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SMA - 306 - Algebra II´
Teoria de An´eis - Notas de Aulas
Professora Ires Dias - Segundo Semestre de 2001
1 Defini¸c˜ao e Exemplos
Defini¸c˜ao 1 Um conjunto n˜ao vazio R, juntamente com duas opera¸c˜oes bin´arias + e ·, ´e dito ser um anel quando:
(i) (R, +) ´e um grupo abeliano, ou seja;
- a + (b + c) = (a + b) + c, para todo a, b, c ∈ R;
- ∃ 0 ∈ R; a + 0 = 0 + a = a, para todo a ∈ R;
- Para todo a ∈ R, ∃ − a ∈ R; a + (−a) = 0 = (−a) + a;
- a + b = b + a; para todo a, b ∈ R. (ii) · ´e associativa, ou seja, a · (b · c) = (a · b) · c, para todo a, b, c ∈ R. (iii) Valem as leis distributivas: a · (b + c) = (a · b) + (a · c), (b + c) · a = (b · a) + (c · a), para todo a, b, c ∈ R.
Nota¸c˜ao: (R , + , ·) denotar´a um anel R com as opera¸c˜oes + e ·.
Exemplo 1 ( Z , + , · ) ´e um anel, onde + e · s˜ao a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao usuais dos inteiros. A opera¸c˜ao · ´e comutativa e 1 ´e o elemento neutro para esta opera¸c˜ao.
Exemplo 2 ( Q , + , · ) , ( R , + , · ) e ( C , + , · ) s˜ao an´eis, onde + e · s˜ao a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao usuais. Em cada caso, a opera¸c˜ao · ´e comutativa e 1 ´e o elemento neutro para esta opera¸c˜ao.
Exemplo 3 Para todo n ≥ 0, seja nZ = {na; a ∈ Z}. Com as opera¸c˜oes induzidas pelas opera¸c˜oes de Z, temos que (nZ, +, ·) ´e um anel, onde a opera¸c˜ao · ´e comutativa e n˜ao tem elemento neutro para esta opera¸c˜ao, se n 6 = 1.
Exemplo 4 Sejam R = Zn = { 0 , 1 ,... , n − 1 }, n ≥ 0, + e · opera¸c˜oes em Zn, definidas por: a + b = a + b, a · b = ab, para todo a, b ∈ Zn. ( Zn , + , · ) ´e um anel, onde a opera¸c˜ao · ´e comutativa e tem elemento neutro
- Este anel ´e chamado o anel dos inteiros m´odulo n.
Lembrete: Para todo a, b ∈ Zn, temos: a = b ⇐⇒ a ≡ b mod n ⇐⇒ n / (a + b) ⇐⇒ a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n.
Defini¸c˜ao 2 Um anel ( R , + , · ), onde a opera¸c˜ao · ´e comutativa ´e dito ser um anel comutativo. Um anel ( R , + , · ) onde · tem elemento neutro ´e dito ser um anel com elemento identidade ou simplesmente, um anel com 1. Tal elemento neutro ser´a indicado por 1 ou 1R.
Exemplo 5 Seja R = {f : R → R; f ´e fun¸c˜ao}. Para todo f, g ∈ R, definimos (f + g) ∈ R e (f · g) ∈ R, por: (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀ x ∈ R (f · g)(x) = f (x) · g(x), ∀ x ∈ R. ( R , + , · ) ´e um anel comutativo com 1.
Exemplo 6 (M 2 (Z), + , · ) ´e um anel com 1R =
que n˜ao ´e comutativo,
a · b =
ou seja, o zero tem fatores n˜ao nulos, o que implica que n˜ao vale a lei do cancelamento para o produto. Por exemplo, ( 1 0 1 0
e
Defini¸c˜ao 3 Seja (R , + , · ) um anel. Um elemento a ∈ R, a 6 = 0 ´e um divisor de zero a esquerda de R se existe b 6 = 0 em R, tal que a · b = 0. Analogamente, a 6 = 0 ´e um divisor de zeroa direita se existe b 6 = 0 tal que b · a = 0.
