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Título do tema da aula

Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Matemática Básica I Professor: Genilton Cavalcante. genilton.cavalcante@ifrn.edu.br senhorgenilton@gmail.com

FUNÇÕES

Título do tema da aula

Par ordenado

O símbolo (a, b), significa um par ordenado com primeiro

termo a e segundo termo b.

No estudo dos conjuntos, temos que {a, b} = {b, a}, no

entanto, nos pares ordenados temos (a, b) ≠ (b, a).

Na igualdade de pares ordenados tem-se que:

(a, b) = (c, d) ֞ a = c e b = d.

Título do tema da aula

Plano Cartesiano

Exemplo 1 : Se A = {1, 2} e B = {3, 4, 5} então: A X B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} Exemplo 2: Se A X B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (x, 1), (x, 2), (x, 3 )}, então A = {a, x} e B = {1, 2, 3} Quando A e B são finitos, é fácil concluir que n(A X B) = n(A). n(B). Exemplo 3: Seja A = [1, 2] e B = [3, 4]. Determinar A X B.

Título do tema da aula

Relação

Uma relação binária R, de dois conjuntos A e B é um subconjunto de A X B. Exemplo1: Dados A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}, seja R = {(x, y) ∈ A X B | x < y} critério de relacionamento Então, R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

Título do tema da aula

Função

Utiliza-se a notação f : A  B (f de A em B) para indicar uma função aplicada de A em B. A função fica bem definida quando estabelecemos: domínio, contradomínio e a lei (regra) de correspondência do elemento x de A com o y = f(x) de B.

Título do tema da aula

Função

Quais dos diagramas não representam funções?

Título do tema da aula

Gráfico de uma função

Exemplo: Seja f: D ⊂ R  R dada por f(x) = 2x – 3, com D = {0,1,2,3,4}. Temos que: G(f) = {(0, - 3), (1, - 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5)}

Título do tema da aula

Observações quanto ao gráfico de uma função Dado o gráfico de uma função f, o domínio é constituído por todas as abscissas x dos pontos do gráfico. A imagem é formada pelas ordenadas y. Qualquer reta paralela ao eixo y, intercepta o gráfico de uma função em um único ponto. Caso contrário, o gráfico representado, será de uma relação. Gráfico de uma função Gráfico de uma relação

Título do tema da aula

Função

Exemplo 1 Seja f : N  R, tal que 𝑓 𝑥 = 1 𝑥

1 𝑥+ 1 , determine o valor de 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓 3. Solução: 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓 3 = 1 1

1 2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 4

3 4

Título do tema da aula

Função

Exemplo 2 Seja a função real 𝑓 𝑥 = 𝑥− 1 2𝑥+ 1

. Sabendo que a imagem de f é o conjunto Im(f) = {-3, 1, 5}. Determine o domínio de f? Solução: D(f) = {− 2 7

2 3

Título do tema da aula

Operações em funções A partir de duas (ou mais) funções dadas, como f : A  R e g : B  R, sendo A, B ⊂ R , podemos definir outras funções. Seja D ⊂ R, o conjunto dos x, tais que as funções f e g estejam simultaneamente, bem definidas, isto é D = A ∩ B. Soma de funções A soma de f com g, é a função h : D  R, dada por h(x) = f(x) + g(x), para todo x em D. Produto de um número real por uma função Seja c ∈ R. A função h = cf será dada por h(x) = c.f(x), para todo x em A

Título do tema da aula

Operações em funções Produto de funções O produto de duas funções f e g, é dado por h : D  R, com h(x) = f(x). g(x), Função quociente Seja D’ = {x ∈ R | g(x) ≠ 0} Denominamos a função quociente de f por g como sendo h : D’  R, definida por: ℎ 𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) , para todo x em D’

Título do tema da aula

Função composta Exemplo 1: Sejam A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {1, 3, 5, 7, 9} e as funções: f de A em B dada por f(x) = x 2 ; g de B em C dada por g(x) = 2x + 1. Determine a função h(x) = g(f(x))

Título do tema da aula

Função composta Percurso (km) Consumo (L) 10 1 20 2 30 3 40 4 Consumo (L) Custo (R$) 1 4, 2 8, 3 12, 4 16, Percurso (km) Custo (R$) 10 4, 20 8, 30 12, 40 16, 𝑓 𝑥 = 𝑥 10 h(x)= 0,4x Combinando as duas tabelas, podemos obter o custo de um certo percurso, sem verificar o consumo. Essa lei é obtida fazendo a composição entre as funções g(x) e f(x), ou seja: (g o f)(x) = g(f(x)) =4.f(x) (g o f)(x) = 4. 𝑥 10 h(x) = (g o f )(x) = 2𝑥 5 (ou h(x) = 0,4x) Exemplo 2: Observe as tabelas g 𝑥 = 4𝑥