Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Corpos de funções de curvas algébricas sobre um corpo algebricamente fechado: seu grupo de automorfismos e uma família de curvas com grupo de automorfismos trivial
Tipologia: Notas de estudo
1 / 106
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Alessandro Rezende de Macedo
Corpos de fun¸c˜oes de curvas alg´ebricas
sobre um corpo algebricamente fechado: seu
grupo de automorfismos e uma fam´ılia de curvas com grupo de automorfismos trivial
Macedo, Alessandro Rezende de Corpos de fun¸c˜oes de curvas alg´ebricas sobre um corpo algebricamente fechado: seu grupo de automorfismos e uma fam´ılia de curvas com grupo de automorfismos trivial/ Alessandro Rezende de Macedo. – Rio de Janeiro: UFRJ/ IM,
xiv, 90 p.; 31 cm Orientador: Luciane Quoos Conte.
Disserta¸c˜ao (Mestrado) – UFRJ/ IM/ Programa de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2011.
por
Disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao do Instituto de Ma- tem´atica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Aprovada por:
Luciane Quoos Conte IM - UFRJ - Presidente
Severino Collier Coutinho IM - UFRJ
Herivelto Martins Borges Filho ICMC - USP
Francesco Noseda IM - UFRJ
Guilherme Augusto de La Rocque Leal IM - UFRJ - Suplente
Rio de Janeiro Novembro de 2011
Agradecimentos
Obrigado meus pais e ancestrais pois, sem vocˆes, n˜ao existiria. Sem seus incentivos fundamentais tudo mais dif´ıcil ficaria.
Por servir de modelo para mim, Professora Luciane Conte, muito obrigado! Vocˆe para mim foi uma ajuda sem precedente.
Agrade¸co ao CNPQ pelo seu apoio financeiro e aos colegas do IM que me escutavam o dia inteiro.
Por fim, devo agradecer a Deus, pois tudo que aprendi, supostamente, n˜ao haveria sido poss´ıvel sem Ti.
Abstract
We study the structure of the automorphism group of nonsingular algebraic curves over an algebraically closed field. We classify this group for genus zero curves and we make brief comments on the case of genus one curves. Our main goal is to define the decomposition group of a place, to prove its finiteness for curves of positive genus and to prove that the automorphism group of a curve of genus greater than one is finite, using a result on the order of irreducible groups of linear transformations. Finally, we exhibit an explicit family of plane curves whose function fields have trivial automorphism group.
Key-words: algebraic curve, function field, automorphism group.
No final do s´eculo XIX, Poincar´e provou, utilizando m´etodos anal´ıticos, que uma superf´ıcie de Riemann de gˆenero maior que um possui grupo de automorfismos finito e, n˜ao muito depois, Hurwitz provou o mesmo resultado utilizando m´etodos mais alg´ebricos. Mais precisamente, se X ´e uma curva n˜ao singular de gˆenero g > 1 definida sobre os complexos, Hurwitz mostrou que uma cota superior para seu grupo de automorfismos ´e 84(g−1) (ver [7]). Seu m´etodo se baseava na existˆencia de “pontos de Weierstrass” e podia ser generalizado para curvas n˜ao singulares sobre corpos de caracter´ıstica 0. O caso de curvas de gˆenero maior que um sobre um corpo de caracter´ıstica positiva foi primeiramente resolvido em 1938 por H. L. Schmid (ver [12]), utilizando uma generaliza¸c˜ao devida a F. K. Schmidt para a teoria de pontos de Weierstrass. Alguns anos depois, Iwasawa e Tamagawa mostraram em [8] que o estudo da a¸c˜ao do grupo de automorfismos no conjunto das diferenciais holomorfas do corpo de fun¸c˜oes dessas curvas tamb´em permite concluir a finitude desse grupo.
Posteriormente, em 1961, Baily provou em [3] que uma curva gen´erica de gˆenero maior que dois (sobre os complexos) possui grupo de automorfismos trivial, mas seu m´etodo n˜ao fornecia um exemplo concreto de tal curva. A primeira fam´ılia de equa¸c˜oes expl´ıcitas com grupo de automorfismos trivial foi dada por Turbek em [15].
