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CAPITULO 2 Soluções locai: Começaremos, neste capítulo, pelas perguntas mais básicas de todas: Toda equação diferencial tem soluções? Se sim. quantas? Inicialmente, consideraremos estas questões no âmbito das equações diferenciais de ordem 1: (2.1) q =F(t,2), com F:U = Rº continua em algum aberto U de RItº, Veremos que soluções sempre existem, mesmo que exijamos que z(to) = zo para um ponto qualquer (to,zo) EU. Além disso, sob certas condições adicionais, também é verdade que para cada (to, 2x0) EU existe uma única solução de (2.1) satisfazendo x(to) = zo. Esse é o conteúdo dos chamados teoremas fundamentais da teoria das equações diferenciais: o Icorema de Existência e Unicidade de Picard (Teorema 2.4) c o “Ieorema de Existência de Pcano (Teorema 2.16), Estes resultados conduzem imediatamente a outras perguntas importantes: mo é que as soluções dependem da escolha de (to,zo)” E como dependem do própria equação diferencial? Se substituirmos (to, zo) por um ponto próximo dele, a respectiva solução estará próxima da solução original? E se substituirmos F por uma função próxima, dela, em algum sentido adequado, as soluções da nova equaç: diferencial estarão pi as das soluções da equas ginal? Estas questô respondidas de maneira muito satisfatória pelo Teorema de Dependência Contínua, (Teorema 2.21) e pelo Teorema dc Dependência Diferenciável (Teorema 2.29). Na Seção 2.9.1 estenderemos estas conclusões para equações de ordem arbitrária cena Seção 2.5. nente algumas questões correlatas, no contexto mais amplo das equações diferenciais parciais. Um aspecto da demonstração do Teorema de Picard que merece scr destacado é que ela é construtiva c muito eficaz: ela fornece explicilamente funções tão próximas quanto se queira da sc »lução exata da equação e, de fato, à convergência é bastante rápida. Este fato servirá de base para os experimentos numéricos que encerram o capítulo: na Seção 2.6 o leitor é convidado a escrever o argumento da demonstração na forma de um algoritmo numérico, e a utilizá-lo para analisar as soluções de equações diferenciais. amalisaremos bre 2.1. Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard) Lembre que uma aplicação F: X > Y entre dois espaços métricos é dita tipschitziana sc existe C > O tal que (2.2) dy(F(x1), F(x2)) < Cdx(z1,x2) para quaisquer 71,72 € X. Então C é chamada constante de Lipschitz para F e, quando queremos explicitar o seu valor, dizemos que F é C fipschitziana. 25 26 2. SOLUÇÕES LOCAIS Para enunciar o Teorema de Picard precisamos da seguinte extensão desta noção: DEFINIÇÃO 2.1. |Jizemos que uma aplicação F :U > Rº é localmente lipschit- “iana em x se, para todo (to, xo) EU, existem 6 = ó(to,zo) >00C = Clto,xo) >0 tais que Bs(to) x Bs(zo) CU € IF (t,x1)-F(t,xo)|| < Clzi—za|| para todo t E Bs(to) c quaisquer 71,72 € Bs(zo). ExEmpLO 2.2. Suponha que F :U — Rº é de classe C! na variável z, ou soja, que a derivada parcial OF (t,2) existe cm todo ponto e depende continuamente de (t, x) EU. Então F é localmente lipschitziana em 2. Isto é uma consequência imediata do Teorema do Valor Médio: IF (t,x1)-F(t,xo)|| < Clzi—za|| para todo t E Bs(to) c quaisquer 71,72 € Bs(zo), tomando C=sup (lo: F(6,2)] :tE Bolo) ez E Bolão). Claramente, nem precisamos que à derivada parcial seja