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não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 08/09/2021 12:05:
DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções vetoriais.
PROPÓSITO
Conhecer as funções vetoriais e suas operações, a partir do cálculo do limite, da derivada e da
integral dessas funções, para aplicar tais conceitos em problemas de cálculo vetorial.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
se a calculadora de seu smartphone /computador.
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OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas
MÓDULO 2
Aplicar as operações do limite, da derivada e da integral nas funções vetoriais
MÓDULO 3
Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço, bem como no
movimento de um objeto
MÓDULO 4
Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares
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O vetor é um objeto da Matemática de grande aplicação prática em diversas áreas. Assim, é
necessário definir funções que tenham os elementos vetoriais em suas entradas ou saídas.
A função a variáveis reais, a valores vetoriais ou simplesmente função vetorial é aquela que tem
domínio no conjunto dos números reais e vetores que pertencem ao conjunto R como imagem.
n
Neste módulo, estudaremos as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES VETORIAIS
No cálculo de uma variável, trabalhamos com funções que têm domínio e imagem no conjunto dos
números reais. Elas são denominadas funções reais à variável real , ou simplesmente funções
reais.
Há um elemento matemático de grande aplicação prática: o vetor, definido não apenas por seu
valor (módulo), mas também por sua direção e seu sentido.
Fonte: Peshkova/Shutterstock
UM VETOR É REPRESENTADO POR SUAS
COORDENADAS. O NÚMERO DE COORDENADAS DE UM
VETOR DEPENDE DO CONJUNTO AO QUAL PERTENCE.
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CONSIDERANDO
→
V O VETOR PERTENCENTE A R ,
N
→
V
SERÁ REPRESENTADO POR N COORDENADAS:
→
V = V , V
, …, V
N
No exemplo, v , v , ... , v são números reais que representam a projeção do vetor na direção e
1 2 n
v
no sentido de cada uma das dimensões do R.
n
Estamos trabalhando com coordenadas cartesianas. Particularmente, neste tema, nosso interesse
está em R e R. Assim, um vetor
2 3
→
v , pertencente ao R , é representado por três coordenadas.
3
Veja a figura 1, em que o vetor
→
v projetado na direção do eixo x apresenta um tamanho v ; na
x
direção do eixo y, um tamanho v ; na direção do eixo z, um tamanho v :
y z
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da
coordenada será negativo. Portanto, o vetor
→
v terá coordenadas (v , v , v ), em que v , v e v
x y z x y z
são números reais. No caso do R , caso particular do R , o vetor não terá a componente v.
2 3
z
⟨ ⟩
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EXEMPLO
→
F : R → R
3
, tal que
→
F ( m ) = (2 m + 3, 5 m , 2 - m ), com m real.
Note que cada vetor da imagem dependerá do elemento do domínio, que, neste caso, será o
parâmetro m.
Existem funções denominadas campos vetoriais que apresentam, tanto no domínio quanto na
imagem, vetores. Assim, seriam funções
→
F : R R
n
→
m
, com m e n inteiros maiores do que 1. Por
exemplo:
→
F : R → R
3 4
, tal que
→
F ( x , y , z ) = (2 x + 3 y , 2 x + 5, y + 3 z , 4 x + y )
Perceba que as coordenadas dos elementos vetoriais da saída dependem das coordenadas dos
elementos vetoriais da entrada. Aqui, não abordaremos este tipo de funções.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
A função vetorial pode ser representada por sua forma vetorial, já exemplificada, ou por sua forma
paramétrica.
Seja
→
F t ( ) : t ∈ S ⊂ R →
→
F ( t ) ∈ R
3
. Como já vimos, cada componente do vetor de saída depende da
variável de entrada, denominada parâmetro. Dessa forma, a função pode ser representada por:
→
F t ( ) =
x = f t ( )
y = g t ( )
z = h t ( )
, t real
Observe que f(t), g(t) e h(t) são funções reais, que relacionam cada coordenada ao parâmetro t.
Este tipo de equação é chamado de equação paramétrica. Para funções com imagem no R ,
n
n
inteiro maior do que 1, a equação paramétrica terá n equações.
MPLO
{
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Seja a função
→
F t ( ) = 〈 t , t
2
- 5, ln t 〉, definida para t > 0. Determine o valor de
→
F (1) e
→
F e ( )
SOLUÇÃO
A função é uma função de variável real a valores vetoriais de R ,
3
→
F ( t ) = 〈 f t ( ), g ( t ), h ( t )〉
Onde:
f(t) = t
g(t) = t + 5
2
h(t) = ln t
Logo, temos:
→
F t ( ) =
x = t
y = t
2
z = ln t
, para t real e t > 0.
