Equações Integrais e Álgebra de Lie em Sistemas Estocásticos e Equações Diferenciais, Notas de aula de Equações Diferenciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE FÍSICA

GRADUAÇÃO EM BACHARELADO EM FÍSICA

Simetrias de Equações Diferenciais Fracionárias

Eduardo Tremea Casali

Porto Alegre, RS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE FÍSICA

GRADUAÇÃO EM BACHARELADO EM FÍSICA

Simetrias de Equações Diferenciais Fracionárias

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao curso de

Bacharelado em Física, do Instituto de Física, da Universidade

Federal do Rio Grande do Sul, como um dos pré-requisitos para a

obtenção do grau de Bacharel em Física.

Eduardo Tremea Casali

Orientador: Pr. Dr. Sílvio Renato Dahmen

Porto Alegre

Capítulo 1

Introdução

Este trabalho está dividido em quatro partes: na primeira apresentamos de forma sucinta o cálculo fracionário, o qual trata de operadores lineares que ge- neralizam as operações de derivação e integração. Na segunda parte abordamos brevemente as aplicações destes operadores em sistemas estocásticos. Após isto introduziremos o método do prolongamento devido a Sophus Lie para obter gru- pos de simetrias de equações diferenciais e, na parte final do trabalho, vamos discutir a implementação deste método para equações diferenciais fracionárias. No primeiro capítulo “Operadores Fracionários” começamos com um exemplo para motivar o uso de operadores fracionários, seguido de uma breve introdução histórica, definições de integral e derivada fracionária assim como algumas de suas propriedades. No fim do capítulo retornaremos ao exemplo inicial para resolvê-lo utilizando o cálculo fracionário. O capítulo seguinte traz dois exemplos de equações fracionárias: As equações de Fokker-Planck fracionárias no tempo e no espaço, que surgem em sistemas estocásticos nos quais as probabilidades de transição não tem uma forma gaus- siana e decaem com uma lei de potência. No capítulo “Simetrias de Equações Diferenciais” o conceito de grupo de simetria é definido rigorosamente e o método do prolongamento de Sophus Lie é desenvolvido desde o início, dentro da linguagem diferencial-geométrica de equações diferenciais. No capítulo final discutiremos o único trabalho encontrado na literatura [1] que trata de grupos de simetrias de equações fracionárias.

Capítulo 2

Operadores Fracionários

2.1 Motivação

Suponha que temos uma represa, figura 2.1, e gostaríamos de controlar o fluxo de água que passa por uma abertura em sua superfície, ou seja, temos o fluxo água Q(h) que é uma função conhecida da altura h da abertura. Queremos saber qual a forma da abertura f (h) que nos fornece o fluxo desejado [2]. Colocaremos o plano yz transversal à velocidade do fluído e o eixo x apon- tando na mesma direção do fluxo tal que x = 0 denote a posição da abertura como na figura 2.2. Então, se y = f (z) nos dá a forma da abertura, o elemento de área é dA = f (z) dz, figura 2.3, e o fluxo por um elemento infinitesimal de área é dQ = V f (z) dz, onde V é a velocidade do fluído no ponto. Para calcular essa velocidade considere um elemento do fluido num ponto I com coordenadas (x 0 , y 0 , z 0 ), muito longe da abertura, e este mesmo elemento quando chega até à abertura no ponto II de coordenadas (0, y 0 , z 0 ). Pelo prin- cípio de Bernoulli temos que

PI + ρgz 0 +

ρV (^) I^2 = PII + ρgz 0 +

ρV (^) II^2. (2.1)

Como I está muito longe da abertura podemos tomar VI = 0, neste caso

PI − PII =

ρ 2

V II^2 , (2.2)

porém PI = Pat + ρg(h − z 0 ) e PII = Pat, onde h é a altura da superfície da água com relação ao fundo da abertura e Pat é a pressão atmosférica. Deste modo

VII =

2 g(h − z 0 )^1 /^2 (2.3)

e o elemento de fluxo dQ é

dQ = V dA = 2V f (z) dz = 2

2 g(h − z)^1 /^2 f (z) dz. (2.4)

y

z

h

− y 0 y

y = − f(z) y = f(z)

z dA dz

Figura 2.3: Elemento de área que deve ser entregado para obter o fluxo pela abertura [2].