contínua, basta que seja localmente limitada. Txumpro 2.3, Para aplicações entre espaços cuclidianos, podemos dar uma interpretação geométrica sugestiva para à propriedade lipschitziana: existe algum cone vertical tal que quando colocamos o seu vértice em qualquer ponto (71, F(z1)) do gráfico da função, tanto virado para cima quanto para baixo, o cone c o gráfico intersectam-se apenas nesse ponto. A Figura 2.1 ilustra esta questão para a função real F(x) = Je]: no ponto x, = O não existe tal cone e, portanto, a função não pode ser lipschitziana; por outro lado, F é lipschitziana na vizinhança de todo ponto z1%0. «NA FO) I Figura 2.1. Função que não é lipschitziana: a condição (2.2) fa- lha no ponto z4 = 0. Tuonma 2.4 (Existência e Unicidade). Suponha que FP :U > Rº é contínua e localmente lipschitziana em x. Então, (1) para todo (to, xo) EU existem algum intervalo aberto 1 e alguma solução q:ISRº da equação diferencial (2.1) tal queto ET en(to) = zo; 28 2. SOLUÇÕES LOCAIS a Figura 2.2. Soluções determinadas para à equação (2.3), Nesta seção vamos recordar a noção de contração c o enunciado preciso do Teorema do Ponto Fixo para Contrações que, como acabamos de explicar, tem um papel central no argumento. DEFINIÇÃO 2.8. Seja (X,d) um espaço métrico. Dizemos que uma aplicação T:X> X é uma contração sc existe À < 1 (chamado taxa de contração de T) tal que d(T(x),T(y)) < Ad(x,y) para todo z,y E X. TuorEMA 2.9 (Ponto Fixo para Contrações). Seja T:X > X wma contração num espaço métrico completo, com taxa de contração À. Então existe um único zo E X tal que T(xo) = To. Além disso, pura todo E X, (2.4) d(xo,T"(x)) < TEqatr(e),0) para todo n > 0. Em particular, a trajetória (T"(x))n de todo 2 E X converge para zo quando n > oo. DEMONSTR ão, Para qualquer z € X e quaisquer inteirosm >n. >0, ma ATO) LD UT (0), Ta) (2.5) r < s Nid(T(a), 2) < j=n Isto implica que (T"(x))n é uma sequência de Cauchy c, portanto, é convergente. Considere (2.6) to= lim Tr(a). 2.1, 1EOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE (TEOREMA DE PICARD) 29 Como a transformação T é contínua, (2.6) implica que T(xo) = lim T"H (x) = o. n Considere qualquer yo € X tal que T(yo) = yo. Então d(xo,yo) = d(T(xo), T(y0)) < Ad(xo, yo). Como À < 1, segue que d(zo,y0) = O. Isto mostra que o ponto fixo é único e, em particular, que o ponto zo em (2.6) é o mesmo para todo x € X. Finalmente, fazendo m — 00 em (2.5) vermos que x 1-À o que completa a demonstração. [mn d(xo,T"(x)) < d(T(x),x) paratodon > 0 ctodo xe X, 2.1.2. Demonstração do “Teorema 2.4. Agora vamos definir um espaço de funções adequado c reformularemos a equação (2.1) como uma equação de ponto fixo nesse espaço. Dado qualquer (to, xo) EU, fixe ó > 0 tal que (conlira à Figura 2.3) (2.7) Bs(to) x Bs(xo) CU. Ri FiGuRA 2.3. Significado da condição (2.7). À escolha de 6 influ- encia o domínio de definição da solução. Como F é localmente lipschitziana em x e o conjunto Bs(to) x Bs(xo) é com- pacto, segue do Lema 2.7 que existe C(6) > 0 tal que (2.8) IlP(e, 1) — lt, zo) < C(ó)llzr — 2) para quaisquer (t, 71), (t,x2) E Bs(to) x Bo(xo). Seja (2.9) M(ô) = supt||F(t, m)]l : (1,2) E Boto) x Bo(zo)>. Dado qualquer e < 6, designe por Y = Y'(to, zo, 6, e) o espaço das funções contínuas w:(to—e to+e) > Bs(xzo) com (to) = zo. 2.1, /EOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE (TEOREMA DE PICARD) a tal que + (2.13) Yo(t) = zo +[ F(s,Yo(s)) ds, para todo t E (to — esto + e). to Em particular, yo(to) = zo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a relação (2.13) implica que 7 é diferenciável e volt) = F(t, vo(t)) para todo t E (to — esto + e). Em outras palavras, Yo é solução da equação diferencial (2.1). Isto prova a parte (1) do Teorema 2. Tara provar a parte (2), sejam q : h > Rºe 9): Db > Rº duas soluções quaisquer tais que (to) = Ya(to) para algum to Eh NL, tal como ilustrado na Figura 24. Considere IT = (te hNhb:n(t) = 7(b). Por definição, o conjunto T é não vazio e fechado em A NL. Afirmamos que 1 também é aberio em A Nh. Isto implicará que 1 = A NL, que é precisamente o que queremos mostrar. b Fá Fá 3 3 t % ) h Figura 2.4. Ponto comum nos intervalos de defi Para provar a afirmação, considere qualquer so E T. Então, mi(so) = yo = 72(80) para algum (0,40) EU. Pela construção do parágrafo anterior aplicada a (so, yo), encontramos ô > O tal que £:Y(s0,y0,6,€) > Y(so,y0,0,€) é uma contração e, portanto, admite um único ponto fixo, qualquer que seja e suficientemente pequeno. Para qualquer j € (1,2), é claro que a restrição | (so — 6, so + €) está em Y' (so, yo, 6, €) desde que e seja suticientemente pequeno. Além disso, à hipótese acarreta que (t) = F(t,w(t)) para todo t E (so — 6, so + e) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, esta última afirmação implica que t Yi(t) = vo +[ F(s,y;(s)) ds para todo te (so— e, so +). so Tsto significa que y; | (so — e, so + e) é ponto fixo de L : Y (so, y0,6,€) > Y(so, yo; 0, €) para j = 1,2. Por unicidade do ponto fixo, segue que (t) = 92(t) para todo t E (so — e, so +). Isto prova que 1 é aberto, tal como afirmamos. Logo, a demonstração do Teo- rema 2.4 está completa. 32 2. SOLUÇÕES LOCAIS Vale a pera enfatizar que 0 argumento que acabamos de apresentar é totalmente construtivo e, portanto, também fornece um método de cálenlo, tanto analítico quanto numérico, das solução Yo da equação diferencial: basta considerar qualquer função y no espaço Y, calcular as suas imagens pelo operador de Picard L e passar ao limite: (2.14) Aliás, este método é bastante eficaz pois a convergência é exponencialmente rápida: de acordo com (2.4), ) d(£L"(9),70) < TA d(£(9),7) para todo n > 0. O seguinte exemplo simples ilustra estas observações: x (2.15 ExtmpLO 2.11. Considere FP: R2 > R dada por F(t,x) = 2tz c a respective equação diferencial (2.16) aq = F(t,2) = 2tz. Parato=0c xo =1, a construção anterior dá ein =1+ [ esis)as Tome, por exemplo, y(t) = 1. Então, Lt) = 14 [sido 1+e, : Lo) = nf as (14 S)ds=1+8+ 5, o : (indução) ' 2 la 1 2 1 L nto=1+ [ as (1482 +58! 4. + —— 80) ds N 2 =D! t4 t8 pm = 2 — — ... — =1+P+5+7+ E Os gráficos destas funções estão representados na Figura 2.5. Analisando o lado direito destas igualdades vemos que L"(W(t) converge para yo(t) = e” quando n — 00. Observe que Y9 é realmente solução da equação (2.16) € satisfaz Y0(0) = 1. 