Por exemplo,
´e um divisor de zero `a esquerda de R = M 2 (Z) pois ( 0 1 0 2
mas
6 = 0. Isso n˜ao im-
plica que
n˜ao ´e divisor de zero `a direita, pois
Exerc´ıcio 1 Todo divisor de zero a esquerda ´e tamb´em divisor de zeroa direita?
Defini¸c˜ao 4 Um dom´ınio, ou um anel de integridade ´e um anel comutativo, com 1, sem divisores de zero, ou seja um anel (R , + , · ) comutativo com 1 ´e dom´ınio ⇔ (para todo a, b ∈ R, ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0). Um anel (R , + , · ) ´e um anel com divis˜ao, ou um quase corpo se (R−{ 0 } , · ) ´e um grupo, ou seja 1 ∈ R e para todo a ∈ R, a 6 = 0, existe b ∈ R, tal que a · b = b · a = 1, este elemento b ´e dito ser o inverso de a e ´e denotado por a−^1. Um corpo ´e um anel com divis˜ao comutativo.
Exemplo 10 Com as opera¸c˜oes usuais, o anel dos inteiros Z ´e um dom´ınio que n˜ao ´e corpo. R , Q , C s˜ao corpos.
Se n ´e um inteiro positivo que n˜ao ´e primo, ent˜ao Zn n˜ao ´e dom´ınio. Mas, Zp, com p primo ´e corpo. De fato, seja a ∈ Zp , a 6 = 0, ou seja a ∈ Z tal que p - a. Assim, mdc (p, a) = 1, o que implica que existem r, s, ∈ Z; rp + sa = 1. Logo rp + sa = 1 ⇒ sa = 1 ⇒ s = (a)−^1 , o que mostra que Zp ´e corpo.
Exerc´ıcio 2 Mostre que Zn ´e corpo ⇔ n ´e primo.
Exemplo 11 Um exemplo de um anel com divis˜ao que n˜ao ´e corpo, chamado o anel dos quat´ernios de Hamilton. Seja H = R · 1 ⊕ R · i ⊕ R · j ⊕ R · k = {α + βi + γj + σk ; α, β, γ, σ ∈ R} , o espa¸co vetorial real, com base { 1 , i, j, k}. Com rela¸c˜ao a + temos que (H, +) ´e um grupo abeliano, pois por defini¸c˜ao de espa¸co vetorial, a + ´e associativa, comutativa, tem elemento neutro ( o vetor nulo) e, todo vetor ~v tem um inverso com rela¸c˜ao a adi¸c˜ao, que ´e o vetor −~v.
Com rela¸c˜ao ao produto, temos:
i^2 = j^2 = k^2 = − 1 ij = k , jk = i , ki = j ji = −k , kj = −i , ik = −j
Assim, (α 1 + α 2 i + α 3 j + α 4 k) · (β 1 + β 2 i + β 3 j + β 4 k) = (α 1 β 1 + α 1 β 2 i + α 1 β 3 j + α 1 β 4 k) + (α 2 β 1 i − α 2 β 2 + α 2 β 3 k − α 2 β 4 j) + (α 3 β 1 j − α 3 β 2 k − α 3 β 3 + α 3 β 4 i) + (α 4 β 1 k + α 4 β 2 j −α 4 β 3 i−α 4 β 4 ) = (α 1 β 1 −α 2 β 2 −α 3 β 3 +α 4 β 4 )+(α 1 β 2 +α 2 β 1 +α 3 β 4 −α 4 β 3 )i+ (α 1 β 3 − α 2 β 4 + α 3 β 1 + α 4 β 2 )j + (α 1 β 4 + α 2 β 3 − α 3 β 2 + α 4 β 1 )k. E facil ver que (^ ´ H , + , · ) ´e uma anel com 1, n˜ao comutativo. Mais ainda, se x = a + bi + cj + dk ∈ H , x 6 = 0, ent˜ao a^2 + b^2 + c^2 + d^2 6 = 0 e x−^1 = (^) aa 2 − (^) +^ bi b 2 − (^) +^ cj c 2 − (^) +^ dk d 2 ∈ H ´e tal que x · x−^1 = 1 = x−^1 · x. Assim, tomando x = a − bi − cj − dk, temos que x · x = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = N (x) e x−^1 = (^) N x(x). Logo, H ´e um anel com divis˜ao e n˜ao ´e corpo, pois n˜ao ´e comutativo.
