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Sistema Terra-Lua-Sol: Fases e eclipses
Rosa M. Ros
União Astronómica Internacional, Universidade Politécnica da Catalunha
(Barcelona, Espanha)
Resumo
Neste trabalho são apresentados alguns modelos sobre as fases da Lua e os eclipses do Sol e da
Lua. Estes eclipses também são usado para determinar as distâncias e diâmetros no sistema
Terra-Lua-Sol.
Finalmente, também é explicada a origem das marés.
Objetivos
- Compreender porque é que a Lua possui fases.
- Compreender a causa dos eclipses da Lua.
- Compreender o motivo dos eclipses do Sol.
- Determinar distâncias e diâmetros do sistema Terra-Lua-Sol.
- Compreender a origem das marés
Posições relativas
O termo “eclipse” é utilizado para fenómenos muito distintos, no entanto em todos os casos
este fenómeno ocorre quando a posição relativa da Terra e da Lua (corpos opacos) obstrui a
passagem da luz solar.
Um eclipse Solar ocorre quando a Lua se interpõe entre a Terra e o Sol, ocultando-o. Este tipo
de eclipse acontece sempre na fase da Lua nova (figura 1).
Os eclipses da Lua ocorrem quando a Lua passa na sombra da Terra. Isto é, quando a Lua está
no lugar oposto ao Sol, portanto, os eclipses lunares acontecem sempre na fase de Lua cheia
(figura 1).
A Terra e a Lua movimentam-se ao longo de órbitas elípticas que não se encontram no mesmo
plano. A órbita da Lua está inclinada 5º relativamente ao plano da eclíptica (plano da órbita da
Terra em torno do Sol). Os dois planos cruzam-se numa reta denominada Linha dos Nodos. Os
eclipses acontecem quando a Lua está próxima da Linha dos Nodos. Se ambos os planos não
formassem um ângulo, os eclipses seriam bem mais frequentes do que apenas entre zero e três
vezes por ano.
Fig. 1: Os eclipses do Sol ocorrem quando a Lua está situada entre o Sol e a Terra (Lua nova). Os eclipses da Lua ocorrem quando a Lua cruza o cone de sombra da Terra (estando a Terra está situada entre o Sol e a Lua cheia).
Modelos de máscaras
Modelo da Face Oculta
A Lua tem dois movimentos: rotação e translação, com aproximadamente a mesma duração,
que é de cerca de quarto semanas. Esta é a razão pela qual vemos sempre a mesma metade da
superfície lunar, a partir da Terra.
Observaremos isto com um modelo simples. Começamos por colocar os voluntários que fazem
o papel de Terra e apenas um o de Lua, com uma mascara branca. Colocamos o voluntário
“Lua” em frente à “Terra”, olhando para esta, antes de iniciar o movimento. Ao mesmo tempo
que a Lua rodar 90° na sua órbita em torna da Terra também terá que rodar 90° sobre si mesma
e, portanto, continuará virada de frente para a Terra. Solicitaremos ao voluntário “Terra” se
ele/ela consegue ver a mesma face da Lua ou se consegue ver uma parte diferente. Repetimos
a mesma situação 4 vezes, movendo sempre 90°. É evidente que em cada 90°, que corresponde
a cada semana, a Terra vê sempre a mesma face da Lua, e a parte de trás da cabeça do voluntário
“Lua” nunca é visível.
Modelo de Fases da Lua
Para explicar as fases da Lua é melhor é usar um modelo com uma lanterna ou com um
retroprojetor (que representarão o Sol) e um mínimo 5 voluntários. Um deles estará colocado
no centro, representando a Terra, e os outros 4 posicionar-se-ão ao seu redor, de forma
equidistante, para simular as diferentes fases da Lua. Para tornar a experiência mais atrativa, é
boa ideia usar uma máscara branca que representará a Lua. Todos deverão ficar virados para a
Terra porque sabemos que a Lua tem sempre a mesma face virada para a Terra (figura 2).