Integrando do fundo da abertura até a altura da água e explorando a simetria de reflexão em torno do eixo z, obtemos

Q(h) =

∫ (^) h

0

2 g(h − z)^1 /^2 f (z) dz, (2.5)

ou seja, temos uma equação integral para f em termos do fluxo total Q conhe- cido. Esse operador integral tem uma conexão direta com cálculo fracionário de Riemann-Liouville que introduziremos abaixo. Retornaremos a esse problema para reinterpretá-lo e solucioná-lo à luz das ferramentas que introduziremos.

2.2 Resumo histórico

Quando nos deparamos em cálculo com expressões como d n dxn^ x

m (^) = m! (m−n)! x

m−n

ou d

n dxn^ e

ax (^) = aneax (^) definidas para m, n ∈ N é comum indagar se ainda fazem

sentido caso n, m sejam quaisquer reais ou complexos, ou ainda, se existe algo como uma meia derivada tal que a propriedade usual das derivadas, d

1 / 2 dx^1 /^2

d^1 /^2 dx^1 /^2 = d dx , continue válida. Foi à partir destas considerações que se iniciou o que é hoje conhecido por cálculo íntegro-diferencial fracionário que, apesar do nome, lida com generalizações de derivadas e integrais para quaisquer expoentes em C. A questão de expoentes diferentes de inteiros para derivadas vem logo após o desenvolvimento do cálculo por Newton e Leibniz e é levantada em corres- pondências entre o último e Bernoulli. A pergunta sobre o significado de d

1 / 2 dx^1 /^2 aparece específicamente em correpondências entre Leibniz e L’Hopital onde o primeiro conjectura sobre seu significado mas sem fazer um desenvolvimento maior destas idéias. Posteriormente Euler, Lagrange, Lacroix e Fourier, du-

rante seus estudos, mencionam possíveis generalizações para o conceito de de- rivada inclusive obtendo fórmulas para esses operadores fracionários em casos especiais[2, 3]. Apesar do interesse acadêmico em tais operadores eles ainda não haviam sido utilizados em aplicações até o estudo de Abel acerca do problema da tautócrona, que consistia em achar a forma da curva tal que o tempo de descida de uma partícula vinculada à esta curva fosse o mesmo, independente de sua posição inicial. Durante a resolução do problema Abel encontrou equações integrais do tipo k =

∫ (^) x 0 (x^ −^ t)

1 / (^2) f (t)dt, onde k é uma constante. O lado direito é um caso

particular de uma integral de ordem − 1 / 2 ; aplicando o operador de derivada de ordem 1 / 2 em ambos os lados temos a solução para a função f como a derivada de ordem 1 / 2 da constante k que, contrariamente à derivada comum, não é necessariamente zero. A solução deste problema fica em função de um certo operador de derivação aplicada à uma constante

f (t) =

π

d^1 / 2 dx^1 /^2

k. (2.6)

Após Abel, Liouville foi o primeiro a dedicar-se mais a fundo ao estudo do cálculo fracionário em vários trabalhos publicados em sucessão, onde deu duas definições de derivadas fracionárias; uma para funções do tipo∑ f (x) = ∞ n=0 cne anx; Re (an) > 0 e outra para polinômios;

Dμf (x) =

∑^ ∞

n=

cnaμneanx^ (2.7)

Dμx−a^ =

(−1)μΓ(a + μ) Γ(a)

x−a−μ, (2.8)

Liouville também foi o primeiro a utiliza-lás para resolver equações diferenciais oriundas de problemas físicos. Durante os anos seguintes outros matemáticos trabalharam com cálculo fraci- onário. Entre eles destacamos Riemann, cuja definição de integração fracionária é bem próxima da versão atual do operador de Riemann-Liouville e também He- aviside, que utilizava-se de um cálculo operacional pouco rigoroso, mas com bons resultados. O estudo de Heaviside sobre circuitos elétricos acabou por despertar o interesse dos matemáticos para a análise desses operadores generalizados. Mais recentemente houve um ressurgimento no interesse pelo cálculo fra- cionário devido ao aparecimento destes operadores na modelagem de alguns sistemas físicos com propriedades não-locais ou com memória temporal.