2.1.3. Estimativas do intervalo de definição. A construção de soluções utilizada na demonstração do Teorema 2.4 é meramente local: ela fornece soluções definidas apenas numa pequena vizinhança (to — esto + é). Uma das questões que precisamos investigar com mais profundidade é: O que pode ser dito sobre o inter- valo máximo em que está definida uma solução da equação diferencial com condição inicial (to) = zo” Esse serão tema principal do Capítulo 3 c o teorema que vamos enunciar a seguir será uma ferramenta importante. sa 2. SOLUÇÕES LOCAIS DEMONSTRAÇÃO. A hipótesc (2.18) garante que o operador L está bem defi- nido. Para todo n > 1, t Lt) — Lo) tDI < / [Cs 2º) (81) — F(s1, 2º! (95) (81) | di é majorada por 1 seja escolhido suficientemente grande. Então, o iterado L" é uma contração. õ Também temos a seguinte versão um pouco mais forte do Teorema 2.9, cuja demonstração deixamos ao cuidado do leitor (veja o roteiro proposto no Exerci- cio 2.16). Cororário 2.14. Seja (X,d) um espaço métrico completo e scgjaT:X > X uma aplicação contínua tal que Tº é uma contração para algum K > 1. Então existe um único xo E X tal que T(x9) = xo. Além disso, seX< 1 é uma tuza de contra o de T*, para todo x E X existe Cu(x) > 0 tal que (2.19) d(xo, T"(x)) < Co(2)N"/S para todo n > 0. Em particular, a trajetória (T"(x))n de todo « E X converge para xo quando n > 00. Continuemos a demonstração do Teorema 2.12. Combinando o Lema 2.13 com o Corolário 2.14 obtemos que sc e satisfaz (2,18) então Z tem um único ponto fixo peYe L"(y) > 7 pata todo y E Y. A partir deste ponto, a demonstração é análoga à da parte (1) do Teorema 2.4. 0] OBSERVAÇÃO 2.15, No Exemplo 2.11 os iterados de Picard L”"(Y) estão defini- dos em Re a convergência ocorre em toda a reta (uniformemente cm todo intervalo compacto). Em geral, precisamos trabalhar com curvas 7 definidas numa vizinhança de to suficientemente pequena para garantir que suas imagens L(y) estejam bem 2.2. TEOREMA DE EXISTÊN! A (TEOREMA DE PEANO) 35 definidas. À restrição a uma pequerta vizinhança taanbêm nos permitiu mostrar que o operador £ é uma contração c, consequentemente, a convergência dos iterados de Picard é exponenciahnente rápida: Tembre de (2.15). No Icorema 2.12 obtivemos uma estimativa melhor para O raio dessa vizi- nhança, que será muito útil na próxima seção. No cutanto, esta melhora vem com um preço: agora só podemos garantir que Lº é contração para algum « > 1 suficien- temente grande. A convergência continua sendo exponencialmente rápida, mas com estimativas que pioram à medida que x aumenta (compare o Teorema 2.4 com o Corolário 2.11). Na verdade, em geral há convergência em domínios muito maiores, conforme mostra o Exercício 2.7. Mas, mais uma vez, as estimativas da conver- gência dependem do domínio considerado e tendem à piorar quando esse domínio aumenta. Tsso tem consequências práticas relevantes quando buscamos aplicar estas ideias na resolu À de equações diferenc omo faremos na Seção 2.6): con- vergência lenta acarreta bastante tempo de iteração antes que os iterados comecem realmente a se aproximar da solução; nesse meio tempo, além do eusto computa- cional e da necessidade de memória para armazenar resultados pouco relevantes, a acumulação de crros de cálculo pode afetar a solução obtida, inclusive fazendo com que os iterados excedan a capacidade de representação da Ináquina. 