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Sistemas de Equac
oes Lineares
Sistemas de Equac
oes Lineares
Muitos problemas em v ´
arias ´
areas da Ci ˆ
encia recaem na soluc
ao de sistemas lineares. Vamos
ver como a ´
algebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares.
Uma
equac
ao linear
em
n
vari ´
aveis
x
1
, x
2
,... , x
n
e uma equac
ao da forma
a
1
x
1
a
2
x
2
a
n
x
n
b ,
em que
a
1
, a
2
,... , a
n
e
b
s ˜
ao constantes reais;
Um
sistema de equac
oes lineares
ou simplesmente
sistema linear
e um conjunto de equac
oes
lineares, ou seja, ´
e um conjunto de equac
oes da forma
a
11
x
1
a
12
x
2
a
1
n
x
n
b
1
a
21
x
1
a
22
x
2
a
2
n
x
n
b
2
a
m
1
x
1
a
m
2
x
2
a
mn
x
n
b
m
em que
a
ij
e
b
k
s ˜
ao constantes reais, para
i, k
,... , m
e
j
,... , n
Usando o produto de matrizes que definimos na sec
ao anterior, o sistema linear acima pode ser
escrito como uma equac
ao matricial
A X
B
Marc
¸o 2008
Reginaldo J. Santos
Matrizes e Sistemas Lineares
em que
A
a
11
a
12
a
1
n
a
21
a
22
a
2
n
a
m
1
a
m
2
a
mn
X
x
1
x
2
...
x
n
e
B
b
1
b
2
...
b
m
Uma
soluc
ao
de um sistema linear ´
e uma matriz
S
s
1
s
2
...
s
n
tal que as equac
oes do sistema s ˜
ao
satisfeitas quando substitu´
ımos
x
1
s
1
, x
2
s
2
,... , x
n
s
n
. O conjunto de todas as soluc
oes do
sistema ´
e chamado
conjunto soluc
ao
ou
soluc
ao geral
do sistema. A matriz
A
e chamada
matriz
do sistema linear. Exemplo 1.10.
O sistema linear de duas equac
oes e duas inc ´
ognitas
x
y
x
y
pode ser escrito como
[
] [
x y
]
[
]
A soluc
ao (geral) do sistema acima ´
e
x
e
y
(verifique!) ou
X
[
1323
]
Introduc
ao `
a ´
Algebra Linear
Marc
¸o 2008
Matrizes e Sistemas Lineares
Definic
ao 1.5.
Uma
operac
ao elementar sobre as linhas
de uma matriz
e uma das seguintes
operac
oes:
(a)
Trocar a posic
ao de duas linhas da matriz;
(b)
Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(c)
Somar a uma linha da matriz um m ´
ultiplo escalar de outra linha.
O pr ´
oximo teorema garante que ao aplicarmos operac
oes elementares `
as equac
oes de um sis-
tema o conjunto soluc
ao n ˜
ao ´
e alterado.
Teorema 1.2.
Se dois sistemas lineares
AX
B
e
CX
D
, s ˜
ao tais que a matriz aumentada
[
C
D
]
e obtida de
[
A
B
]
aplicando-se uma operac
ao elementar, ent ˜
ao os dois sistemas possuem
as mesmas soluc
oes.
Demonstrac
ao.
A demonstrac
ao deste teorema segue-se de duas observac
oes:
(a)
Se
X
e soluc
ao de um sistema, ent ˜
ao
X
tamb ´
em ´
e soluc
ao do sistema obtido aplicando-se
uma operac
ao elementar sobre suas equac
oes (verifique!).
Introduc
ao `
a ´
Algebra Linear
Marc
¸o 2008
Sistemas de Equac
oes Lineares
(b)
Se o sistema
CX
D
e obtido de
AX
B
aplicando-se uma operac
ao elementar `
as
suas equac
oes (ou equivalentemente `
as linhas da sua matriz aumentada), ent ˜
ao o sistema
AX
B
tamb ´
em pode ser obtido de
CX
D
aplicando-se uma operac
ao elementar `
as suas
equac
oes, pois cada operac
ao elementar possui uma operac
ao elementar inversa do mesmo
tipo, que desfaz o que a anterior fez (verifique!).
Pela observac
ao (b),
AX
B
e
CX
D
podem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operac
ao
elementar sobre as suas equac
oes. E pela observac
ao (a), os dois possuem as mesmas soluc
oes.
Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto soluc
ao s ˜
ao chamados
sistemas equivalentes
Portanto, segue-se do
Teorema
que aplicando-se operac
oes elementares `
as equac
oes de um
sistema linear obtemos sistemas equivalentes. 1.2.
M ´
etodo de Gauss-Jordan
O m ´
etodo que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicac
ao de operac
oes
elementares `
as linhas da matriz aumentada do sistema at ´
e que obtenhamos uma matriz numa forma
em que o sistema associado a esta matriz seja de f ´
acil resoluc
ao.
Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas n ˜
ao nulas possuam como
primeiro elemento n ˜
ao nulo (chamado
piv ˆ
o
) o n ´
umero
. Al ´
em disso, se uma coluna cont ´
em um piv ˆ
o,
ent ˜
ao todos os seus outros elementos ter ˜
ao que ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte
como conseguimos isso.
Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com
insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma ind ´
ustria.
Marc
¸o 2008
Reginaldo J. Santos
Sistemas de Equac
oes Lineares
a
.
eliminac
ao:
Vamos procurar para piv ˆ
o da 1
a
.
linha um elemento n ˜
ao nulo da primeira coluna n ˜
ao nula (se for o caso,
podemos usar a troca de linhas para “traz ˆ
e-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da
primeira coluna ´
e igual a
ele ser ´
a o primeiro piv ˆ
o. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da
a
.
coluna, que ´
e a coluna do piv ˆ
o, para isto, adicionamos `
a 2
a
.
linha,
vezes a 1
a
.
linha e adicionamos
`
a 3
a
.
linha, tamb ´
em,
vezes a 1
a
.
linha.
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
a
.
eliminac
ao:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1
a
.
linha.
Escolhemos para piv ˆ
o um elemento
diferente de zero na 1
a
.
coluna n ˜
ao nula desta sub-matriz. Vamos escolher o elemento de posic
ao 2,2.
Como temos que “fazer” o piv ˆ
o igual a um, vamos multiplicar a 2
a
.
linha por
×
a.
linha
a
.
linha
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2
a
.
coluna, que ´
e a coluna do piv ˆ
o, para isto, soma-
mos `
a 1
a
.
linha,
vezes a 2
a
.
e somamos `
a 3
a
.
linha, tamb ´
em,
vezes a 2
a
.
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
a
.
eliminac
ao:
Marc
¸o 2008
Reginaldo J. Santos
Matrizes e Sistemas Lineares
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1
a
.
e a 2
a
.
linha. Escolhemos para piv ˆ
o um elemento
diferente de zero na 1
a
.
coluna n ˜
ao nula desta sub-matriz. Temos de escolher o elemento de posic
ao
3,3 e como temos de “fazer” o piv ˆ
o igual a
, vamos multiplicar a 3
a
.
linha por
15
×
a
.
linha
a
.
linha
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 3
a
.
coluna, que ´
e a coluna do piv ˆ
o, para isto, soma-
mos `
a 1
a
.
linha,
vezes a 3
a
.
e somamos `
a 2
a
.
linha,
vezes a 2
a
.
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
Portanto o sistema dado ´
e equivalente ao sistema
x
y
z
que possui soluc
ao geral dada por
X
x
y z
Portanto, foram vendidos
kg do produto X,
kg do produto Y e
kg do produto Z.
Introduc
ao `
a ´
Algebra Linear
Marc
¸o 2008
Matrizes e Sistemas Lineares
s ˜
ao escalonadas reduzidas, enquanto
e
s ˜
ao escalonadas, mas
n ˜
ao
s ˜
ao escalonadas reduzidas.
Este m ´
etodo de resoluc
ao de sistemas, que consiste em aplicar operac
oes elementares `
as linhas
da matriz aumentada at ´
e que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, ´
e conhecido
como
m ´
etodo de Gauss-Jordan
Exemplo 1.13.
Considere o seguinte sistema
x
y
z
y
z
y
z
A sua matriz aumentada ´
e
©
a
.
eliminac
ao:
Como o piv ˆ
o da 1
a
.
linha ´
e igual a
e os outros elementos da 1
a
.
coluna s ˜
ao iguais a zero, n ˜
ao h ´
a nada
o que fazer na 1
a
.
eliminac
ao.
©
Introduc
ao `
a ´
Algebra Linear
Marc
¸o 2008
Sistemas de Equac
oes Lineares
a
.
eliminac
ao:
Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1
a
.
linha.