2.3 Definições

2.3.1 Integral fracionária

Começaremos dando uma motivação para a definição mais usual de integral fracionária investigando a integral iterada n vezes [2]:

esse operador tem a propriedade

0 D x− μ 0 D−x νf^ (x) =^0 D−x μ−νf^ (x)^ (2.16)

e obedeçe à uma fórmula de integração fracional por partes

∫ (^) b

a

φ(x)( 0 D x− μψ)(x) dx =

∫ (^) b

a

ψ(x)( (^) xD −b μφ)(x) dx. (2.17)

Por exemplo se f (t) = tν^ sua integral de ordem μ é

0 D t− μtν^ =^

Γ(ν + 1) Γ(ν + μ + 1) tν+μ, μ > 0 , ν > − 1 , t > 0. (2.18)

Outra integral fracionária comum na literatura é a de Weyl [3]

x W^ ∞−μ f^ (x) =^

Γ(μ)

x

(x − t)μ−^1 f (t) dt. (2.19)

A questão dos espaços onde esses operadores estão definidos é abordada rigorosamente em [3]. Por simplicidade podemos supor que todas as funções são de classe Cw, ou seja, analíticas e definidas num conjunto compacto, tanto para os operadores integrais como para os diferenciais.

2.3.2 Derivada fracionária

A partir da propriedade acima para integrais fracionárias podemos definir a derivada fracionária. Seja ν ∈ C; Re (ν) > 0 e n ∈ N tal que n − 1 < Re(ν) < n; se Re(ν) = n − μ, temos

0 D xν f^ (x) =^0 D nx 0 D −x μf^ (x).^ (2.20)

Identificando o operador 0 D xn como a derivada de ordem inteira n e sabendo a forma do operador 0 D x− μ, temos a definição da derivada fracionária de Riemann- Liouville

0 D xν f^ (x) =^

Γ(μ)

dn dxn

∫ (^) x

0

(x − t)μ−^1 f (t) dt, (2.21)

se f ∈ Cn^ temos uma a defnição alternativa obtida derivando a integral

0 D xν f^ (x) =^0 D xn 0 D −x μf^ (x) =

n∑− 1

k=

f (k)(0) Γ(μ − n + k + 1)

xμ−n+k^ (2.22)

Γ(μ + 1)

∫ (^) xμ

0

∂n ∂xn^

f (x − t^1 /μ) dt. (2.23)

Assim como no cálculo (^) ∂x∂

∫ (^) x 0 f^ (t) dt^ =^ f^ (x)^ e em geral^

∫ (^) x 0

∂ ∂t f^ (t) dt^6 =^ f^ (x), os operadores fracionários de derivação e integração não comutam. Esse fato é

expresso pelas relações abaixo

0 Dνx 0 D−x νf^ (x) =^ f^ (x)^ (2.24)

0 D−x ν 0 D xν f^ (x) =^ f^ (x)^ −

n∑− 1

k=

xν−k−^1 Γ(ν − k)

f (0)( nn−−νk −1). (2.25)

A fórmula de integração por partes continua válida para 0 < Re (ν) < 1 ∫ (^) b

a

φ(x)( 0 D νx ψ)(x) dx =

∫ (^) b

a

ψ(x)( (^) xD νb φ)(x) dx. (2.26)

Por exemplo, se f (t) = tμ^ sua derivada de ordem ν é

0 D νt tμ^ =^

Γ(μ + 1) Γ(μ − ν + 1)

tμ−ν^ , Re(ν) > 0 , μ > − 1 , t > 0. (2.27)

Outra definição útil é a de Riesz

∂α ∂|x|α^

f (x) = −

2 π

−∞

ekx

|k|α

−∞

e−kx

′ f (x′) dx′

dk (2.28)

que tem a seguinte relação com a derivada de Riemann-Liouville

( (^) ∞D αx + (^) x Dα∞)f (x) = −2 cos

πα 2

∂α ∂|x|α^

f (x) (2.29)

( (^) ∞D αx − (^) x Dα∞)f (x) = −2 sin

πα 2

∂x

∂α ∂|x|α^ f (x). (2.30)

Para uma introdução mais completa, na mesma linha da feita acima, sugere- se o livro [2] ou [4]. Os detalhes mais técnicos da teoria de operadores fracioná- rios podem ser encontrados em [3].

2.4 Motivação revisitada

Voltemos agora ao problema da determinação da forma da curva f (z) dado um fluxo Q(z) de água que desejamos que passe pela abertura. Havíamos obtido uma equação integral para f da forma

Q(h) =

∫ (^) h

0

2 g(h − z)^1 /^2 f (z) dz. (2.31)

Tendo agora em mãos as definições de integral e derivada fracionárias pode- mos interpretar esse operador como a integral de ordem 3 / 2 da função f

Q(h) = Γ(3/2)

2 g

∫ (^) h

0

(h − z)^1 /^2 f (z)dz =

2 gπ D 0 −h 3 /^2 f (h). (2.32)