2.2. Teorema de Existência (Teorema de Peano) Nesta seção vamos mostrar que à continuidade da F é suficiente para garantir a existência de soluções da equação (2.1): TLuoREMA 2.16 (Existência). Suponha que a função F é contínua. Então, para todo (to, xo) EU existem algum intervalo aberto 1 e alguma solução y: 1 > Rº da equação diferencial (2.1) comto ET eY(to) = zo. A ideia da demonstração é a seguinte. Primeiramente, verificaremos que qual- quer função contínua F :U > Rº pode scr aproximada, num sentido conveniente, por funções diferenciáveis E :U > Rº. Tela teoria apresentada anteriormente, dado qualquer (to, zo) EU, cada uma das equações (2.20) q = Fu(t,a) admite alguma solução yn : In — Rº com condição inicial yn(to) = zo EU. Usando as no Teorema 2.12, mostraremos que, a menos de restringir a uma as estimat subsequência, se necessário, podemos supor que (Y)n converge para alguma função 4:15 Rº. O último passo será verificar que y é solução da equação diferencial (2.1). Passemos a detalhar este esboço da demonstração. 2.2.1. Aproximação por funç do seguinte resultado geral: diferenciáveis. Começamos pela prova PROPOSIÇÃO 2.17. Sejam ab>1 e f:U> Rº uma função contínua definida num aberto U de Rº. Então existem funções fa: Un —> R',n > 1 de classe CO tais que: (1) (Un)n é uma seque: crescente de abertos tais que U Un =U; (2) (fn)n converge para f uniformemente em cada compacto K C 2.2, !EOREMA DE EX ÊNCIA (TEOREMA DE PEANO) 37 Considere n suficientemente grande para que K CU, c 1/n < 6. Então, como pr está suportada na bola de raio 1/n c a sua integral é igual a 1, temos que nl) — Ho) = Lo cobre dio [o onlof(o) do Bi/n(0) Biyn(0) 1. za Claro que precisamos verificar que estamos realmente nas condições em que a Regra de Leibniz pode ser aplicada, especialmente quando consideramos um domí- nio de integração ilimitado. Isto pode scr feito da seguimte forma. Dado qualquer to € Un, fixe uma vizinhança V de zo contida cm Un c um compacto K CU tal que a bola fechada de raio 1/n cm torno de todo ponto de V está contida cm K. Então, fnlm) = [ Pnlz — x) f(z) dz, paratodo x EV. K O domínio de integração é compacto, o integrando é contínuo e derivável em respeito az cesta derivada também é contínua. Assim, a Regra de Leibniz c o Teorema de Convergência Dominada resultaan em Dfn( ) —Dpn(z — x) f(y) dz, para todo x E V. K Portanto, para obter (2,21) basta observar que esta última integral não muda quando substituímos o domínio de integração K por todo o Rº. Do mesmo modo obtemos (2.22). [m 2.2.2. Equicontinuidade. Voltando ao contexto do Teorema 2.4, a Proposi- ermite-nos obter funções de classe CS Fa Un Rº, E 2. SOLUÇÕES LOCAIS onde (Un)n é uma sequência crescente de abertos de RI“ cuja união é U v a sequência (Fr)n converge para F :U — Rº uniformemente cm compactos. Pixemos tal sequência (Fn)n € consideremos as respectivas equações diferenciais (2,20), Como as funções F, são localmente lipschitzianas cm x (lembre do Excm- plo 2.2), a teoria que apresentamos anteriormente garante que, para cada n > 1 tal que (to, zo) E Un, existe alguma solução mlto-eto+e) >Rº de (2.20) satisfazendo Yn(to) = zo. O objetivo desta seção é mostrar que estas soluções satisfazem certas condições uniformes em n. A primeira delas é que o raio e do domínio pode ser escolhido independente de n. Isto é uma consequência simples das estimativas no Teorema 2.12. De fato, de acordo cum este teorema, podemos tomar qualquer eXmin [5 q onde ô só depende da distância de (to, zo) ao complementar de Un c Mn(ô) é o supremo de [|Fn|| restrito ao compacto K = Bs(to) x Bs(xo). Como