O pr´oximo teorema apresenta as primeiras propriedades b´asicas de um anel.
Teorema 1 Seja ( R , + , · ) um anel. Ent˜ao:
De maneira an´aloga mostra-se que (−a) · b = −(a · b). Agora, usando as igualdades acima, temos (−a) · (−b) = −(a · (−b)) = a · (−(−b)) = a · b. (vi) Se 1 e 1’ s˜ao elementos neutros para ·. ent˜ao 1 = 1 · 1 ′^ = 1′^. Portanto 1 = 1′^. (vii) Se 1 = 0 em R, ent˜ao para todo a ∈ R temos a = a · 1 = a · 0 = 0, ou seja, R = { 0 },o que ´e uma contradi¸c˜ao, portanto 1 6 = 0 em R. (viii) Se a ∈ R, a 6 = 0 e a · b = 0, ent˜ao a · b = a · 0 e a 6 = 0. Por hip´otese temos b = 0, ou seja, R n˜ao possui divisores de zero `a esquerda.
Corol´ario 1 Todo corpo ´e dom´ınio, mais ainda, todo anel com divis˜ao n˜ao tem divisores de zero.
Dem.: Se F ´e um corpo, ent˜ao F ´e um anel comutativo com 1 onde todo elemento n˜ao nulo tem inverso com rela¸c˜ao a multiplica¸c˜ao, ou seja, ( F − { 0 } , · ) ´e um grupo abeliano. Se a, b ∈ F s˜ao tais que a · b = 0 e a 6 = 0, ent˜ao a−^1 ∈ F e b = 1 · b = (a−^1 · a) · b = a−^1 · (a · b) = a−^1 · 0 = 0.
A rec´ıproca do corol´ario anterior n˜ao vale. O anel dos inteiro Z ´e um dom´ınio que n˜ao ´e corpo.
Corol´ario 2 Se R ´e um anel comutativo com 1 no qual valem as leis do cancela- mento, ent˜ao R ´e um dom´ınio.
Dem.: Segue de (v) do Teorema anterior.
Vale a volta do corol´ario acima, ou seja, se R ´e um dom´ınio, ent˜ao valem as leis do cancelamento para o produto em R. De fato, sejam R um dom´ınio e a, b, c ∈ R, a 6 = 0 tais que a · b = a · c. Ent˜ao 0 = a · b − (a · c)a · b + a(−c) = a · (b + (−c)) = a · (b − c). Como a 6 = 0 e R ´e um dom´ınio, temos b − c = 0, ou seja b = c. Portanto valem a lei do cancelamento `a
esquerda e, como R ´e comutativo, vale tamb´em o cancelamento `a direita. Com isso obtemos:
Teorema 2 Um anel comutativo com 1 ´e um dom´ınio se, e somente se, valem as leis do cancelamento (para o produto).
Os an´eis Z , Z[x], Zp[x] ( p primo) s˜ao dom´ınios, mas n˜ao s˜ao corpos e s˜ao infinitos. Existem dom´ınios finitos que n˜ao s˜ao corpos? N˜ao.
Teorema 3 Todo dom´ınio finito com mais de um elemento ´e corpo.
Dem.: Seja R um dom´ınio finito com 1 6 = 0. Desde que R ´e corpo se todo ele- mento n˜ao nulo tem inverso multiplicativo, para todo a ∈ R, a 6 = 0, temos que {a, a^2 , a^3 ,... , ak,.. .} ⊆ R. Como R ´e finito, temos que {a, a^2 , a^3 ,... , ak,.. .} ´e finito. Seja s o menor inteiro positivo tal que as^ = ar, para algum r 6 = s (r > s). Como r > s, podemos escrever r = s + t, com t > 0 e 0 = as^ − as+t^ = as^ · (1 − at). Como R ´e dom´ınio e a 6 = 0, temos as^6 = 0. o que implica que at^ = 1, para algum t > 0. Se t = 1 ⇒ a = 1 ⇒ a−^1 = a = 1 ∈ R. Se t > 1 ⇒ 1 = a · at−^1 ⇒ a−^1 = at−^1 ∈ R. Portanto, para todo a ∈ R, a 6 = 0, temos que a−^1 ∈ R, i.´e., R ´e corpo.
