Soluções de Análise Real Volume 1 (Elon Fino), Provas de Cálculo

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Soluções-Análise Real Volume 1

(Elon fino)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

rodrigo.uf.math@gmail.com

22 de fevereiro de 2024

• 1 Soluções-Análise Real Volume 1 (Elon fino)
  • 1.1 Notações
  • 1.2 Capítulo 1-Conjuntos finitos e infinitos
    • 1.2.1 Números naturais
    • 1.2.2 Conjuntos finitos
    • 1.2.3 Conjuntos infinitos
    • 1.2.4 Conjuntos enumeráveis
  • 1.3 Capítulo 2-Números reais
    • 1.3.1 R é um corpo
    • 1.3.2 R é um corpo ordenado
    • 1.3.3 R é um corpo ordenado completo
  • 1.4 Capítulo 3-Sequências
    • 1.4.1 Limite de uma sequência
    • 1.4.2 Limites e desigualdades
    • 1.4.3 Operações com limites
    • 1.4.4 Limites infinitos
  • 1.5 Capítulo 4-Séries numéricas
    • 1.5.1 Séries convergentes
    • 1.5.2 Séries absolutamente convergentes
    • 1.5.3 Teste de convergência
    • 1.5.4 Comutatividade
  • 1.6 Capítulo 5-Algumas noções topológicas
    • 1.6.1 Conjuntos abertos
    • 1.6.2 Conjuntos fechados
    • 1.6.3 Pontos de acumulação
    • 1.6.4 Conjuntos compactos
    • 1.6.5 O conjunto de Cantor
  • 1.7 Capítulo 6-Limite de funções
    • 1.7.1 Definição e primeiras propriedades
    • 1.7.2 Limites laterais
    • 1.7.3 Limites no infinito, limites infinitos, etc.
  • 1.8 Capítulo 7-Funções contínuas
    • 1.8.1 Definição e primeiras propriedades
    • 1.8.2 Funções contínuas num intervalo
  • 1.8.3 Funções contínuas em conjuntos compactos 4 SUMÁRIO
  • 1.8.4 Continuidade uniforme
• 1.9 Capítulo 8-Derivadas
  • 1.9.1 A noção de derivada
  • 1.9.2 Regras operacionais
  • 1.9.3 Derivada e crescimento local
  • 1.9.4 Funções deriváveis num intervalo
• 1.10 Capítulo 9-Fórmula de Taylor e aplicações da Derivada
  • 1.10.1 Fórmula de Taylor
  • 1.10.2 Funções côncavas e convexas
  • 1.10.3 Aproximações sucessivas e método de Newton
• 1.11 Capítulo 10-A integral de Riemann
  • 1.11.1 Integral de Riemann
  • 1.11.2 Propriedades da integral
  • 1.11.3 Condições suficientes de integrabilidade
• 1.12 Capítulo 11-Cálculo com integrais.
  • 1.12.1 Os teoremas clássicos do cálculo integral.
  • 1.12.2 A integral como limite de somas de Riemann
  • 1.12.3 Logaritmos e exponenciais
  • 1.12.4 Integrais impróprias
• 1.13 Capítulo 12-Sequências e série de funções
  • 1.13.1 Convergência simples e convergência uniforme
  • 1.13.2 Propriedades da convergência uniforme
  • 1.13.3 Séries de potências
• 1.14 Agradecimentos

Capítulo 1

Soluções-Análise Real Volume 1

(Elon fino)

Este texto ainda não se encontra na sua versão final, sendo, por enquanto, consti- tuído apenas de anotações informais. Sugestões para melhoria do texto, correções da parte matemática ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uf.math@gmail.com. Se houver alguma solução errada, se quiser contribuir com uma solução diferente ou ajudar com uma solução que não consta no texto, também peço que ajude enviando a solução ou sugestão para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha ajudado com alguma solução. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que estudam análise pelo livro do Elon. Os exercícios que possuem dicas no final do livro são feitos, em geral, seguindo essas dicas, porém em alguns casos resolvemos um problema mais geral e tirando o exercício como corolário direto de outra proposição, outras vezes damos soluções di- ferentes. Tentamos detalhar essas soluções tornando claras passagens que poderiam ser obscuras. Os enunciados das questões são escritos no texto, na maioria das vezes alterados, porém tomamos o cuidado de manter a essência de cada questão. A exposição do texto segue a linha Teorema-Demonstração.