Nesta disserta¸c˜ao, nosso principal objetivo ´e provar os resultados devido a Iwasawa e Tamagawa em[8] e de Turbek em [15], sendo estes investigados nos cap´ıtulos 3 e 4, respectivamente. Nos cap´ıtulos 1 e 2, definimos com precis˜ao os conceitos de curvas alg´ebricas e corpos de fun¸c˜oes em uma vari´avel. Como estamos mais interessados em utilizar suas propriedades para obter os resultados no cap´ıtulo 3 e 4 e a fim de manter o foco desta disserta¸c˜ao, nos cap´ıtulos 1 e 2 omitimos as demonstra¸c˜oes de certos lemas e teoremas cl´assicos, mas sempre fornecemos referˆencias para mais detalhes. Mais precisamente, no primeiro cap´ıtulo, a fim de definir o conceito de curva alg´ebrica, apresentamos mais geralmente as no¸c˜oes de variedades alg´ebricas afins e projetivas sobre um corpo algebricamente fechado e os conceitos de morfismos e aplica¸c˜oes racionais en- tre tais objetos. Definimos tamb´em o corpo de fun¸c˜oes de uma variedade alg´ebrica e provamos, por exemplo, o resultado cl´assico de que duas variedades sobre K s˜ao birraci- onalmente equivalentes se, e s´o se, seus corpos de fun¸c˜oes s˜ao K-isomorfos. Encerramos
xi
xii
o cap´ıtulo definindo o conceito de curva alg´ebrica e singularidade em curvas alg´ebricas e exploramos suas principais propriedades, como, por exemplo, a existˆencia de modelos planos e um modelo projetivo n˜ao singular. A demonstra¸c˜ao desses resultados bem como mais detalhes podem ser encontrados em Hartshorne [6], Fulton [4], Atiyah-Macdonald [1] ou Matsumura [10]. No segundo cap´ıtulo, motivados pelo fato de que a geometria birracional de uma curva ´e traduzida pelo seu corpo de fun¸c˜oes, definimos a no¸c˜ao de um corpo de fun¸c˜oes em uma vari´avel sobre um corpo algebricamente fechado K. Definimos tamb´em o conceito de gˆenero de um corpo de fun¸c˜oes e provamos o teorema de Riemann-Roch (teorema 2.4) seguindo a demonstra¸c˜ao apresentada em Stichtenoth [14], que n˜ao utilizar´a o fato de K ser algebricamente fechado. Encerramos o cap´ıtulo estudando extens˜oes alg´ebricas de corpos de fun¸c˜oes sobre um corpo algebricamente fechado, que aparecer˜ao naturalmente no cap´ıtulo 3. No terceiro cap´ıtulo, definimos o grupo de automorfismos de um corpo de fun¸c˜oes sobre um corpo algebricamente fechado e estudamos sua a¸c˜ao natural no conjunto de divisores e diferenciais de Weil. Em seguida, consideramos o caso de corpos de fun¸c˜oes de gˆenero zero, classificando seu grupo de automorfismos e fornecendo explicitamente a a¸c˜ao desse grupo nos lugares desses corpos de fun¸c˜oes. Em seguida, com base no artigo de Iwasawa e Tamagawa, definimos o conceito de grupo de decomposi¸c˜ao de um lugar, provamos sua finitude para corpos de fun¸c˜oes de gˆenero positivo e, utilizando esse fato bem como um resultado devido a Burnside (lema 3.6), provamos que o grupo de automorfismos de um corpo de fun¸c˜oes de gˆenero maior que um sobre um corpo algebricamente fechado ´e finito. Na ´ultima se¸c˜ao, fazemos breves coment´arios sobre a estrutura do grupo de automorfismos de corpos de fun¸c˜oes de gˆenero um. No quarto e ´ultimo cap´ıtulo, investigamos a fam´ılia de curvas planas afins conside- radas por Turbek e provamos que seu corpo de fun¸c˜oes possui grupo de automorfismos trivial. Para tal, constru´ımos o modelo projetivo n˜ao singular dessas curvas e estudamos a sequˆencia de lacunas em cada um de seus pontos.