Observa¸c˜ao: Tamb´em vale: Todo anel com divis˜ao finito ´e corpo.
- Seja R um anel. Um elemento e ∈ R ´e idempotente se e^2 = e; um elemento k ∈ R ´e quadrado nilpotente se k^2 = 0; se R tem 1, ent˜ao um elemento v ∈ R ´e involut´orio se v^2 = 1. Seja R um anel com 1 e e ∈ R um idempotente. Mostre que: (a) 1 − e ´e idempotente. (b) para cada x ∈ R, ex(1 − e) ´e quadrado nilpotente. (c) para cada x ∈ R, e + ex(1 − e) ´e idempotente. (d) para cada x ∈ R, 1 + ex(1 − e) ´e uma unidade(invers´ıvel) em R. (e) 2 e − 1 ´e involut´orio.
- Encontre todos os elementos idempotentes do anel Z 8.
- Mostre que em um dom´ınio, os ´unicos elementos idempotentes s˜ao o 0 e o 1.
- Um anel R, com 1, ´e dito ser um anel Booleano se todo elemento de R ´e idempotente. Mostre que, neste caso, temos: (a) a = −a, ∀a ∈ R; (b) R ´e comutativo.
- De exemplos de n˜ao triviais elementos idempotentes, quadrado nilpotentes e involut´orio no anel M 2 (Z).
- Mostre que o subconjunto de M 2 (Z) consistindo de todas as matrizes cujas entradas s˜ao n´umeros inteiros pares, M 2 (2Z), ´e um anel n˜ao comutativo, sem
- Sejam (R, +, .) e (S, ⊕, ) an´eis. Mostre que o conjunto R×S = {(r, s); r ∈ R, s ∈ S}, com as opera¸c˜oes coordenada `a coordenada, ou seja: (r 1 , s 1 ) ∓ (r 2 , s 2 ) = (r 1 + r 2 , s 1 ⊕ s 2 ) e (r 1 , s 1 ) • (r 2 , s 2 ) = (r 1 .r 2 , s 1 s 2 ) ´e um anel, chamado o produto direto externo de R e S.
- Se R e S s˜ao dom´ınios, ent˜ao R × S ´e tamb´em um dom´ınio???
- Como s˜ao os elementos invers´ıveis de R × S en termos das unidades de R e de S??
- Seja R o conjunto de todas as matrizes de M 2 (Z), da forma
a^ b 0 0
(a) Mostre que, com as opera¸c˜oes induzidas pelas opera¸c˜oes de M 2 (Z), R ´e um anel. (b) Mostre que
^1
(^) ´e um divisor de zero a direita de R mas n˜ao ´e divisor de zeroa esquerda.
- Encontre todos os divisores de zero dos seguintes an´eis: (a) Z 4 ; (b) Z 8 ; (c) Z × Z; (d) Z 4 × Z 6 ; (e) M 2 (Z 2 ), (f ) G, o anel dos inteiros de Gauss.
- Mostre que se R ´e um dom´ınio e a ∈ R ´e tal que a^2 = 1, ent˜ao a = 1 ou a = −1.
S 1 = { 0 , 2 , 4 } e S 2 = { 0 , 3 } s˜ao suban´eis de Z 6 , pois 2 · 4 = 2 , −2 = 4 ; 3 = −3 , 3 · 3 = 3. Observe que 1R = 1 , (^1) S 1 = 4 , (^1) S 2 = 3. Assim, Si ⊆ R s˜ao suban´eis com 1 tais que (^1) Si 6 = 1R , para i = 1, 2.
Exemplo 14 M 2 (n Z) ⊆ M 2 (Z), para todo n ≥ 0 s˜ao suban´eis de M 2 (Z).
Exemplo 15 { 0 } e R s˜ao sempre suban´eis de R , chamados os suban´eis triviais.