1.1 Notações

• Denotamos (xn) uma sequência (x 1 , x 2 , ∙ ∙ ∙ ). Uma n upla (x 1 , x 2 , ∙ ∙ ∙ , xn) po- demos denotar como (xk)n 1.
• O conjunto de valores de aderência de uma sequência (xn) iremos denotar como A[xn].
• Usaremos a abreviação PBO para princípio da boa ordenação.
• Denotamos f(x + 1 ) − f(x) = Δf(x).

1.2. CAPÍTULO 1-CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 7

ê Demonstração. Por indução sobre n. Para n = 1 temos

∑^1

k= 1

( 2 k − 1 ) = 2. 1 − 1 = 1 = 1 2.

supondo a validade para n, ∑n

k= 1

( 2 k − 1 ) = n^2

vamos provar para n + 1 n∑+ 1

k= 1

( 2 k − 1 ) = (n + 1 )^2.

Usando a definição de somatório e hipótese da indução tem-se

n∑+ 1

k= 1

( 2 k − 1 ) =

∑^ n

k= 1

( 2 k − 1 ) + 2 n + 1 = n^2 + 2 n + 1 = (n + 1 )^2.

Questão 2

b Propriedade 3 (Axioma de Eudoxius). Dados m e n naturais com n > m então existe q ∈ N tal que qm 6 n < (q + 1 )m.

ê Demonstração. Seja A = {x.m | xm > n, x ∈ N}, tal conjunto é não vazio pois (n + 1 ).m > n, pelo PBO ele possui um menor elemento. Sabemos também que m não pertence a esse conjunto, então x > 1 , x sempre é sucessor de algum número natural , então podemos tomar o elemento mínimo de A da forma (q + 1 )m. Tem-se (q + 1 ) > q logo (q + 1 ).m > q.m, assim q.m não pode pertencer ao conjunto A, pois iria contrariar o PBO, logo por tricotomia vale q.m 6 n e

q.m 6 n < (q + 1 ).m.

b Propriedade 4 (Divisão Euclidiana). Dados n > m , então existe q tal que n = q.m ou qm + r = n com r < m.

ê Demonstração. Pelo axioma de Eudoxius existe q tal que q.m 6 n < (q + 1 ).m. daí q.m = n ou q.m < n, se a primeira vale a demonstração termina, se vale a segunda existe r ∈ N tal que q.m + r = n. Agora analisamos as possibilidades para r, se r = m, q.m + m = n, m(q + 1 ) = n que é absurdo. Se r > m então q.m + r = n > q.m + m = m(q + 1 ) que também é absurdo, como não vale r > m então por tricotomia vale r < m. Perceba que a unicidade também já é garantida como corolário, por unicidade do mínimo de conjuntos e da definição de desigualdades.

8 CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES-ANÁLISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO)

Questão 3

b Propriedade 5. Seja A 6 = ∅ subconjunto de N , com propriedade

n, m ∈ A ⇔ m, m + n ∈ A

então existe t ∈ N tal que A = {tn | n ∈ N}.

ê Demonstração. A é não vazio, então ele possui um elemento mínimo t. Pri- meiro vamos mostrar que B = {tn | n ∈ N} ⊂ A. t ∈ A, supondo tn ∈ A vamos mostrar que t(n + 1 ) ∈ A. A propriedade vale pois t(n + 1 ) = tn + t a adição é fechada em A. Então os múltiplos de t pertencem ao conjunto A. Agora dado um elemento m ∈ A, tomamos a divisão euclidiana de m por t, daí existe q ∈ N tal que m = q.t ou ∃r ∈ N tal que m = q.t + r. Se vale para todo m a primeira possibilidade então A ⊂ B implicando A = B. Vamos mostrar que a segunda não ocorre. Se m ∈ A é da forma qt + r, como qt ∈ A segue que r ∈ A, mas vale r < t o que contraria a minimalidade de t, então essa possibilidade não pode acontecer e vale sempre m = q.t.