Nesse cap´ıtulo, investigamos a categoria das variedades sobre um corpo algebricamente fechado K e seus morfismos. Definimos tamb´em a no¸c˜ao de uma aplica¸c˜ao racional dominante entre variedades e consideramos a categoria das variedades aplica¸c˜oes racionais dominantes. Mostramos que essa ´ultima categoria ´e equivalente `a categoria das extens˜oes de K finitamente geradas e, por fim, consideramos os principais objetos dessa disserta¸c˜ao, as curvas alg´ebricas, que s˜ao as variedades de dimens˜ao 1. Provamos alguns resultados, mas omitimos as demonstra¸c˜oes de certos lemas e teoremas cl´assicos. Suas provas bem como mais detalhes podem ser encontrados, por exemplo, em Hartshorne [6], Fulton [4], Atiyah-Macdonald [1] ou Matsumura [10].
Ao longo de toda a disserta¸c˜ao, K denota um corpo algebricamente fechado. Definimos o n-espa¸co afim sobre K, denotado por An(K) (ou simplesmente An^ caso n˜ao haja d´uvida de que seja sobre K), como o produto cartesiano de n c´opias de K, isto ´e,
An(K) = K × ... × K, n vezes
Defini¸c˜ao 1.1. Seja S ⊆ K[x 1 , ..., xn]. O conjunto alg´ebrico afim de S ´e o conjunto
Z(S) = {x ∈ An^ | f (x) = 0, ∀f ∈ S}.
Se I ´e o ideal gerado pelos elementos de S ⊆ K[x 1 , ..., xn], ent˜ao ´e claro que Z(S) = Z(I) e, portanto, pensamos em V como uma aplica¸c˜ao sobrejetiva do conjunto de ideais de K[x 1 , ..., xn] na classe dos conjuntos alg´ebricos afins. Quanto `a nota¸c˜ao, se I ´e gerado por elementos f 1 , ..., fr, escrevemos Z(f 1 , ..., fr) ao inv´es de Z(I). As seguintes propriedades s˜ao imediatas da defini¸c˜ao de Z:
Demonstra¸c˜ao. A ´unica afirma¸c˜ao que n˜ao ´e imediata da defini¸c˜ao ´e a propriedade em (c). Provaremos esse resultado por indu¸c˜ao em n. A veracidade para o caso n = 1 decorre do fato de que um polinˆomio n˜ao nulo em uma vari´avel possui apenas um n´umero finito de ra´ızes e do fato de que K ´e um conjunto infinito, pois assumimos K um corpo algebricamente fechado. Supondo ent˜ao que o resultado valha para n − 1, seja f ∈ I(An), escrevemos f = f 0 + f 1 xn + ... + fmxmn , com fi ∈ K[x 1 , ..., xn− 1 ]. Se f ´e n˜ao nulo, ent˜ao algum fi ´e n˜ao nulo e, pela hip´otese de indu¸c˜ao, existe (a 1 , ..., an− 1 ) ∈ An−^1 tal que fi(a 1 , ..., an− 1 ) 6 = 0. Nesse caso, temos que f (a 1 , ..., an− 1 , xn) ´e um polinˆomio n˜ao nulo em uma vari´avel. No entanto, como f ∈ I(An), o polinˆomio f (a 1 , ..., an− 1 , xn) deve possuir infinitas ra´ızes, um absurdo!
Utilizando as propriedades acima, podemos provar que:
Corol´ario 1.1. Seja X ⊆ An(K), ent˜ao I(X) = I(X), onde X denota o fecho de X em An(K) (munido da topologia de Zariski).