a sequência (Un)n é crescente, é claro que podemos escolher ô independente de n. E como F, converge para F uniformemente em K, a sequência Mn (6) é majorada por alguma constante M (6) que não depende de n. Isto prova a nossa afirmação de que podemos tomar € independente de n. Outra propriedade importante de uniformidade é que es funções Yn : (to — eto+e) > Rº são lipschitzianas, com constante de Lipschitz independente de n. De fato, por construção, ma) =20+ [ FulsvnloDás é (br7n(0) € Bio) x Bio) para todo t. Como a restrição de ||Fn|| ao compacto K = Bs(to) x Bo(xo) é majorada por M(6), segue que (2) Ihatto) = antiot= | [O Euloan(o) do Isto prova a nossa afirmação. Rº c uma subsequência (nx) tal que (Y%ny)k converge para Y, uniformemente em compactos de (to — esto + e). Lembre que F, converge para F uniformemente em compactos e que dali) =20+ | Eslovialoas é (bm(t) € Balla) x Bsloo) para todo t E (to + esto + e) é todo n. Togo, tomando o limite ao longo da subsequência (ny) € usando o Teorema de Convergência Dominada, + “(t) = xo + / F(s,Y(s)) ds para todo t E (to — esto + e). to au 2. SOLUÇÕES LOCAIS onde V é um aberto de algum espaço euclidiano RH? e, para cada valor de qu, considerarermos à equação diferencial (2.25) 2 = Gu(ts2). Dizemos que G é locahnente lipsehitziana em 2 se G, é localmente lipschitziana em x (Definição 2.1) para todo u. Então, para cada (to, Zo,) E V existe solução única Vasco: (to — esto + e) +Rº da equação (2.25) com condição inicial Yo, vo,u(to) = zo. Queremos entender como é que esta solução depende do parâmetro qu e do ponto (to, xo). 2.3.1. Dependência contínua do parâmetro. Aqui vamos enunciar c pro- var 0 Teorema de Dependência Contínua. Para tornar a apresenta mais trans- parente, começaremos pur dar uma versão parcial, tratando apenas da dependência do parâmetro, da qual deduziremos depois o enunciado completo. TEOREMA 2.19 (Dependência contínua do parâmetro). Sejam V um aberto de RittreG:V 5 Rº, (tx,u) > Gultx) uma aplicação contínua e localmente tipschitziuna em x. Então, pare todo (to, Lo, lo) EV, existe p> 0 tal que: (1) o domínio da solução Y da eguação diferencial (2.25) com condição ini- cial Yulto) = zo contém o intercalo [to — p, to + p], para todo q € Bp(go); (2) a aplicação (t, pu) +» Yu(t) é contínua em [to — p,to + 0] x Bo(go). DEMONSTRAÇÃO. À demonstração está baseada no mesmo tipo de ideias que utilizamos para provar o Teorema 2.16. Fixe ô > 0 tal que Ks = Bs(to) x Bs(zo) x Bs(uo) esteja contido em V. Tome e=min (8, mo) onde M(6) = sup (1 Gu(t, 2): (t,2,1) € Ko). Telo Teorema 2.12 aplicado a cada equação (2.25), temos que a respectiva solução Yu com condição inicial Yu(to) = zo está definida no intervalo (to — esto + e) para todo q E Bs(go). Isto prova a parte (1) do teorema, para qualquer p < e < 6. Em seguida, observemos que as soluções Y, : [to — psto + p] > Rº são lips- clitzianas, com constante de Lipsehitz independente de q € Bo(go). De fato, por construção, t “ult) = to +[ Gu(s,Yu(s)) ds para todo t E [to — p;to + p). to Logo, para quaisquer ty, to E [to — p,to + p] e todo u E Bo(go), (2.28) Inalto = aula = | [Golo alo) ds Isto prova a nossa afirmação. O próximo objetivo é provar à parte (2) do teorema. Para isto, precisamos do seguinte fato: < M(ô)lty — tal. Leva 2.20, Dada qualquer sequência (ux)k E