Questão 4

b Propriedade 6. Não existe x ∈ N tal que n < x < n + 1. Essa propriedade nos mostra que todo número natural diferente de 1 é sucessor de algum outro número.

ê Demonstração. Suponha que exista x com n < x < n + 1 , então x = n + p com p natural. Por tricotomia temos uma das possibilidades p = 1 ou p > 1 ou p < 1. p não pode ser 1 , pois se não x = n + 1 e daí n < n︸ ︷︷ ︸ + 1

x

< n + 1 absurdo. Também não

podemos ter p > 1 , pois de 1 < p somando n, segue x < n + 1 < n + p ︸ ︷︷ ︸ x

chegaríamos

em n + p < n + p que é falso. Resta então a possibilidade de p < 1 que não acontece pois 1 é o menor elemento de N. Então não pode existir x natural com n < x < n + 1.

Questão 5

b Propriedade 7. O princípio da boa ordenação implica o princípio da indução. O princípio da boa ordenação garanta que qualquer conjunto não vazio de números naturais possui elemento mínimo. O princípio da indução diz que se 1 ∈ B e ∀ n ∈ B implica n + 1 ∈ B então B = N , A é o conjunto dos números naturais.

ê Demonstração. Seja B um conjunto que satisfaça as condições do axioma de indução, 1 ∈ B e ∀ k ∈ B, k + 1 ∈ B, vamos provar que B = N. Suponha por absurdo que B 6 = N, definimos A = N \ B, tal conjunto é não vazio então possui um elemento mínimo, tal elemento não pode ser 1 pois 1 ∈ B, então esse elemento é sucessor de algum número

10 CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES-ANÁLISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO)

b Propriedade 12. Se A e B são finitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n então A × B é finito com |A × B| = m.n.

ê Demonstração. Podemos escrever A × B =

⋃n k= 1 Ak^ onde^ Ak^ =^ A^ ×^ {Bk} com |Ak| = m, logo

|A × B| = |

⋃^ n

k= 1

Ak| =

∑^ n

k= 1

|Ak| = m.n.

Questão 2

b Propriedade 13. Seja |A| = n então |P(A)| = 2 n.

ê Demonstração. Por indução sobre n, se n = 1 , então A = {a 1 } possui dois subconjuntos que são ∅ e {α 1 }. Suponha que um conjunto qualquer B com n elementos tenha |P(B)| = 2 n, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica |P(C)| = 2 n+^1. Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2 n^ subconjuntos (por hipótese da indução), sk de k = 1 até k = 2 n, que também são subconjuntos de C, porém podemos formar mais 2 n^ subconjuntos de C com a união do elemento {a}, logo no total temos 2 n^ + 2 n^ = 2 n+^1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois não temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

Questão 3

b Propriedade 14. Sejam (Ak)n 1 com |Ak| = mk então |

∏n k= 1 Ak|^ =^

∏n ∏n k=^1 |Ak|^ = k= 1 mk.

ê Demonstração. Por indução sobre n.

b Propriedade 15. Se |A| = m e |B| = n então |F(A; B)| = nm.

ê Demonstração .[1] Faremos o caso em que A = Im. As funções de F(Im; B) são m uplas, sendo que em cada coordenada existem n possibilidades de elementos

F(Im; B) =

∏^ m

k= 1

B

daí

|F(Im; B)| = |

∏^ m

k= 1

B| =

∏^ m

k= 1

|B| = nm.

No caso geral mostramos que existe uma bijeção entre F(Im; B) e F(A; B) logo tais conjuntos possuem a mesma quantidade de elementos.