Capítulo 3

Aplicações em Sistemas

Estocásticos

3.1 Aplicações

Uma das mais importantes ferramentas no estudo de sistemas estocásticos é a Equação de Fokker-Planck (EFP), que pode ser obtida a partir da equação de Langevin (3.1) quando se faz a suposição de que a distribuição de probabilidade correspondente ao termo de ruído seja gaussiana.

d dt

x = f (x(t), t) + g(x(t), t)ξ(t) (3.1)

Onde ξ(t) é o termo de ruído branco, g(x(t), t) é o termo de ruído multiplicativo e f (x(t), t) pode ser interpretado como um termo de força externa [5]. Alguns autores preferem a equação de Langevin por considerá-la mais trans- parente do ponto de vista físico, uma vez que se trata de uma equação para a evolução temporal da variável sujeita a um ruído. A equação de Fokker-Planck (3.2), por outro lado, é uma equação determinística para a distribuição de pro- babilidade da variável em questão. A escolha da distribuição de probabilidade do ruído é motivada pelo teorema do limite central, que nos assegura que sob certas condições a distribuição da média de variáveis aleatórias assume a forma gaussiana.

∂ ∂t

P (x, t) = −

∂x

f (x, t)P (x, t) + D

∂^2

∂x^2

g^2 (x, t)P (x, t) (3.2)

Quando consideramos modelos estatísticos cuja probabilidade de transição não é necessariamente gaussiana os operadores de ordem fracionária aparecem naturalmente, mais especificamente, quando a probabilidade de transição per- tence a uma classe de distribuições chamada distribuições de Lévy α-estáveis. Estas distribuições são caracterizadas por decaírem com uma lei de potência e, portanto, seus momentos maiores não são finitos. Apesar de não existirem

formas fechadas para essas distribuições exceto em casos especiais, existe uma forma fechada para sua função característica [5]:

Sk(α, β, γ, δ) = exp[ikδ − γα|k|α(1 − iβsgn(k)Ξ)] (3.3)

Ξ =

tan(πα/2) se γ 6 = 1 − (^2) π log(|t|) se γ = 1

Nesta expressão α ∈ (0, 2] é o parâmetro de estabilidade, β ∈ [− 1 , 1] assime- tria, γ > 0 escala e δ ∈ R localização.

3.1.1 EFP fracionária no espaço

Partindo deste modo da mesma equação de Langevin, mas supondo que a função característica da distribuição de probabilidade do ruído corresponda a uma dis- tribuição de Lévy Sk(α, β, γ, δ), obtém-se uma equação íntegro-diferencial para a probabilidade que generaliza a de Fokker-Planck e reduz-se a esta no limite apropriado [5]. Utilizando a definição de Riemann-Liouville para operadores fracionários a equação obtida pode ser interpretada em termos do cálculo fracionário:

∂t

P (t) = −

∂x

f (x, t)P (x, t) −

γ 2 cos(πα/2) × [(1 + β) (^) ∞D αx + (1 − β) (^) xD α∞]gα(x, t)P (x, t) (3.4)

No limite α → 2 a equação acima reduz-se à de Fokker-Planck, pois a distri- buição de Levy, para este caso, coincide com uma gaussiana. É mais fácil tomar esse limite expressando a equação acima em termos da derivada de Riesz:

∂t

P (t) = −

∂x

f (x, t)P (x, t) + γ

∂α ∂|x|α^

gα(x, t)P (x, t)

• γβ tan πα 2

∂x

∂α−^1 ∂|x|α−^1

gα(x, t)P (x, t) (3.5)

Neste caso é fácil constatar que quando α → 2 o segundo termo à direita reduz-se à uma derivada de segunda ordem e o terceiro termo anula-se, dado que tan π = 0. Recupera-se assim a EFP tradicional.

3.1.2 EFP fracionária no tempo

A EFP fracionária no tempo pode ser obtida de várias maneiras equivalen- tes, uma delas é através de um modelo de random walk com tempo contínuo (CTRW), onde a probabilidade de transição no tempo tem o comportamento de uma distribuição de Lévy para tempos muito grandes. A equação obtida tem a forma:

Capítulo 4

Simetrias de Equações

Diferenciais

4.1 Grupos de Simetrias

Primeiro definiremos o que queremos dizer quando falamos que uma função admite um grupo de simetria. Trataremos aqui apenas de simetrias contínuas excluíndo por exemplo reflexões que, embora importantes, não podem ser tra- tadas pelo método infinitesimal que será desenvolvido. Um conjunto G junto com uma função ( · ) : G × G → G chamada de mul- tiplicação é um grupo se e somente se a função obedeçe aos seguintes axiomas:

Associatividade. Se g, k, h ∈ G então

g · (h · k) = (g · h) · k. (4.1)

Identidade. Existe um elemento e ∈ G chamado identidade, com a proprie- dade que ∀g ∈ G e · g = g = g · e. (4.2) Inversas. Para cada g ∈ G existe uma inversa, g−^1 , com a propriedade

g · g−^1 = e = g−^1 · g. (4.3)

Como estamos interessados em simetrias contínuas é natural que trabalhemos com Grupos de Lie, que foram introduzidos por Sophus Lie quando este estudava simetrias de equações diferenciais. Antes de definir grupos de Lie precisamos do conceito de variedade diferenciável. Uma variedade Ck-diferenciável de dimensão m é um conjunto M junto com uma coleção contável de subconjuntos Uα ⊂ M e homeomorfismos χα : Uα → Vα em subconjuntos abertos e conexos Vα ⊂ Rm, tal que:

Os subconjuntos Uα formam uma cobertura de M ⋃

α

Uα = M. (4.4)

Na intersecção de dois subconjuntos Uα ∩ Uβ a composta

χβ ◦ χ− α 1 : χα(Uα ∩ Uβ ) → χβ (Uα ∩ Uβ ) (4.5)

é uma função de classe Ck^ com inversa de classe Ck. Apesar de uma variedade ser um conjunto mais geral que o Rm^ podemos trabalhar localmente como se estivéssemos neste; ao identificarmos um ponto p na variedade com sua coordenada x = χα(p) podemos fazer uso das ferra- mentas do cálculo em Rm^ sem que seja necessario reformulá-las para espaços mais abstratos. Por simplicidade assumiremos que todas as variedades com que trabalharemos são conexas e infinitamente diferenciáveis.

4.1.1 Grupos de Lie

Um grupo de Lie de r parâmetros é um grupo G que possui uma estrutura de variedade diferencial de dimensão r de forma que, tanto o mapa de multiplicação, m(g, h) = g · h, quanto o mapa de inversa, i(g) = g−^1 , são funções diferenciáveis entre variedades. Por simplicidade trabalharemos com grupos de Lie locais, ou seja, definidos apenas em abertos conexos V ⊂ Rr^ que contenham a origem. Em geral grupos de Lie aparecem como grupos de transformações de uma va- riedade, como por exemplo o grupo de rotações num plano, denominado SO(2), ou o grupo de Poincaré, que é o grupo de isometrias do espaço de Minkowski. Portanto definiremos como um grupo de Lie age localmente sobre uma varie- dade. Seja M uma variedade diferenciável. Um grupo local de transformações agindo em M é dado por um grupo de Lie local, um subconjunto aberto U, com {e} × M ⊂ U ⊂ G × M (4.6)

o domínio da definição da ação do grupo, e um mapa Ψ : U → M de classe C∞, tal que: Se (h, x) ∈ U, (g, Ψ(h, x)) ∈ U, e (g · h, x) ∈ U, então

Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g · h, x). (4.7)

Para todo x ∈ M temos Ψ(e, x) = x. (4.8) Se (g, x) ∈ U

(g−^1 , Ψ(g, x)) ∈ U (4.9) Ψ(g−^1 , Ψ(g, x)) = x (4.10)

Existe um correspondência unívoca entre subespaços unidimensionais de g e subgrupos conexos de um parâmetro de G que é dado pelo fluxo gerado pelos elementos de g à partir da identidade. Para ǫ, δ ∈ R

gǫ = exp(ǫv)e ≡ exp(ǫv) (4.16)

com as propriedades; gǫ+δ = gǫ · gδ , g 0 = e e g− ǫ 1 = g−ǫ, sendo estes subgrupos isomorfos a R, ou SO(2). Dado g ∈ G suficientemente perto da origem ele pode ser escrito como

g = exp(ǫ^1 v 1 ) exp(ǫ^2 v 2 ) · · · exp(ǫr^ vr ) (4.17)