Colocaremos a lanterna acesa atrás, e ligeiramente acima, de um dos voluntários que representa
a Lua e começaremos a visualizar as 4 fases (vistas desde a Terra, que está no centro). É muito
Reprodução das fases da Lua
Num lugar ensolarado, quando a Lua for visível, direcione a barra com a bolinha para a Lua
(figura 4). O observador deve estar posicionado atrás da bola que simula a Terra. A esfera da
“Lua” é vista do mesmo tamanho aparente que a Lua e com a mesma fase. Alterando a
orientação da barra é possível reproduzir as diferentes fases da Lua ao variar a iluminação que
é recebida do Sol. É necessário mover a “Lua” para conseguir todas as fases.
Fig. 4: Usando o modelo no pátio da escola.
A melhor forma de realizar esta atividade é no pátio, mas caso esteja nublado, também é
possível realizar usando um retroprojetor como fonte de luz.
Reprodução dos eclipses de Lua
A barra tem que ser segura de modo que a bolinha da Terra fique direcionada para o Sol (o ideal
é usar um retroprojetor para evitar olhar diretamente o Sol) e a sombra da Terra cubra a Lua
(figuras 5a e 5b), que é maior que a Lua. Deste modo é fácil visualizar um eclipse de Lua.
Fig. 5a e 5b: Simulação de um eclipse de Lua.
Fig. 6: Composição fotográfica de um eclipse de Lua. O nosso satélite cruzando o cone de sombra produzido pela Terra.
Reprodução dos eclipses de Sol
Aponte a barra de modo que a Lua fique direcionada para o Sol (o ideal é usar um retroprojetor
ou uma lanterna) e que a sombra da Lua seja projetada sobre a esfera terrestre. Desta forma é
possível visualizar um eclipse do Sol, e uma pequena sombra da Lua causa uma pequena
mancha sobre uma região da Terra (figura 7a, 7b e 8 ).
Fig. 7a e 7b: Simulação eclipse solar.
É difícil conseguir esta posição devido à inclinação que a barra deve ter ser muito precisa (esta
é a razão pela qual ocorrem menos eclipses de Sol que eclipses Lunares).
Modelo Sol-Lua
Com a finalidade de visualizar o sistema Sol-Terra-Lua, salientando a importância das
distâncias, vamos usar um novo modelo, considerando o ponto de vista terrestre do Sol e da
Lua. Para este modelo convidamos os estudantes a desenhar e pintar um grande Sol com
diâmetro de 220 cm (mais de 2 metros de diâmetro) num lençol. Com esta experiência
demonstramos que é possível cobrir este grande Sol apenas com uma pequena Lua de 0,6 cm
de diâmetro (menos de 1 cm de diâmetro).
É possível substituir a bola que simula a Lua por um buraco numa tábua de madeira para que
seja mais fácil de realizar a experiência.
Neste modelo, o Sol é colocado a 235 metros da Lua e o observador estará a 60 cm da Lua. Os
estudantes ficarão surpreendidos ao cobrir o grande Sol com esta pequena Lua. Esta relação de
um Sol 400 vezes maior que a Lua não é fácil de imaginar, pelo que é apropriado mostrar um
exemplo para compreender a magnitude das distâncias e o tamanho real no Universo. Todas
estas experiências e atividades ajudam a entender quais são as relações espaciais entre os corpos
celestes durante um eclipse solar. Este método é muito melhor do que ler uma série de números
num livro.
Diâmetro Terra 12 800 km^ 2.1 cm
Diâmetro Lua 3 500 km^0 ,6 cm
Distância Terra-Lua 384 000 km^ 60 cm
Diâmetro Sol 1 400 000 km^ 220 cm
Distância Terra-Sol 150 000 000 km^ 235 m Tabela 2: Distâncias e diâmetros do sistema Terra-Lua-Sol.