1.2. CAPÍTULO 1-CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 11

ê Demonstração .[2] Por indução sobre m. Para m = 1. A = {a 1 } e B = {b 1 , ∙ ∙ ∙ , bn}, temos n funções fk(a 1 ) = bk, ∀ k ∈ In. Suponha a validade para um conjunto A′ qualquer com m elementos, vamos provar para A com |A| = m + 1. Tomamos a ∈ A, daí A \ {a} = A′^ possui m elementos, logo |F(A′, B)| = nm, podemos estender cada f t′ : A′^ para f : A de n maneiras diferentes, tomando f(a) = bk, k ∈ In, logo temos no total nnm^ = nm+^1 funções.

Questão 4

b Propriedade 16. Se A 6 = ∅ ⊂ N é limitado superiormente então A possui máximo.

ê Demonstração. Seja B = {n ∈ N | n > x, ∀ x ∈ A.} , B é um conjunto não va- zio de números naturais, logo pelo princípio da boa ordenação B possui um elemento mínimo, tal elemento não pode ser o número 1 então ele é sucessor de algum número natural, que denotaremos por t + 1 , logo t tem que satisfazer uma das propriedades, existe y ∈ A tal que t < y ou existe y ∈ A tal que t = y. A primeira opção não pode valer pois teríamos t < y < t + 1 que é absurdo. Vamos mostrar que tal y realmente é o máximo do conjunto. Seja z 6 = y elemento de A, então z < y, pois se t = y < z, então t < z < t + 1 que é absurdo.

b Propriedade 17. Um conjunto A 6 = ∅ , A ⊂ N é finito sse é limitado.

1.2.3 Conjuntos infinitos

Questão 1 a)

b Propriedade 18. Se A é infinito e f : A é injetiva então B é infinito.

ê Demonstração. f : A(A) é bijeção e f(A) ⊂ B é infinito, logo B é infinito , B não pode ser finito, pois todo subconjunto de um conjunto finito é finito. f(A) não pode ser finito, pois se fosse A estaria em bijeção com um conjunto finito logo seria finito.

Questão 1 b)

b Propriedade 19. Se B é infinito e f : A é sobrejetiva então A é infinito.

ê Demonstração. Dado y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f(x) = y e com isso definimos a função g : B tal que g(y) = x, g é injetiva então pelo resultado anterior segue que A é infinito.

Questão 2

1.2. CAPÍTULO 1-CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 13

2. 3. 5. 7. 11. 13 + 1 = 30031 = 509. 59 não é primo
3. 3. 5. 7. 11. 13. 17 + 1 = 510511 = 19. 97. 277 não é primo

Questão 4

Z Exemplo 2. Dar exemplo de uma sequência (Ak) decrescente de conjuntos infinitos cuja intersecção seja vazia. Considere os conjuntos definidos como Ak = {n ∈ N | n > k} , cada um desses con- juntos é infinito e vale Ak ⊂ Ak+ 1 , porém não existe elemento que pertença ao intersecção

⋂^ ∞

k= 1

Ak

se houvesse algum t que pertencesse a intersecção então tal t deveria ser elemento de todo Ak , porém isso não acontece, pois existe k tal que k > t , daí todos elementos de Ak são maiores que t_._

1.2.4 Conjuntos enumeráveis

Questão 1

Z Exemplo 3. f : N × N → N definida como f(m + 1 , n) = 2 m( 2 n − 1 ) e f( 1 , n) = 2 n − 1 é uma bijeção. Dado um número natural j qualquer, podemos escrever esse número como produto dos seus fatores primos

j =

∏^ s

k= 1

pα k k= 2 α^1.

∏^ s

k= 2

pα k k, αk > 0 , αk ∈ Z.

como os primos maiores que 2 são ímpares e o produto de ímpares é um número ímpar então, se α 1 = m > 0 temos j = 2 m( 2 n − 1 ) , se α 1 = 0 tem-se j = ( 2 n − 1 ) , portanto todos naturais são dessa forma e a função é sobrejetora. Agora vamos mostrar que a função é injetora seja f(m, n) = f(p, q)

2 m( 2 n − 1 ) = 2 p( 2 q − 1 )

se m 6 = p os números serão diferentes pela unicidade de fatoração ( 2 s − 1 não possui fatores 2 pois sempre é ímpar), então devemos ter m = p , daí segue que n = q e termina a demonstração.