Escolhemos para piv ˆ
o um elemento n ˜
ao
nulo da 1
a
.
coluna n ˜
ao nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posic
ao 2,2. Como ele ´
e igual a
, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da coluna do piv ˆ
o. Para isto somamos `
a 1
a
.
linha,
vezes a 2
a
.
e somamos `
a 3
a
.
linha,
vezes a 2
a
.
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
Portanto o sistema dado ´
e equivalente ao sistema
x
z
y
z
que
n ˜
ao
possui soluc
ao.
Em geral, um sistema linear n ˜
ao tem soluc
ao se, e somente se, a ´
ultima linha n ˜
ao nula da forma
escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma
[ 0
b
′ m
]
, com
b
′ m
Exemplo 1.14.
Considere o seguinte sistema
z
w
x
y
z
w
x
y
z
w
Marc
¸o 2008
Reginaldo J. Santos
Sistemas de Equac
oes Lineares
×
a
.
linha
a
.
linha
©
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2
a
.
coluna, que ´
e a coluna do piv ˆ
o, para isto, adici-
onamos `
a 1
a
.
linha a 2
a
.
e `
a 4
a
.
linha,
vezes a 2
a.
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
×
a
.
linha
a
.
linha
a
.
linha
Esta matriz ´
e escalonada reduzida. Portanto o sistema dado ´
e equivalente ao sistema seguinte
x
y
w
z
w
A matriz deste sistema possui duas colunas sem piv ˆ
os. As vari ´
aveis que n ˜
ao est ˜
ao associadas
a piv ˆ
os podem ser consideradas
vari ´
aveis livres
, isto ´
e, podem assumir valores arbitr ´
arios. Neste
exemplo as vari ´
aveis
y
e
w
n ˜
ao est ˜
ao associadas a piv ˆ
os e podem ser consideradas vari ´
aveis livres.
Sejam
w
e
y
. As vari ´
aveis associadas aos piv ˆ
os ter ˜
ao os seus valores dependentes das
vari ´
aveis livres,
z
x
. Assim, a soluc
ao geral do sistema ´
e
X
x y
z
w
para todos os valores de
e
reais.
Marc
¸o 2008
Reginaldo J. Santos
Matrizes e Sistemas Lineares
Em geral, se o sistema linear tiver soluc
ao e a forma escalonada reduzida da matriz aumentada
possuir colunas sem piv ˆ
os, as vari ´
aveis que
n ˜
ao
est ˜
ao associadas a piv ˆ
os podem ser consideradas
vari ´
aveis livres
, isto ´
e, podem assumir valores arbitr ´
arios. As vari ´
aveis associadas aos piv ˆ
os ter ˜
ao
os seus valores dependentes das vari ´
aveis livres.
Lembramos que o sistema linear n ˜
ao tem soluc
ao se a ´
ultima linha n ˜
ao nula da forma escalonada
reduzida da matriz aumentada do sistema for da forma
[ 0
b
′ m
]
, com
b
′ m
, como no
Exemplo
na p ´
agina
Observac
ao.
Para se encontrar a soluc
ao de um sistema linear n ˜
ao ´
e necess ´
ario transformar a
matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz est ´
a nesta forma, o
sistema associado ´
e o mais simples poss´
ıvel. Um outro m ´
etodo de resolver sistemas lineares consiste
em, atrav ´
es da aplicac
ao de operac
oes elementares `
a matriz aumentada do sistema, se chegar a uma
matriz que ´
e somente
escalonada
(isto ´
e, uma matriz que satisfaz as condic
oes
(a)
e
(c)
, mas n ˜
ao
necessariamente
(b)
e
(d)
da
Definic
ao
). Este m ´
etodo ´
e conhecido como
m ´
etodo de Gauss
O pr ´
oximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma soluc
ao n ˜
ao pode ter
um n ´
umero finito de soluc
oes.
Proposic
ao 1.3.
Sejam
A
uma matriz
m
×
n
e
B
uma matriz
m
×
. Se o sistema linear
A X
B
possui duas soluc
oes distintas
X
0
X
1
, ent ˜
ao ele tem infinitas soluc
oes.
Introduc
ao `
a ´
Algebra Linear
Marc
¸o 2008
Matrizes e Sistemas Lineares
1.2.
Matrizes Equivalentes por Linhas
Definic
ao 1.7.
Uma matriz
A
a
ij
m
×
n
e
equivalente por linhas
a uma matriz
B
b
ij
m
×
n
, se
B
pode ser obtida de
A
aplicando-se uma seq ¨
u ˆ
encia de operac
oes elementares sobre as suas linhas.
Exemplo 1.15.