Bo(uo) convergindo para algum à (Yu) converge uniformemente para Yu. Além disso. Yu é solução de equação 1º = Gu(t,x) com condição inicial Yulto) = To 2.3. TEOREMA DE DEPENDÊNCIA CONTÍNUA a DEMONSTRAÇÃO, A obscrvação (2.26) implica que à sequência (Yu, )k é equi- continua. Como Y%(to) = zo para todo k, também segue que a sequência é uni- formemente limitada. Pelo Teorema de Ascoh Arzela ([358, Icorema 7.25]), isso implica que toda subsequência possui alguma subsubsequência convergente. Por- tanto, para mostrar que (Y,, )k converge pata Y, basta mostrar que toda subsequên- cia convergente converge para Y,. Logo, a menos de restringir a uma subsequência se necessário, basta mostrar que se a própria (Y,)k converge então o limite é Y,. Suponha então que (Yu, )k converge uniformemente para alguma % : [to — p,to+ 9] > Rº, Como G é contínua, também segue que Gy (8%, (5)) converge unifor- menente para G,(s,Y(s)). Por construção, : Must) = 20 + [ Gu, (8,Yus (8) ds para todo t € (to — esto +€) é todo k. to Passando ao limite vem que + a(t) = zo +[ Gu(s,Y(8)) ds para todo t E (to — esto + e). to Isto mostra que % é solução da equação «' = Gy (t, x) com condição inicial (to) = o. Por unicidade (parte (2) do Teorema 2.4), segue que = Yu. Isto prova à afirmação, [mn] Agora suponha que (tk, us)k converge para algum (t, pu) em [to — p,to + p] x Bp(to). Pelo Lema 2.20, dado qualquer e > O temos que Iyus (te) — Yu(tx) || < e para todo k suficientemente grande. Além disso, pela continuidade de y,, temos que Iyu(tr) — yu(t)|| < e para todo k suficientemente grande. Togo [yu (te) — Yu(t)|| < 2e para todo k suficientemente grande. Isto prova a parte (2) do teorema, (| 2.3.2. Teorema dc Dependência Contínua. Agora vamos deduzir do Te- orema 2.19 que as soluções da equ: diferencial (2.25) dependem continuamente tanto da condição inicial quanto do parâmetro: Teorema 2.21 (Dependência Contínua). Sejam V um aberto de RlitdtP e GIVSRÍ, (tr,u) > Gult,x) uma aplicação contínua e localmente hipschitziana emz. Então, para todo (to, To,Ho) E V, existe p> 0 tal que: (1) para todo (E, Z,u) E Bplto) x Bo(xo) x Bo(Ho). 0 domínio da solução Y%,zu da equação diferencial (2.25) com condição inicial Ya u(b) = T contém o intervalo [E — p,E + p]; (2) a aplicação (t,t,Z,u) + Vault) É continua no domínio D=((Ltzu:telt-pt+ol e (£,2,u) € Boto) x Bolxo) x Bo(uo)). DEMONSTRAÇÃO. A estratégia é considerar uma família parametrizada de equa- ções diferenciais com parâmetros adicionais que correspondem precisamente a trans- ladar a condição inicial. Mais precisamente, dada a aplicação G : V > Rº no enunciado, consideramos (2.27) W=((tz,s,y,u) cRAdt. (Gis rtyu)eV) 2,4, TEOREMA DE DEPENDÊNCIA DIFERENCIAVEL as 2.4. Teorema de Dependência Diferenciável Agora vamos enunciar c provar o Teorema de Dependência Diferenciável, que estende à conclusão do Teorema 2.21 para o contexto diferenciável. Como anterior- omeçamos por apresentar uma versão parcial do teorema, relativa somente » da solução corr o parâmetro, Usamos L(R?,Rº) para representar o espaço das aplicações lineares de R? em R$, “TEOREMA 2.23 (Dependência diferenciável do parâmetro). Sejam V um aberto deRHHP eG:V SR, (tr,u) > Gult,x) uma aplicação de classe CF! nas variáveis (t, x, ) e de classe CP nas variáveis (x, nu). Então, para todo (to, Lo, Ho) E V, existe p>0 