Questão 2

Z Exemplo 4. Existe g : N sobrejetiva tal que g−^1 (n) é infinito para cada n ∈ N_. Seja_ f : N definida como f(n) = k se n é da forma n = pα k k onde pk é o k -ésimo

14 CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES-ANÁLISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO)

número primo e f(n) = n caso contrário, f é sobrejetiva e existem infinitos n ∈ N tais que f(n) = k para cada k natural.

Questão 3

Z Exemplo 5. Exprimir N =

k= 1 Nk^ onde os conjuntos são infinitos e dois a dois disjuntos. Tome Nk+ 1 = {pα k k, αk ∈ N onde pk o k-ésimo primo } e N 1 = N \

k= 2 Nk , cada um deles é infinito, são disjuntos e sua união dá N_._

Questão 4

b Propriedade 23. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} é enumerável.

ê Demonstração. Definimos a função f : Pnn da seguinte maneira: Dado A = {x 1 < x 2 < ∙ ∙ ∙ < xn}, f(A) = (x 1 , ∙ ∙ ∙ , xn). Tal função é injetiva pois dados A = {xk, k ∈ In} e B = {yk, k ∈ In} não pode valer xk = yk para todo k, pois se não os conjuntos seriam iguais.

$ Corolário 2. o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N é enumerável pois

Pf =

⋃^ ∞

k= 1

Pk

é união enumerável de conjuntos enumeráveis.

Questão 5

Daremos duas demonstrações para essa questão uma mais direta outra um pouco mais longa.

b Propriedade 24. O conjunto X das sequências (xn) tais que dado n , xn = 0 ou xn = 1 é não enumerável.

ê Demonstração. Vamos supor por absurdo que tal conjunto seja enumerável com a enumeração s : N , tal que dado v natural associamos a sequência sv = (xv (n)). Podemos então tomar o elemento y = (yn), definido da seguinte maneira: yn 6 = xn (n), podemos tomar yn dessa maneira pois se para n fixo vale xn (n) = 0 escolhemos yn = 1 , se xn (n) = 1 escolhemos yn = 0 , daí tem-se que y 6 = sv para todo v natural, logo y não pertence a enumeração, o que é absurdo. Logo a sequência é não enumerável.

16 CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES-ANÁLISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO)

b Propriedade 27. Sejam B enumerável e f : A tal que ∀ y ∈ B , f−^1 (y) é enumerável, então A é enumerável.

ê Demonstração.

A =

y∈B

f−^1 (y)

então A é união enumerável de conjuntos enumeráveis, daí A é enumerável.

1.3 Capítulo 2-Números reais

1.3.1 R é um corpo

Questão 1 a)

b Propriedade 28 (Unicidade do elemento neutro da adição). Se x + θ = x para algum x ∈ R então θ = 0_._

ê Demonstração. Vale que x + θ = x + 0 , logo pela lei do corte segue θ = 0.

Questão 1 b)

b Propriedade 29 (Unicidade do elemento neutro da multiplicação). Se x.u = x para todo x ∈ R então u = 1_._

ê Demonstração. Tomamos x 6 = 0 ele possui inverso x−^1 multiplicando por x−^1 de ambos lados segue que u = 1.

Questão 1 c)

b Propriedade 30. Se x + y = 0 então y = −x.

ê Demonstração. Adicionamos −x em ambos lados.

Questão 1 d)

b Propriedade 31. Se x.y = 1 então y = x−^1.

ê Demonstração. Como x.y = 1 então nenhum dos números é nulo, logo ambos possuem inverso, multiplicamos em ambos lados por x−^1 de onde segue o resultado.

Questão 2

1.3. CAPÍTULO 2-NÚMEROS REAIS 17

b Propriedade 32. (bd)−^1 = b−^1 .d−^1.