Exemplo 16 Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C ´e uma cadeia de suban´eis.
Exemplo 17 Sejam R = M 2 (Z), S =
a b 0 0
; a, b ∈ Z
e
A =
a 0 0 0
; a ∈ Z
S ´e um subanel de R, A ´e um subanel de R e de S, com
(^1) R =
; 1 A =
, pois
a 0 0 0
a 0 0 0
; para todo a ∈ Z. Assim, A ⊆ R, ´e um subanel de R, com 1, mas 1A 6 = 1R. Mais ainda, S n˜ao tem 1. De fato, suponhamos por absurdo, que 1S =
a 0 b 0 0 0
para algum a 0 , b 0 ∈ Z. Ent˜ao, em particular, ( a 0 b 0 0 0
a 0 b 0 0 0
o que implica que a 0 = 1 e b 0 = 0, ou seja 1S =
Mas
a b 0 0
· 1 S =
a 0 0 0
a b 0 0
, para algum b ∈ Z. Portanto S n˜ao
tem 1. Assim, S ⊆ R, ´e um subanel com S sem 1 e R com 1 e A ⊆ S, com S sem 1 e A com 1.
Exemplo 18 Nem todo subgrupo ´e subanel. Por exemplo, para R = M 2 (Z), temos
H =
a b c 0
; a, b, c ∈ Z
´e um subgrupo de (R, +), mas H n˜ao ´e um
subanel de R , pois
∈ H e
6 ∈ H.
Todo anel cont´em um subanel comutativo.
Defini¸c˜ao 6 Se ( R , + , · ) ´e um anel, ent˜ao o centro de R ´e o conjunto:
C(R) = {a ∈ R; a · b = b · a, ∀ b ∈ R}. Se R ´e um anel comutativo, ent˜ao claramente C(R) = R.
Teorema 5 Para todo anel R, o centro de R, C(R) ´e um subanel comutativo de R.
Dem.: Como 0 · a = a · 0 = 0, para todo a ∈ R, temos que 0 ∈ C(R) ⇒ C(R) 6 = ∅. Para a, b ∈ C(R) e r ∈ R, temos (a − b) · r = a · r + (−b) · r = a · r − (b · r) = r · a − r · b = r · a + r · (−b) = r · (a − b), ou seja a − b ∈ C(R). Mais ainda, (a · b) · r = a · (b · r) = a · (r · b) = (a · r) · b = (r · a) · b = r · (a · b), o que implica que a · b ∈ C(R). Portanto C(R) ´e um subanel de R , claramente comutativo.
Exemplo 19 Para R = M 2 (Z) , C(R) =?
Se x =
a b c d
∈ C(R), ent˜ao, em particular
a b c d
a b c d
ou seja
a 0 c 0
a b 0 0
, o que implica que b = c = 0. Logo x =
a 0 0 d
Mas,
a 0 0 d
a 0 0 d
, ou seja
0 a 0 0
0 d 0 0
⇒ a =
d ⇒ x =
a 0 0 a
, com a ∈ Z. Assim, C(R) ⊆
a 0 0 a
; a ∈ Z
; a inclus˜ao
contraria ´e trivial. Portanto, C(R) =
a 0 0 a
; a ∈ Z
Teorema 6 Seja ϕ : ( R , + , · ) → ( S , ⊕ , ) um homomorfismo de an´eis. Ent˜ao:
(i) ϕ(OR) = OS , (ii) ϕ(−a) = −ϕ(a) , ∀ a ∈ R, (iii) ϕ(R) = {ϕ(a); a ∈ R} ´e um subanel de S. (iv) Se R tem 1, ent˜ao ϕ(1R) = 1ϕ(R). (v) Se a ∈ R ´e invers´ıvel, ou seja, tem inverso multiplicativo, ent˜ao ϕ(a−^1 ) = ϕ(a)−^1 em ϕ(R).