tal que: (1) « aplicação (t, u) > Yu(t) é de classe C* em [to — p,to + 0] x Bo(Ho); (2) para cada qu E Bo(no), « aplicação t +» 9uyult) E solução da equação diferencial linear (2.32) Z' = Cult, YE) Z + 0 Gylt, Walt), para Z € L(RP R$) com condição inicial Z(to) = 0. A relação (2.32) é chamada lincarização da equação (2.25). Ela deve ser inter- pretada da seguinte forma: * Cult ut) E CMRE, RO) é 9, Gult, (1) E LIRP RO); o 3 GultYu(t))Z é à composição de 9,Gu(t, Yu(t)) com Z e portanto é um clemento de L(RP,R9); e L(Rº,Rº) pode ser identificado com o espaço euclidiano Rºº: basta as- sociar à cada aplicação lincar à respectiva matriz relativamente às bases camônicas de RP e Ré, Então, a relação (2.32) é uma equação diferencial de ordem 1 no espaço R?º = LRP, R$). OBSERVAÇÃO 2.24, À equação (2.32) e a condição inicial Z(to) = O podem ser interpretadas da seguinte forma. Por hipótese, Yult) = Gult, Qu (t)) para todo é € [to — psto + 4). Então, supondo que possamos derivar em ordem a |, e que as duas derivações conmutem, (233) (On) = Ou(VLD) = DCE pu Out) + Ou Guto (O). Observe também que, como y.(t) E R$ e o parâmetro yu toma valores em Rº, a l Y Pp u > derivada parcial 0, t) toma valores em L(Rº?,Rº). Além disso, supondo que pb nu E possamos derivar Y(to) = zo em ordem a ju, (2.34) IuYulto) = 9uxo = 0. Portanto, a parte (2) do Teorema 2.23 corresponde a dizer que estas conclusões estão realmente corretas. À justificativa rigorosa será parte da demonstração do teorema, claro, Voltaremos a este assunto na Observação 2.28. as 2. SOLUÇÕES LOCAIS 2.4,1. Lema de Hadamard, À principal novidade na demonstração do Te- orerna 2.23, com respeito aos argunientos anteriores, é o seguinte lema, devido a Hadamard. Para quaisquer a,b > 1, dizemos que um conjunto V C Rº* é convexo na segunda variável so (u,(1-tvo+twm) EV para quaisquer (u,v0), (u,v1) € K and t e [0,1]. Lusa 2.25 (Lema de Hadamard). Seja V um subconjunto de Rº** conezo e convezo na segunda variável e seja g:V — Rº uma função de classe Cl na segunda variável. Então, existem funções contínuas ha, ...,hb: W > Rº, definidas em W=t((u,vo,u) ER: (uv) EV e (um) EV) tais que, escrevendo cada vo,vi ER? como vo = (vb,...,vb) em = (vl,..., vb), (1) aus vi) = 9(u,00) = 5º hs(u, vos 01) (of — vb) pare todo (uu, v0, vs) € W. (2) h(u, vo, vo) = ds g(u,v0) para todo (u,vo) E Vej=1,...,b. DeMonsTRAÇÃO. Dados vo € v1, defina 1 hj(u, vo, 01) = / (9,59)(u, vo + s(v1 — vo)) ds. É claro que h; é continua. Considere f : [0,1] > Rº dada por f(t) = g(u,vo + t(vy — vo)). Claro que f é de classe C! e 1 aus) atu, uo) = (0) = 1(0)= [ Fojas bm . =D ff (uau tm + atos — um) ot — vb) do b = DS s(u,vo,m) (vi — vo). j=1 o, à definição (2.35) dá que Isto prova a parte (1). Além diss 1 hs(u, vo, vo) = [ Is g(u, vo) ds = ds g(u, vo), para todo (u, vo) EV. [ Isto prova a parte (2). [m] OBSERVAÇÃO 2.26. Em geral, a escolha das funções h4,...,he não é única. Mas no caso b = 1, a função hy : W — Rº fica totalmente determinada pelas duas condições no enunciado: 9(u,vn) — g(u, vo) ha(u, vo,v1) = vi — vo deg(u, vo) se vi — vo. se vi f vo, O fato de que Ay é contínua traduz a propriedade de que a inclinação de qualquer reta secante ao gráfico de g converge para a inclinação da reta tangente quando os dois pontos de interseção com o gráfico colapsam num só ponto. 