ê Demonstração. (bd)−^1 .bd = 1 b−^1 .d−^1 .b.d = 1

logo (bd)−^1 = b−^1 .d−^1. por unicidade de inverso.

b Propriedade 33. a b

c d

ac bd

ê Demonstração. a b

c d

= a.b−^1 .c.d−^1 = ac.b−^1 .d−^1 = ac.(bd)−^1 =

ac bd

b Propriedade 34. a d

c d

a + c d

ê Demonstração.

a d

c d

= d−^1 a + d−^1 c = d−^1 (a + c) =

a + c d

por distributividade do produto em relaθoasoma.

b Propriedade 35. a b

c d

ad + bc bd

ê Demonstração.

a b

c d

a b

d d

c d

b b

ad bd

cb db

ad + bc bd

Questão 3

b Propriedade 36. (x−^1 )−^1 = x.

ê Demonstração. Pois x.x−^1 = 1 , logo x é o inverso de x−^1 , isto é x = (x−^1 )−^1.

1.3. CAPÍTULO 2-NÚMEROS REAIS 19

para quaisquer a e b reais.

ê Demonstração. a.b 6 |ab| = |a||b|

multiplicando por 2 e somando a^2 + b^2 em ambos lados

a^2 + 2 ab + b^2 = (a + b)^2 6 a^2 + 2 |a||b| + b^2 = |a|^2 + 2 |a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2

logo (|a + b|)^2 6 (|a| + |b|)^2 de onde segue usando a propriedade anterior

|a + b| 6 |a| + |b|.

ê Demonstração .[2] Valem as desigualdades

−|a| 6 a 6 |a|, −|b| 6 b 6 |b|

somando ambas −(|b| + |a|) 6 a + b 6 |b| + |a|

que equivale à |a + b| 6 |a| + |b|. ê Demonstração .[3] Sabemos que vale sempre x 6 |x| e y 6 |y| então x + y 6 |x| + |y|, daí se 0 6 x + y temos

|x + y| = x + y 6 |x| + |y|.

Vale também que −x 6 |x| e y 6 |y| então se x+y < 0 segue |x+y| = −(x+y) 6 |x| + |y|. Em qualquer dos casos temos |x + y| 6 |x| + |y|.

$ Corolário 5. Na desigualdade triangular

|a + b| 6 |a| + |b|

tomando a = x − y , b = y − z segue

|x − z| 6 |x − y| + |y − z|

Questão 2

b Propriedade 40. ||a| − |b|| 6 |a − b|.

ê Demonstração. Pela desigualdade triangular temos que

|a| 6 |a − b| + |b| logo |a| − |b| 6 |a − b|

20 CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES-ANÁLISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO)

tem-se também que

|b| 6 |a − b| + |a| ⇒ |b| − |a| = −

|a| − |b|

6 |a − b| ⇒ −|a − b| 6 |a| − |b|

juntando as duas desigualdades

−|a − b| 6 |a| − |b| 6 |a − b|

que implica ||a| − |b|| 6 |a − b|.

Questão 3

b Propriedade 41. Dados x, y ∈ R , se x^2 + y^2 = 0 então x = y = 0.

ê Demonstração. Suponha que x 6 = 0 , então x^2 > 0 e y^2 > 0 de onde segue que x^2 + y^2 > 0 , absurdo então deve valer x^2 = 0 ⇒ x = 0 logo temos também y^2 = 0 ⇒ y = 0 , portanto x = y = 0.

Questão 4

Z Exemplo 6. Mostre que

( 1 + x)n^ > 1 + nx + n(n − 1 )

x^2 2

para n natural e x > 0_. Vamos chamar_

C(n, x) = 1 + nx + n(n − 1 )

x^2 2

Por indução sobre n , para n = 1

( 1 + x) > 1 + 1 .x + 1 ( 1 − 1 )

x^2 2 = 1 + x

logo vale a igualdade. Considere agora a validade da hipótese

( 1 + x)n^ > 1 + nx + n(n − 1 )

x^2 2 vamos mostrar que vale

( 1 + x)n+^1 > 1 + (n + 1 )x + (n + 1 )(n) x^2 2

n + 1 1

x +

n + 1 2

x^2

1 + nx +

n(n − 1 )x^2 2

• x + nx^2.