Dem.: (i) Como ϕ(OR) ⊕ OS = ϕ(OR) = ϕ(OR + 0R) = ϕ(OR) ⊕ ϕ(OR), do cancelamento da opera¸c˜ao ⊕, temos ϕ(OR) = OS. (ii) Para todo a ∈ R, temos OS = ϕ(OR) = ϕ(a + (−a)) = ϕ(a) ⊕ ϕ(−a), o que implica que ϕ(−a) = −ϕ(a). (iii) ϕ(R) ´e um subanel de S, pois para todo ϕ(a), ϕ(b) ∈ ϕ(R), temos:
- ϕ(a) − ϕ(b) = ϕ(a) ⊕ ϕ(−b) = ϕ(a + (−b)) = ϕ(a − b) ∈ ϕ(R).
- ϕ(a) ϕ(b) = ϕ(a · b) ∈ ϕ(R). (iv) Para todo ϕ(a) ∈ ϕ(R), ϕ(a) ϕ(1R) = ϕ(a · (^1) R) = ϕ(a) = ϕ(1R · a) = ϕ(1R) ϕ(a) ⇒ ϕ(1R) = 1ϕ(R). (v) Se a ∈ R tem inverso, ent˜ao 1R = a · a−^1 = a−^1 · a, o que implica que 1ϕ(R) = ϕ(1R) = ϕ(a · a−^1 ) = ϕ(a) ϕ(a−^1 ) = ϕ(a−^1 ) ϕ(a) ⇒ ϕ(a−^1 ) = ϕ(a)−^1.
Exemplo 24 Exemplo de um homomorfismo de an´eis ϕ : R → S, com ϕ(1R) 6 = 1S. Seja ϕ : Z 2 → Z 6 o homomorfismo de an´eis definido por ϕ(0) = 0 e ϕ(1) = 3. Temos ent˜ao que ϕ(Z 2 ) = { 0 , 3 } ⊆ Z 6 ´e um subanel, com ϕ(1) = 3 = 1ϕ(Z 2 ) 6 = 1Z 6.
Se ϕ : R → S ´e uma fun¸c˜ao e S′^ ⊆ S , ent˜ao definimos a imagem inversa de S′^ por ϕ, por ϕ−^1 (S′) = {r ∈ R; ϕ(r) ∈ S′}.
Teorema 7 Se ϕ : (R, +, ·) → (S, ⊕, ) ´e um homomorfismo de an´eis e S′^ ´e um subanel de S , ent˜ao ϕ−^1 (S′) ´e um subanel de R, ou seja, a imagem inversa, por homomorfismo, de subanel ´e subanel.
Dem.: De fato:
- ϕ−^1 (S′) 6 = ∅ , pois como ϕ(OR) = OS ∈ S′^ ⇒ OR ∈ ϕ−^1 (S′) ;
- Para todo a, b ∈ ϕ−^1 (S′) =def⇒ ϕ(a), ϕ(b) ∈ S′^. Como S′^ ´e subanel, ϕ(a) − ϕ(b) ∈ S′^ ⇒ ϕ(a − b) ∈ S′. Da´ı, a − b ∈ ϕ−^1 (S′). Novamente, como S′^ ´e subanel, ϕ(a) ϕ(b) ∈ S′^ ⇒ ϕ(a · b) ∈ S′. Logo, a · b ∈ ϕ−^1 (S′). Portanto, ϕ−^1 (S′) ´e um subanel de R.
Corol´ario 3 Se ϕ : R → S ´e um homomorfismo de an´eis, ent˜ao Ker (ϕ) = ϕ−^1 ({Os}) ´e um subanel de R, chamado o n´ucleo do homomorfismo ϕ. Note que Ker (ϕ) = {a ∈ R; ϕ(a) = OS }.
Teorema 8 Se ϕ : R → S ´e um homomorfismo de an´eis e a ∈ Ker (ϕ) ent˜ao a · r ∈ Ker (ϕ) e r · a ∈ Ker (ϕ), para todo r ∈ R.
Dem.: Se a ∈ Ker (ϕ) e r ∈ R, ent˜ao temos ϕ(a·r) = ϕ(a) ϕ(r) = OS ϕ(r) = OS. Logo, a · r ∈ Ker (ϕ).
As propriedades que Ker (ϕ) satisfaz no teorema anterior s˜ao as propriedades que caracterizam certos subconjuntos especiais de um anel.