Fig. 10: Modelo de Sol. Fig. 11: Observando o Sol e a Lua no modelo.
Medindo o diâmetro do Sol
É possível medir o diâmetro do Sol de diversas formas. Aqui, apresentamos um método simples
usando uma câmara escura. É possível de realizar com uma caixa de sapatos ou com um cano
de papelão que serve de eixo central para o papel alumínio ou filme transparente de cozinha.
- Tampe uma das extremidades com papel semitransparente (se possível milimétrico) e a
outra com papel de alumínio, ou papel grosso, onde faremos um buraco com um alfinete
fino (figuras 1 2 e 13).
- Direcione a extremidade com o pequeno buraco para o Sol e olhe pelo outro extremo onde
está o papel semitransparente. Medimos o diâmetro, d , da imagem do Sol neste papel
milimétrico.
Fig. 1 2 e 13: Modelos de câmara escura.
Para calcular o diâmetro do Sol, basta considerar a figura 14, na qual aparecem dois triângulos
semelhantes
Fig. 14 : Problema geométrico subjacente.
Podemos estabelecer a relação:
l
d
L
D
Sendo possível calcular o diâmetro do Sol, D :
l
d L D
Em que TS é a distância da Terra ao Sol e TL é a distância da Terra à Lua. Então,
aproximadamente,
TS = 400 TL
(apesar de Aristarco ter deduzido TS = 19 TL).
Relação entre o raio da Lua e do Sol
A relação entre o diâmetro da Lua e do Sol deve ser semelhante à fórmula anteriormente obtida,
porque da Terra observam-se ambos os diâmetros iguais a 0,5º. Portanto, os dois raios verificam
RS = 400 RL
Relação entre a distância da Terra à Lua e o raio lunar ou entre a distância da
Terra ao Sol e o raio solar
Aristarco supôs que a órbita da Lua em torno da Terra seria circular. Como o diâmetro
observado da Lua é de 0,5º, o ângulo da trajetória (360°) da Lua em torno da Terra será 720
vezes o diâmetro. O comprimento deste percurso é 2π vezes a distância Terra-Lua, isto é:
2 RL 720 = 2π TL. Resolvendo, encontramos
R L
TL
e por um raciocínio similar,
S
R
TS
Esta relação é entre as distâncias à Terra, o raio lunar, o raio solar e o raio terrestre.
Relação entre as distâncias da Terra ao Sol e à Lua, o raio lunar, o raio solar e o
raio terrestre
Durante um eclipse da Lua, Aristarco observou que o tempo necessário para que a Lua cruze o
cone de sombra terrestre era o dobro do tempo necessário para que a superfície da Lua fosse
coberta (figura 16a e 16b). Portanto, deduziu que a sombra do diâmetro da Terra era o dobro
do diâmetro da Lua, ou seja, a relação de ambos os diâmetros ou raios era de 2:1. Atualmente
a informação é de que este valor é de 2,6:1.
Fig. 1 6 a: Medindo o cone de sombra. Fig. 1 6 b: Medindo o diâmetro da Lua.
Sumário final
Tendo em conta os resultados (figura 17)
Fig. 1 7 : Cone de sombra e posições relativas do sistema Terra-Lua-Sol.
deduzimos a seguinte relação:
L T RS
x TL TS
R
x TL
R
x + +
na qual x é uma variável auxiliar. Introduzindo nesta expressão as relações TS = 400 TL e RS =
400 RL, é possível eliminar x e, simplificando, obter,
RL = RT
que permite expressar todas as dimensões mencionadas anteriormente em função do raio da
Terra, assim
RS RT
= TS RT
= TL RT
Onde apenas é necessário substituir o raio do nosso planeta para obter todas as distâncias e raios
do sistema Terra-Lua-Sol.
Considere duas estacas colocadas perpendicularmente ao solo, em duas localidades da
superfície terrestre sobre o mesmo meridiano. As estacas devem apontar para o centro da Terra.