Observando os
Exemplos
e
, vemos que as matrizes
s ˜
ao equivalentes por linhas `
as matrizes
respectivamente. Matrizes estas que s ˜
ao escalonadas reduzidas.
Cuidado:
elas s ˜
ao equivalentes por linhas,
n ˜
ao
s ˜
ao iguais!
A relac
ao “ser equivalente por linhas” satisfaz as seguintes propriedades, cuja verificac
ao deixa-
mos como exerc´
ıcio para o leitor:
Toda matriz ´
e equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade);
Introduc
ao `
a ´
Algebra Linear
Marc
¸o 2008
Sistemas de Equac
oes Lineares
Se
A
e equivalente por linhas a
B
, ent ˜
ao
B
e equivalente por linhas a
A
(simetria);
Se
A
e equivalente por linhas a
B
e
B
e equivalente por linhas a
C
, ent ˜
ao
A
e equivalente por
linhas a
C
(transitividade).
Toda
matriz
e
equivalente
por
linhas
a
uma
matriz
na
forma
escalonada
reduzida
e
a
demonstrac
ao, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular
das matrizes aumentadas dos
Exemplos
e
. No
Teorema
na p ´
agina
mostra-
mos que essa matriz escalonada reduzida ´
e a ´
unica matriz na forma escalonada reduzida equivalente
a
A
Marc
¸o 2008
Reginaldo J. Santos
Sistemas de Equac
oes Lineares
e chamado
sistema homog ˆ
eneo
. O sistema (
) pode ser escrito como
A X
Todo sistema
homog ˆ
eneo admite pelo menos a soluc
ao
X
x
1
x
2
...
x
n
chamada de
soluc
ao trivial
Portanto, todo sistema homog ˆ
eneo tem soluc
ao. Al ´
em disso ou tem somente a soluc
ao trivial ou tem
infinitas soluc
oes
Observac
ao.
Para resolver um sistema linear homog ˆ
eneo
A X
, basta escalonarmos a matriz
A
do sistema, j ´
a que sob a ac
ao de uma operac
ao elementar a coluna de zeros n ˜
ao ´
e alterada. Mas, ´
e
preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado `
a matriz resultante das operac
oes
elementares, para se levar em considerac
ao esta coluna de zeros que n ˜
ao vimos escrevendo.
Teorema 1.6.
Se
A
a
ij
m
×
n
e tal que
m < n
, ent ˜
ao o sistema homog ˆ
eneo
AX
tem soluc
ao
diferente da soluc
ao trivial, ou seja, todo sistema homog ˆ
eneo com menos equac
oes do que inc ´
ognitas
tem infinitas soluc
oes.
Marc
¸o 2008
Reginaldo J. Santos
Matrizes e Sistemas Lineares
Demonstrac
ao.
Como o sistema tem menos equac
oes do que inc ´
ognitas (
m < n
), o n ´
umero de
linhas n ˜
ao nulas
r
da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema tamb ´
em ´
e tal que
r < n
. Assim, temos
r
piv ˆ
os e
n
r
vari ´
aveis (inc ´
ognitas) livres, que podem assumir todos os valores
reais. Logo, o sistema admite soluc
ao n ˜
ao trivial e portanto infinitas soluc
oes.
O conjunto soluc
ao de um sistema linear homog ˆ
eneo satisfaz duas propriedades interessantes.
Estas propriedades ter ˜
ao um papel decisivo no estudo de subespac
¸os de
R
n
na
Sec
ao
na p ´
agina
Proposic
ao 1.7.
Seja
A
a
ij
m
×
n
(a)
Se
X
e
Y
s ˜
ao soluc
oes do sistema homog ˆ
eneo,
AX
, ent ˜
ao
X
Y
tamb ´
em o ´
e.
(b)
Se
X
e soluc
ao do sistema homog ˆ
eneo,
AX
, ent ˜
ao
αX
tamb ´
em o ´
e.
Demonstrac
ao.
(a)
Se
X
e
Y
s ˜
ao soluc
oes do sistema homog ˆ
eneo
AX
, ent ˜
ao
AX
e
AY
e portanto
X
Y
tamb ´
em ´
e soluc
ao pois,
A
X
Y
AX
AY
(b)
Se
X
e soluc
ao do sistema homog ˆ
eneo
AX
, ent ˜
ao
αX
tamb ´
em o ´
e, pois
A
αX
αAX
Introduc
ao `
a ´
Algebra Linear
Marc
¸o 2008
