признака, т.к. показывают абсолютный размер отклонений, что затрудняет сравнение изменчивости различных признаков. Для характеристики колеблемости явлений среднее квадратическое отклонение сопоставляется с его средней величиной и выражают в процентах. Такой показатель называется коэффициентом вариации. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле: Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Выражая коэффициент вариации в процентах, различные абсолютные среднеквадратические отклонения приводят к одному основанию и дают возможность сравнивать, оценивать колеблемость величин различных признаков. При помощи коэффициента вариации возможно, например, сравнение размера колеблемости производительности труда рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера колеблемости урожаев различных сельскохозяйственных культур и т.д. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот. Относительное линейное отклонение определяется как отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической в процентах: Отношение размаха вариации к средней арифметической в процентах называется коэффициентом осцилляции:
- Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака x от их средней меньше суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от любого данного числа a при условии, что , т.е. Доказано, что эти две суммы отличаются на квадрат разности между и a Это свойство дает возможность упрощать расчеты среднего квадратического отклонения путем замены громоздких отклонений от любого произвольно взятого числа, удобного для проведения расчетов, с последующей поправкой.
- Дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом их средней, т.е. Рассмотрим вычисление дисперсий c применением её свойств. Один из упрощенных способов вычисления дисперсии основан на следующем равенстве: Этот способ исчисления дисперсии называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля. Дисперсия альтернативного признака. В ряде случаев возникает необходимость измерить вариацию альтернативного признака. Обозначив отсутствие интересующего признака через "0"; его наличие - через "1"; долю единиц, обладающих данным признаком - через q, исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию.
Среднее значение альтернативного признака равно т.к. (сумма долей единиц, обладающих и не обладающих данным признаком, равна единице). Дисперсия альтернативного признака определяется следующим образом: Подставив в формулу дисперсии вместо 1-p значение q=1-p, получим: Таким образом, , т.е. дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, им не обладающих. Правило сложения дисперсий. На вариацию признака влияют различные причины, факторы. Все они делятся на случайные и систематические (постоянные). Поэтому вариация может быть случайной, вызванной, вызванной действием случайных причин, и систематической, обусловленной воздействием постоянных факторов. В связи с этим возникает необходимость в определении случайной и систематической вариации, их роли в общей вариации и влияния на нее. Как уже отмечалось, общая дисперсия характеризует общую вариацию признака под влиянием всех условий, всех причин, вызывающих эту вариацию, и рассчитывается следующим образом: ;
Чтобы определить её, надо рассчитать вначале внутригруппировочные дисперсии по каждой группе в отдельности, а затем среднюю их них. Средне квадратическое отклонение. Средне квадратическое отклонение (σ) и дисперсия (σ^2 ) определяются так: Для несгруппированных данных (первичного ряда) σ =
x x
^2
n
σ2 =
x x
^2
n
для вариационного ряда σ =
x x
2
f
f
σ2 =
x x
f
f
формула для расчета дисперсии может быть преобразована: σ2 =
xi x
2
n i 1
n
=
xi^
^2
n i 1
2 xix
x^
2
n
=
xi^
^2
n i 1
2 x xi^
n i 1
n
x^
2
n
=
= xi
^2
n i 1
n
- x^ 2 , т.е. дисперсия равна средней из квадратов индивидуальных значений признака минус квадрат средней величины. Следовательно,
σ2 = x
2
x
2 Среднее квадратическое отклонение по своей величине всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойствами
мажорантности средних.