Defini¸c˜ao 8 Um subanel I de um anel R ´e:
- um ideal de R, se ∀ a ∈ I e r ∈ R ⇒ a · r ∈ I e r · a ∈ I.
- um ideal `a direita de R se, ∀ a ∈ I e r ∈ R ⇒ a · r ∈ I.
- um ideal `a esquerda de R se, ∀ a ∈ I e r ∈ R ⇒ r · a ∈ I.
O pr´oximo teorema caracteriza um ideal.
Exemplo 30 Para R = M 2 (Z), I =
a 0 b 0
; a, b ∈ Z
´e um ideal `a esquerda,
mas n˜ao ´e `a direita.
Exemplo 31 J = M 2 (nZ), com n ≥ 0 s˜ao todos ideais bilaterais de R.
Exemplo 32 Se S ⊆ R ´e subanel e I ⊆ S ´e um ideal ⇒ I ⊆ R ´e um ideal? N˜ao. Para R = M 2 (Z),
S =
a b 0 d
; a, b, d ∈ Z
e
I =
0 c 0 0
; c ∈ Z
, temos que
S ⊆ R ´e subanel, I ´e ideal de S e n˜ao ´e ideal de R, pois ( 0 a 0 0
b c 0 d
0 ad 0 0
∈ I
b c 0 d
0 a 0 0
0 ba 0 0
∈ I
⇒ I ´e um ideal de S e
I n˜ao ´e ideal de R
x · r =
6 ∈ I.
Proposi¸c˜ao 1 Se R ´e um anel e a ∈ R ent˜ao:
(i) a · R = {a · r; r ∈ R} ´e um ideal a direita de R. (ii) R · a = {r · a; r ∈ R} ´e um ideala esquerda de R. (iii) Se R ´e comutativo ⇒ a · R = R · a ´e um ideal de R. (iv) Se R ´e comutativo com 1, ent˜ao a · R ´e o menor ideal de R que cont´em a.
Dem.: A demonstra¸c˜ao dos itens (i), (ii) e (iii) ficam como exerc´ıcio.
(iv) Mostremos que se I ⊆ R ´e um ideal e a ∈ I ⇒ a · R ⊆ I. De fato, se a ∈ I ⇒ a · r ∈ I, para todo r ∈ R, pois I ´e ideal ⇒ a · R ⊆ I. Mais ainda, se 1 ∈ R ⇒ a = a · 1 ∈ a · R.
Exemplo 33 Um anel R sem 1 e a ∈ R com a 6 ∈ a · R. Para R = 2Z , a = 2, temos 2R = 4Z e 2 6 ∈ 4 Z = 2R.
Defini¸c˜ao 9 Sejam R um anel comutativo e a ∈ R. A intersec¸c˜ao de todos os ideais de R que cont´em a ´e o ideal principal gerado por a e denotado por (a).
Proposi¸c˜ao 2 Se R ´e comutativo com 1 , ent˜ao (a) = a · R. Se R ´e comutativo sem 1 , ent˜ao (a) = {a · r + m · a; r ∈ R e m ∈ Z}.
Dem.: Demonstremos o caso em que R n˜ao tem 1. Seja J = {a · r + m · a ; r ∈ R, m ∈ Z}. Mostre, como exerc´ıcio, que J ´e um ideal de R. Agora, a = a · OR + 1 · a ∈ J, ou seja, J ´e um ideal que cont´em a. Assim, (a) =
a∈I
I ⊆ J.
Resta mostrar que se I ´e um ideal de R e a ∈ I, ent˜ao J ⊆ I, pois assim, teremos J ⊆
a∈I
I.
Se a ∈ I, ent˜ao a · r ∈ I, para todo r ∈ R e m · a ∈ I, para todo m ∈ Z. Logo, ar+ma ∈ I, para todo r ∈ R e m ∈ Z, o que mostra que J ⊆ I ⇒ J ⊆
a∈I
I = (a). Logo, J = (a), como quer´ıamos.
Exemplo 34 Para R = 2Z , a = 2, temos 2R = 4Z e (2) = { 2 · r + m · 2; r ∈ 2 Z e m ∈ Z} = 4 Z + 2 Z = 2 Z = R.
