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Sinais e Sistemas 1o^ teste Data: 3/11/2014. Duração: 1,5 horas
Número: Nome:
- Identi que este enunciado e a folha de respostas com o seu número e os seus primeiro e último nomes.
- Para as questões 1 a 7, indique as suas respostas, com cruzes, na tabela seguinte. Respostas erradas têm cotação negativa: uma resposta errada a uma questão de cotação C e n alternativas de resposta é cotada com −C/(n − 1).
- Resolva os problemas 1 a 3 na folha de respostas, justi cando todos os passos.
Respostas às questões 1 a 7 Questão 1 a b c d e f g h i Questão 2 a b c d e f Questão 3 a b c d e f g h i Questão 4 a b c d e f Questão 5 a b c d e f g h Questão 6 a b c d Questão 7 a b c d
Questão 1 (1.5 valores) Indique o valor da energia do sinal de tempo discreto x(n) = (1/4)nu(n − 1).
a) 0 b) 1 / 16 c) 1 / 15 d) 1 / 4 e) 1 f) 4 g) 15 h) 16 i) ∞
Questão 2 (1.5 valores) Considere o sistema com relação entradasaída y(t) = tx(t − 3). Indique a sua resposta ao impulso unitário. a) δ(t) b) 3 δ(t) c) δ(t − 3) d) 3 δ(t − 3) e) − 3 δ(t) f) − 3 δ(t − 3)
Questão 3 (1.5 valores) De um sistema S conhecem-se apenas as respostas y 1 (t), y 2 (t) e y 3 (t) às entradas x 1 (t), x 2 (t) e x 3 (t), sinais que são nulos excepto na região abaixo representada. A respeito de propriedades de S, que a rmação podemos garantir ser verdadeira?
x 1 (t)
0 1 2 3 t
1
x 2 (t)
0 1 2 3 t
1
x 3 (t)
0 1 2 3 t
1
y 1 (t)
0 1 2 3 t
1
2
y 2 (t)
0 1 2 3 t
1
2
y 3 (t)
0 1 2 3 t
1
2
a) Linear b) Invertível c) Causal d) Invariante no tempo e) Não linear f) Não invertível g) Não causal h) Variante no tempo i) Nenhuma das anteriores
Questão 4 (1.5 valores) Em seguida listam-se respostas ao impulso unitário de diversos SLITs de tempo discreto. Indique uma resposta que corresponda a um SLIT estável com memória.
a) h(n) = 3u(n) b) h(n) = u(−n) c) h(n) = 4δ(n) d) h(n) = δ(n − 1) e) h(n) = 3−n^ f) h(n) = 2|n|
Questão 5 (1.5 valores) O SLIT com resposta em frequência H(jω) = 6 − j 2 ω tem à entrada o sinal x(t) = cos(3t). Indique o sinal de saída.
a) y(t) = cos(3t) b) y(t) = 6
2 cos(3t) c) y(t) = cos(3t − π/4) d) y(t) = 6
2 cos(3t − π/4) e) y(t) = ej^3 t^ f) y(t) = 6
2 ej^3 t^ g) y(t) = e−jπ/^4 ej^3 t^ h) y(t) = 6
2 e−jπ/^4 ej^3 t
Questão 6 (1.5 valores) Indique a resposta em frequência do SLIT causal que se rege pela equação diferencial
d^2 y(t) dt^2 + 3^
dy(t) dt +^ y(t) = 2^
dx(t) dt + 3x(t)^. a) H(jω) = (^) ω (^2 2) + 3ω^ + 3ω + 1 b) H(jω) = (^1) −3 + ω 2 j+^2 ω j 3 ω c) H(jω) = ω
(^2) + 3ω + 1 2 ω + 3 d)^ H(jω) =
1 − ω^2 + j 3 ω 3 + j 2 ω
Questão 7 (1.5 valores) Indique a expressão da Transformada de Fourier do sinal de tempo discreto x(n) = δ(n + 3) + δ(n − 3).
a) X(ejω^ ) = e−j^3 ω^ b) X(ejω^ ) = 2 cos(3ω) c) X(ejω^ ) = 2 + ej^3 ω^ d) X(ejω^ ) = cos(3ω − 2)
Problema 1 (2.5 valores) Na resolução deste problema deverá justi car todos os passos.