Então,
→
F (1) = 〈 f (1), g (1), h (1)〉 = 〈1, 1 + 5 , ln 1〉 = 〈1,6, 0〉
Portanto, para uma entrada t = 1, o resultado da função será o vetor 〈1, 6, 0〉
Para t = e:
→
F e ( ) = 〈 f e ( ), g e ( ), h e ( ) 〉 = 〈 e , e e
2
2
Por fim, para uma entrada t = e, o resultado da função será o vetor e , e
2
FUNÇÕES VETORIAIS E TRAÇADOS DE CURVA
Para o caso de R e R , a imagem da função vetorial
2 3
→
F pode ser analisada como a trajetória de
uma curva (lugar geométrico) em R ou R descrita pela equação paramétrica da função. Em
2 3
outras palavras, a função vetorial definirá uma curva plana, no caso de sua imagem em R , ou
2
pacial, quando sua imagem estiver no R.
3
{
⟨ ⟩
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Figura 2: Imagem da função
→
F u ( ) = 〈 u , u
2
〉
Conforme o valor do parâmetro u se altera, a imagem obtida pela função vetorial também muda,
traçando uma curva, que, neste exemplo, será uma parábola vertical de vértice na origem.
EXEMPLO
Exemplo 2 - Seja a função
→
F ( t ) = 〈 sen t , cos , t 5 〉. Determine a trajetória definida pela imagem da
função.
SOLUÇÃO
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de R.
3
Seja
→
F t ( ) = 〈 x , y , z 〉
Repare que:
→
F t ( ) :
x = sen t
y = cos t
z = 5
→ x
2
2
= 1 e z = 5
A imagem da função representará uma circunferência pertencente ao plano z = 5. Assim, será
uma circunferência de centro em 〈0, 0, 5〉e raio 1, conforme observamos a seguir:
{
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Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2013)
Figura 3: Imagem da função
→
F ( t ) = 〈 sen t , cos t , 5 〉
Se quisermos dar um sentido à trajetória, este pode ser definido como o sentido do crescimento do
parâmetro ou do decrescimento do parâmetro. No caso do exemplo de
→
F u ( ) = 〈 u , u
2
〉, a trajetória
da parábola é percorrida no sentido da esquerda para direita, quando cresce o parâmetro u:
Fonte: Autor
Figura 4: Sentido da trajetória pelo crescimento do parâmetro
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m ( t ) = f
1
( t ). g
1
( t ) + f
2
( t ). g
2
( t ) + … + f
n
( t ). g
n
( t ), m t ∈ R
E) PARA N = 3, PRODUTO VETORIAL ENTRE
→
F E
→
G
→
H t ( ) =
→
F x
→
G ( t ) =
→
F ( t ) x
→
G t ( )
→
H t ( ) =
ˆ x
ˆ y
ˆ z
f
1
t f
2
t f
3
t
g
1
t g
2
t g
3
t
EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando as funções
→
F u ( ) = 〈 u + 5, cos u , u
2
〉,
→
G ( u ) = 〈2 - u u
2
, sen , 3 u 〉 e p(u) =
2e (
u
, determine o valor para t = 0 da função m t ) = 2
→
F ( t ). p ( t )
→
G t ( )
SOLUÇÃO
Se
→
F u ( ) = 〈 u + 5, cos u , u
2
〉, então 2
→
F u ( ) = 〈 2 u + 5 , 2cos u , 2 u
2
〉
Se
→
G u ( ) = 〈2 - u u
2
, sen , 3 u 〉 e p(u)=2e , então: p(u)
u
→
G ( u ) = 〈 2 e u
u
2 - u
2
, 2 e
u
sen , 2 e
u
3 u 〉
Portanto,
m ( u ) = 2( u + 5). 2 e u
u
2 - u
2
u
sen u + 2 u
2
. 2 e
u
3
Assim,
m (0) = 2(0 + 5). 2 e cos
0
2 - 0
2
0
sen 0 + 20
2
. 2 e
0
3.0 = 8.5 + 0 + 0 = 40
EXEMPLO
Exemplo 2 - Considerando as funções
→
F u ( ) = 〈 u , cos u , 3 u 〉 e
→
G ( u ) = 〈 u u
2
, sen , u 〉 determine a
função H t ( ) =
→
F ( t ) x
→
G t ( ) e seu valor
|
|
( )
( )
( )
( )
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para t=π.