Normalmente é melhor usar um fio-de-prumo no qual é marcado um ponto do fio para poder
medir os comprimentos. É necessário medir a distância no fio-de-prumo, do solo até à marca,
e o comprimento da sombra, da base do prumo até a sombra da marca no fio-de-prumo.
Fig. 19: Situação de prumos e ângulos na experiência de Eratóstenes.
Consideramos que os raios solares são paralelos. Estes raios solares produzem duas sombras,
uma para cada estaca, ou fio-de-prumo. Medindo o comprimento do prumo e da sua sombra e
usando a definição de tangente, obtêm-se os ângulos α e β (figura 19). O ângulo central γ pode
ser calculado conferindo que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a π radianos. Então
deduzimos π = π − α + β + γ e simplificando
no qual α e β foram obtidos a partir da medição do prumo e da sua sombra.
Finalmente, estabelecendo uma proporcionalidade entre o ângulo γ, a longitude de seu arco, d ,
(determinado pela distância sobre o meridiano entre as duas localidades), e 2π radianos do
círculo meridiano e o seu comprimento 2πRT, obtemos,
R T d
Então conclui-se que:
d RT =
onde γ se obteve a partir da observação, em radianos, e d é a distância em km entre as duas
localidades. É possível achar d a partir de um bom mapa.
Na situação de Esratóstenes, o ângulo era zero e = , e com a distância entre Alexandria e
Siena, é obtido um bom resultado do raio terrestre.
Também é necessário mencionar que o objetivo desta atividade não é a exatidão dos resultados.
É esperado que os estudantes descubram que pensando e usando todas as possibilidades pode
produzir resultados surpreendentes.
Marés
As marés são a subida e descida do nível do mar causado pelos efeitos combinados da rotação
da Terra e das forças gravitacionais exercidas pela Lua e o Sol. A forma do fundo do mar e da
região costeira também têm influência nas marés, embora em menor escala. As marés são
produzidas num período de aproximadamente 12 horas e meia.
As marés acontecem, principalmente, pela atração entre a Lua e a Terra. As marés altas ocorrem
nas partes da Terra que estão de frente para a Lua e no lado oposto (figura 20). Nos pontos
intermediários ocorrem as marés baixas.
Fig. 20: Efeito das marés.
Fig. 21: Efeito, sobre a água, da aceleração diferenciada da Terra em diferentes áreas do oceano.
O fenómeno das marés já era conhecido na antiguidade, mas sua explicação apenas foi possível
após a descoberta da Lei da Gravidade Universal de Newton (1687).
2 d
m m F
T L g
A Lua exerce uma força gravitacional sobre a Terra. Quando há uma força gravitacional é
possível considerar que existe uma aceleração gravitacional, de acordo com a segunda lei de
Newton ( F = m.a ). Desta forma a aceleração da Lua sobre a Terra é dada por
ag = G
mL
d^2
No qual mL é a massa da Lua e d é a distância da Lua a um ponto da Terra.
- Fucili, L., García, B., Casali, G., “A scale model to study solar eclipses”,
Proceedings of 3rd EAAE Summer School, 107, 109, Barcelona, 1999.
- Lanciano, N., Strumenti per i giardino del cielo, Edizioni junior, Spaggiari Eds,
Roma, 2016.
- Reddy, M. P. M., Affholder, M. Descriptive physical oceanography: State of the
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- Ros, R.M., Lunar eclipses: Viewing and Calculating Activities, Proceedings of 9 th
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- Ros, R.M., Viñuales, E., Aristarchos’ Proportions, Proceedings of 3
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International Summer School , 55, 64, Barcelona, 1999.
- Ros, R.M., Viñuales, E., El mundo através de los astrónomos alejandrinos,
Astronomía, Astrofotografía y Astronáutica , 63 , 21. Lérida, 1993.