Demonstra¸c˜ao. Por um lado, como X ⊆ X, temos que I(X) ⊇ I(X), pelo item (a). Por outro lado, pelo item (e), X ⊆ Z(I(X)) e, como Z(I(X)) ´e fechado na topologia de Zariski, temos que X ⊆ Z(I(X)). Finalmente, segue pelos itens (a) e (d) que I(X) ⊇ I(Z(I(X))) ⊇ I(X).
Logo, a dinˆamica entre I e Z pode ser resumida no diagrama
{ideais de K[x 1 , ..., xn]}
Z ) ) {conjuntos alg´ebricos de An(K)}
I
i i
Ingenuamente poder´ıamos sugerir que tais opera¸c˜oes s˜ao inversas. No entanto, a pro- priedade (a) da proposi¸c˜ao 1.1 nos fala que Z nem ´e injetiva! Uma pergunta natural ´e qual o resultado das composi¸c˜oes Z ◦ I e I ◦ Z. A resposta da primeira ´e simples:
Proposi¸c˜ao 1.3. Seja X ⊆ An^ um conjunto alg´ebrico, ent˜ao Z(I(X)) = X.
Demonstra¸c˜ao. A proposi¸c˜ao 1.2.(e) nos garante a inclus˜ao Z(I(X)) ⊇ X. Para verificar a inclus˜ao contr´aria, escreva X = Z(J), para algum ideal J de K[x 1 , ..., xn]. Pela proposi¸c˜ao 1.2.(d), temos que I(X) ⊇ J e, portanto, pela proposi¸c˜ao 1.2.(a), Z(I(X)) ⊆ Z(J) = X.
A composi¸c˜ao I ◦ Z n˜ao ´e t˜ao simples. Sua resposta ´e conhecida como o teorema dos zeros de Hilbert:
Teorema 1.1 (Teorema dos zeros de Hilbert). Seja I um ideal de K[x 1 , ..., xn]. Se K ´e algebricamente fechado, ent˜ao
I(Z(I)) =
onde
I denota o radical de I, isto ´e, o conjunto de todos os f ∈ K[x 1 , ..., xn] para os quais existe um natural m com f m^ ∈ I.
Demonstra¸c˜ao. Ver Fulton [[4], Se¸c˜ao 1.7, p´agina 10].
Observe que a hip´otese de K ser algebricamente fechado ´e essencial para a validade desse teorema. De fato, se, por exemplo, K = R, o ideal I gerado por x^2 + y^2 + 1 em R[x, y] ´e primo e, portanto,
I = I, mas Z(I) ´e obviamente vazio e, portanto, I(Z(I)) = K[x 1 , ..., xn].
Um espa¸co topol´ogico X ´e dito irredut´ıvel se ele n˜ao pode ser escrito como a uni˜ao de dois fechados pr´oprios. Convencionamos que ∅ n˜ao ´e irredut´ıvel.
Defini¸c˜ao 1.3. Uma variedade afim ´e um conjunto alg´ebrico afim irredut´ıvel. Uma variedade quase afim ´e um aberto n˜ao vazio de uma variedade afim.
Em outras palavras, um subconjunto X ⊆ An^ ´e uma variedade quase afim se existem um aberto U de An^ e uma variedade afim V ⊆ An^ tais que X = V ∩ U. Em particular, toda variedade afim ´e uma variedade quase afim, pois An^ ´e aberto. Al´em disso, note que todo aberto n˜ao vazio de uma variedade afim ´e denso:
Proposi¸c˜ao 1.4. Se U ´e um aberto n˜ao vazio de uma variedade afim V , ent˜ao U = V.
Demonstra¸c˜ao. Por um lado, U ⊆ V = V. Por outro lado, se U 6 = V , ent˜ao podemos escrever V = U ∪ (V \U ), o que contraria o fato de V ser irredut´ıvel.
Um bom crit´erio para decidir quando um conjunto alg´ebrico afim ´e uma variedade afim ´e olhar para seu ideal:
Proposi¸c˜ao 1.5. Um conjunto alg´ebrico n˜ao vazio V ⊆ An^ ´e uma variedade afim se, e s´o se, I(V ) ´e um ideal primo.