SOLUÇÃO
→
H t ( ) =
→
F x
→
G ( t ) =
→
F ( t ) x
→
G t ( )
→
H t ( ) =
ˆ x
ˆ y
ˆ z
t cos t 3 t
t
2
sen ( t ) t
= t cost x ˆ + t sent ˆ z + 3 t t
2
ˆ y - t
2
cos t
z ˆ - 3 t sen t x ˆ - t. t ˆ y
→
H t ( ) = ( t cost - 3 t sent )ˆ x + 3 t t
3
2
y ˆ + t sent - t cost
2
z ˆ
→
H t ( ) = 〈 t cost - 3 t sent , 3 t t t sent
3
2
, - t
2
cost 〉
Assim,
→
H ( π ) = 〈 π. cos π - 3. π sen π , 3 π π sen π
3
2
, - π
2
cosπ 〉 = 〈- π , 3 π
3
2
,
2
〉
| |
( ) ( )
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FUNÇÕES VETORIAIS
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES
→
F ( U ) = 〈 U + 5, 3 - U
2
, U
3
〉 E
→
G ( T ) = 〈 T T
2
+ 1, T + 10,
2
〉 COM U E T REAIS, SABENDO QUE
→
H U ( ) = 2
→
F ( U ) -
→
G ( U ), O VALOR DE
→
H (2) É:
A) 〈9,-14,12〉
B) 〈19,-4,2〉
C) 〈8,14,-12〉
D) 〈7,-1,5〉
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO
→
G ( T ) = 〈 T + 2, 3 T - 1 〉 , DEFINIDA PARA T ∈
R, A TRAJETÓRIA DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO É:
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A) Circunferência de equação x
2
2
= 1
B) Reta de equação 3x - y - 7 = 0
C) Plano de equação x - 3y + 7 = 0
D) Reta de equação 3x + y + 7 = 0
3. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES
→
F ( T ) =
X = T
Y = 3 - T
Z = T
2
E
→
G ( U ) = 〈 U
2
, U , 3 + U 〉 ,
COM U E T REAIS, SABENDO QUE
→
H U ( ) = 2
→
F ( U ) X -
→
G ( U ) , O VALOR DE
→
H (- 1) É:
A) 〈-14,6,4〉
B) 〈9,3,-4〉
C) 〈-18,-6,6〉
D) 〈18,6,-8〉
4. CONSIDERANDO A FUNÇÃO
→
F ( U ) = 〈 2 U COS U , 2 U SEN U , U 〉 , DEFINIDA
PARA U ∈ R , QUAL É A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA DA CURVA ESPACIAL
DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO?
A) x y
2
2
2
= 1
B) x y
2
2
2
= 0
C) 4 x
2
2
2
= 1
D) x y z
2
2
2
= 0
( )
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1. Considerando as funções
→
F u ( ) = 〈 u + 5, 3 - u u
2
,
3
〉 e
→
G ( t ) = 〈 t t t
2
+ 1, + 10,
2
〉 com u e t
reais, sabendo que
→
H u ( ) = 2
→
F u ( ) -
→
G ( u ), o valor de
→
H (2) é:
A alternativa "A " está correta.
Usando as operações básicas da função vetorial, temos:
→
H u ( ) = 2
→
F u ( ) -
→
G ( u ) = 〈 2 f u u u u u
1
( ) - g
1
( ), 2 f
2
( ) - g
2
( ), 2 f
3
( ) - g
3
u 〉
→
H u ( ) = 〈2( u + 5) - u u
2
2
3
2
〉
→
H u ( ) = 〈 2 u - u
2
2
3
2
〉
→
H (2) = 〈4 - 4 + 9, - 8 - 2 - 4 , 16 - 4 〉 = 〈9, - 14,12 〉
2. Considerando a função
→
G ( t ) = 〈 t + 2, 3 - 1 t 〉 , definida para t ∈ R, a trajetória definida pela
imagem da função é:
A alternativa "B " está correta.
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
→
G t ( ) =
x = t + 2
y = 3 t - 1
, t real
Identificando o valor de t em função de x e substituindo na segunda equação, temos:
t = x - 2 → y = 3(x - 2) - 1 = 3x - 6 - 1 = 3x - 7
Então, a imagem segue a trajetória 3x - y - 7 = 0. Como a imagem de
→
G t ( ) é definida em R , a
2
curva é plana e, pela equação, será uma reta.
3. Considerando as funções
→
F ( t ) =
x = t
y = 3 - t
z = t
2
e
→
G ( u ) = 〈 u u
2
, , 3 + u 〉 , com u e t reais,
sabendo que
→
H u ( ) = 2
→
F u ( ) x -
→
G ( u ) , o valor de
→
H (- 1) é:
A alternativa "C " está correta.
( ) ( ) ( )
{
{
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4. Considerando a função
→
F u ( ) = 〈 2 u cos u , 2 u sen u , u 〉 , definida para u ∈ R , qual é a
equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem da função?
A alternativa "B " está correta.
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
→
F u ( ) =
x = 2 u cos u
y = 2 u sen u
z = u
, u real
Eliminando a variável u , temos:
cos u )
2
2
= 4 u u u
2
cos
2
u + 4
2
sen
2
u = 4
2
( cos
2
u + sen
2
u = 4 u
2
{
)
Processing math: 39%