onde {v 1 , v 2 , ..., vr } é uma base para a álgebra de Lie e ǫj^ ∈ R. Com isso a invariância frente à um elemento do grupo se reduz à invariância frente aos seus subgrupos de um parâmetro. Os campos vetoriais que geram a álgebra de Lie também são chamados de geradores infinitesimais do grupo G, pois podemos reconstruir o grupo à partir deles a menos de aspectos globais. Como exemplo podemos tomar os grupos SO(3) e SU(2), que possuem os mesmos 3 geradores, que em quântica são identificados com os operadores de momento angular, com as mesmas relações dadas pelos colchetes de Lie. Ambos possuem assim a mesma álgebra, mas são grupos distintos globalmente; enquanto o SU(2) é simplesmente conexo, o SO(3) não o é. Se g for de dimensão finita então existe um único grupo de Lie G∗^ conexo e simplesmente conexo que tem g como sua álgebra de Lie. Se G for um outro grupo grupo de Lie conexo com a mesma álgebra de Lie g então existe um homomorfismo π : G∗^ → G, assim G∗^ e G são localmente isomorfos; G∗^ é chamado de grupo de recobrimento de G. No exemplo anterior SU(2) é o grupo de recobrimento de SO(3) e o mapa π é um homomorfismo biunívoco. Voltando para a ação do grupo de transformações local G sobre uma vari- edade M , existe uma ação infinitesimal da álgebra de Lie deste grupo sobre a variedade se v ∈ g podemos definir ψ : g → T M , tal que ψ(v) é um campo vetorial em M cujo fluxo coincide com a ação do subgrupo de um parâmetro exp(ǫv) de G em M. Então ∀x ∈ M ,

ψ(v)|x =

d dǫ

ǫ=

Ψ(exp(ǫv), x) = dΨx(v|e) (4.18)

com Ψx(g) ≡ Ψ(g, x). ψ nos dá um homomorfismo entre g e a álgebra de campos vetoriais em M [ψ(v), ψ(w)] = ψ([v, w]); v, w ∈ g. (4.19) Por simplicidade vamos denotar os campos induzidos na variedade pela ação do grupo ψ(v) apenas por v. A ação dos subgrupos de um parâmetro sobre M pode ser obtida atráves do fluxo do seu gerador v utilizando o mapa exponencial apresentado acima que,

em coordenadas locais, pode ser expresso por uma séria de potências conhecida como série de Lie. Seja x ∈ M g ∈ G o fluxo

Ψ(g, x) = exp(ǫv)x =

∑^ ∞

k=

ǫk k!

vk(x) (4.20)

define a ação do subgrupo G onde x é interpretada como a função coordenada sobre a variedade e v(x) é a ação de derivação dos vetores no espaço de funções sobre a variedade.

4.2 Método do Prolongamento

4.2.1 Invariância de soluções

Seja S um sistema de equações diferenciais com p variáveis independentes x = (x^1 , x^1 , ..., xp), x ∈ X e q variáveis dependentes u = (u^1 , u^2 , ...uq^ ), u ∈ U. Um grupo de simetria de S é um grupo de Lie local de transformações tal que, se f é uma solução de S então f˜ = g • f com g ∈ G também é uma solução do sistema de equações diferenciais. Vamos definir o que está implícito na expressão f^ ˜ = g • f. Começamos por indentificar f com seu gráfico; seja Ω ∈ X o domínio de definição de f Γf = {(x, f (x) : x ∈ Ω)} ⊂ X × U, (4.21)

se Γf ∈ Mg , onde Mg é o subconjunto onde a ação de g está definida, então

g • Γf = {(˜x, ˜u) = g • (x, u) : (x, u ∈ Γf )}. (4.22)

Considerando elementos suficientemente perto da identidade g • Γf = Γ (^) f˜

será o gráfico de alguma função unívoca ˜u = f˜ (x˜). Para obter o critério infinitesimal de invariância de equações diferenciais vamos reformular a noção de sistema de equações diferenciais de forma mais geométrica, prolongando o espaço base X × U para um espaço que contenha as derivadas. Dada uma função real de classe C∞, f : X → U , com q componentes f α(x) = f α(x^1 , x^2 , ..., xp) e de p variáveis, existe pk ≡

(p+k− 1 k

derivadas parciais de ordem k de cada componente

∂J f α(x) =

∂kf α(x) ∂xj^1 ∂xj^2 · · · ∂xjk

onde J = (j 1 , j 2 , .., jk) é uma k-tupla de inteiros não ordenados. Existe então no total qpk derivadas de ordem k. Definimos Uk ≡ Rqpk^ com coordenadas uαJ representando as derivadas de todas as funções f de ordem k, então U (n)^ = U × U 1 × · · · × Un é o espaço de todas as derivadas até a ordem n. Um ponto em U (n)^ será denotado u(n)^ com q

(p+n n

≡ qp(n)^ coordenadas uαJ.