O SLIT de resposta ao impulso unitário h(n) = 3u(n) tem à entrada o sinal x(n) =
2 se 0 ≤ n ≤ 5 − 1 se 6 ≤ n ≤ 10 0 outros valores de n. Determine e esboce o sinal de saída.
Problema 2 Na resolução deste problema deverá justi car todos os passos. Considere o ltro passa-baixo ideal, de tempo contínuo, com frequência de corte ωc = 3π. Determine, na forma de expressões tão simples quanto possível, as suas respostas aos seguintes sinais de entrada.
2.1) (2.5 valores) x 1 (t) = sin [11( t −t 3 − 3)].
2.2) (2.5 valores) x 2 (t) periódico conforme esboçado na gura seguinte.
0 t
x 2 (t)
(^14 )
6
Problema 3 (2 valores) Na resolução deste problema deverá justi car todos os passos.
SLIT
x(t) y(t) z(t)
s(t)
SLIT
SLIT
r(t)
Sabe-se que, qualquer que seja x(t), se obtem z(t) = y(t) e s(t) = x(t). Mostre que a energia de r(t) não excede a de x(t). Pode assumir que todos os sinais, incluindo as respostas dos SLITs ao impulso unitário, têm energia nita.
Questão 5 (1.5 valores) O SLIT com resposta em frequência H(jω) = 6 − j 3 ω tem à entrada o sinal x(t) = cos(2t). Indique o sinal de saída.
a) y(t) = ej^2 t^ b) y(t) = 6
2 ej^2 t^ c) y(t) = e−jπ/^4 ej^2 t^ d) y(t) = 6
2 e−jπ/^4 ej^2 t e) y(t) = cos(2t) f) y(t) = 6
2 cos(2t) g) y(t) = cos(2t − π/4) h) y(t) = 6
2 cos(2t − π/4)
Questão 6 (1.5 valores) Indique a resposta em frequência do SLIT causal que se rege pela equação diferencial
d^2 y(t) dt^2 + 2^
dy(t) dt +^ y(t) = 3^
dx(t) dt −^4 x(t)^. a) H(jω) =^1 −^ ω
(^2) + j 2 ω −4 + j 3 ω b)^ H(jω) =^
ω^2 + 2ω + 1 3 ω − 4 c)^ H(jω) =^
−4 + j 3 ω 1 − ω^2 + j 2 ω d)^ H(jω) =^
3 ω − 4 ω^2 + 2ω + 1
Questão 7 (1.5 valores) Indique a expressão da Transformada de Fourier do sinal de tempo discreto x(n) = δ(n + 1) + δ(n − 1).
a) X(ejω^ ) = 2 cos(ω) b) X(ejω^ ) = cos(ω − 2) c) X(ejω^ ) = e−jω^ d) X(ejω^ ) = 2 + ejω
Problema 1 (2.5 valores) Na resolução deste problema deverá justi car todos os passos.
O sinal x(n) = 2u(n) está na entrada do SLIT de resposta ao impulso unitário h(n) =
3 se 0 ≤ n ≤ 4 − 2 se 5 ≤ n ≤ 10 0 outros valores de n. Determine e esboce o sinal de saída.
Problema 2 Na resolução deste problema deverá justi car todos os passos. Considere o ltro passa-baixo ideal, de tempo contínuo, com frequência de corte ωc = 2. Determine, na forma de expressões tão simples quanto possível, as suas respostas aos seguintes sinais de entrada.
2.1) (2.5 valores) x 1 (t) = sin [ tπ −(t^ − 2 2)].
2.2) (2.5 valores) x 2 (t) periódico conforme esboçado na gura seguinte.
0 t
x 2 (t)
1 4
1
9
Problema 3 (2 valores) Na resolução deste problema deverá justi car todos os passos.
SLIT1 +
x(t) r(t) s(t)
z(t)
SLIT2 SLIT
y(t)
Sabe-se que, qualquer que seja x(t), se obtem z(t) = x(t) e s(t) = r(t). Mostre que a energia de y(t) não excede a de x(t). Pode assumir que todos os sinais, incluindo as respostas dos SLITs ao impulso unitário, têm energia nita.
