Serie de Fourier slide completo, Slides de Equações Diferenciais

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Francisco Carlos Peres

(bacharelando de Matemática da UNISUL)

FOURIER,

um matemático fora de série

Curitiba, PR – Dezembro/

APRESENTAÇÃO

Inicialmente este texto pretendia ser apenas um auxiliar e um complemento para o estudo da Seção

4 (Séries de Fourier) e Seção 5 (Extensão periódica de uma série de Fourier) da Unidade 4 do livro

didático “Sequências Numéricas e Séries” , de autoria dos professores Carlos H. Hobold e Paulo J.

S. dos Santos (Unisul Virtual, 2011), utilizado na disciplina “Sequências e Séries” do bacharelado de

Matemática EAD, da UNISUL. Mas, na medida em que ia sendo escrito, seu escopo se ampliou para

uma apostila mais completa sobre o assunto, por dois motivos: (a) suprir uma falha na literatura em

português impressa e na internet de um texto que incluísse história e contexto do desenvolvimento

das Séries de Fourier, ao mesmo tempo em que explicasse passo-a-passo os pontos principais,

através de muitos exemplos; e (b) a satisfação e diversão cada vez maiores do Autor, na medida em

que avançava em seus estudos e pesquisas e percebia que compreendia cada vez melhor o assunto.

É expectativa do Autor que a leitura desta apostila seja tão prazerosa quanto foi sua redação, sem

esquecer que – por ser um texto de matemática – a “leitura” deve incluir a repetição manual dos

cálculos apresentados pelo Autor e a realização, em paralelo, de exercícios apresentados em outros

livros-texto.

Esta apostila não tem a pretensão de ser perfeita, podendo eventualmente conter erros de digitação

e/ou outros (afinal, apesar dos cuidados tomados, o Autor é apenas um estudante). Como a própria

Matemática, ela pode ser melhorada com a colaboração daqueles genuinamente interessados (e

um pouco esforçados). Por isso comentários e críticas, sugestões e correções serão bem vindos,

podendo ser endereçadas ao Autor através dos e-mails francperes@uol.com.br ou

xperes@labhoro.com.br

O Autor

1. A França no início do século XIX – Revolução Francesa,

Napoleão e grandes avanços na Matemática – Fourier, o

persistente

Pretender estudar Matemática como se ela surgisse do ar, ignorando o contexto histórico,

geográfico e humano que cerca as grandes descobertas, é uma extrema injustiça com esta nobre

ciência e principalmente com os seus estudantes.

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), o inventor/descobridor das assim chamadas Séries de

Fourier, foi um homem do seu tempo [seu sobrenome pronuncia-se furriê ]. Tinha 20 anos quando

irrompeu a Revolução Francesa em 1789, sendo então professor de matemática na sua cidade natal

de Auxerre. Mesmo fora de Paris, envolveu-se profundamente na política, apoiando os

revolucionários com suas habilidades retóricas. Mas a crescente violência, como o uso da guilhotina

para decapitar adversários políticos, e a divisão dos revolucionários em inúmeras facções que

lutavam entre si, desgostaram Fourier. Ele chegou a ser preso em 1794, porém foi libertado em

seguida e nomeado em 1795 para a École Normale de Paris (instituição criada pela nova República

para ensinar os professores franceses), onde conheceu e teve como mestres Lagrange , Laplace e

Gaspard Monge – entre os maiores gênios da física e da matemática da época. Em 1798, quando

liderou uma expedição militar ao Egito (1798 – 1801), o então general Napoleão Bonaparte levou

consigo um grupo de cientistas e estudiosos para pesquisarem as riquezas históricas egípcias.

Fourier estava entre eles, tornando-se secretário do Instituto do Egito, criado por Napoleão no

Cairo, do qual o matemático Monge foi o primeiro presidente. No retorno da expedição à Europa,

após muitas lutas políticas, Napoleão torna-se Imperador da França (período 1804 – 1814), e nomeia

seu amigo Fourier como prefeito do Departamento de Isère, cargo equivalente a governador da

província. A habilidade política de Fourier era tão grande que, mesmo no período pós-napoleônico,

foi nomeado prefeito da cidade de Grenoble, segunda maior cidade da região sudeste da França,

depois de Lyon, e capital do departamento de Isère. Segundo uma biografia escrita por François

Arago (1857), o falecimento de Fourier ocorreu em maio de 1830, em Paris, aos 62 anos, devido às

suas frágeis condições de saúde agravadas pela queda de uma escada.

Esboço de Fourier, 1820 (fonte: Wikipédia)

Busto de Fourier, em Grenoble

Enquanto políticos, militares e homens de negócio desperdiçavam seu tempo e energias em

assuntos ordinários tais como guerras, revoluções e corrida atrás de dinheiro – que fazem as

manchetes dos jornais no dia, e os capítulos de livros de história durante alguns poucos séculos –

outro grupo de homens com interesses e ideais mais nobres, cientistas e filósofos, dedicavam-se a

enfrentar e resolver os verdadeiros problemas e desafios que afligem a Humanidade, gravando seus

nomes por infindáveis milênios do porvir, enquanto houver estudantes que refaçam seus passos

para aprender e preparar novos avanços na fronteira do conhecimento.

A principal obra de Fourier não foi a drenagem de pântanos em sua província, nem a construção de

estradas ligando sua cidade à Paris. Estas obras tiveram sua utilidade transitória. Entretanto, o nome

de Fourier ficou realmente gravado para a posteridade por causa de seus trabalhos intelectuais

relativos ao CALOR, um dos grandes desafios que a Física enfrentava na virada do século XIX, nos

quais ele desenvolveu a ideia hoje consagrada das Séries de Fourier.

“O calor, como a gravidade, penetra todas as substâncias do universo, sua radiação

ocupa todas as partes do espaço. O objeto de nosso trabalho é determinar as leis

matemáticas que esse fenômeno obedece. A teoria do calor constituirá, portanto, um

dos mais importantes ramos da Física geral.” – JOSEPH FOURIER in Teoria Analítica

do Calor

Em 1807 Fourier apresentou o trabalho “Sobre a propagação do calor nos corpos sólidos” à

Academia de Ciências de Paris, no qual já afirmava que uma função arbitrária podia ser expandida

em uma série trigonométrica, opinião contrária à do grande Euler (1707 – 1783). Infelizmente, a

banca examinadora constituída por Lagrange, Laplace, Monge e Lacroix concordava com Euler e

recusou o texto, criticando-o por falta de rigor matemático. Mais tarde, a Academia lançou um

concurso sobre a propagação de calor nos sólidos para o prêmio de Matemática de 1811. Fourier

reapresentou seu trabalho anterior, acrescido de novos textos mais recentes, e ganhou o concurso,

porém houve algumas ressalvas dos examinadores que terminaram impedindo a publicação do

texto. Foi só em 1817 que o persistente Fourier foi eleito para a Academia de Ciências, e em 1822

conseguiu publicar a que é considerada hoje sua obra prima e um dos grandes clássicos da

matemática e da física: “Teoria Analítica do Calor” (Théorie analytique de la chaleur).

“Um viajante que se recuse a passar por uma ponte até que tenha pessoalmente

testado a solidez de cada parte da ponte provavelmente não irá longe; algum risco

deve ser assumido, mesmo em matemática.” – HORACE LAMB (1849 – 1934),

matemático inglês

Uma excelente apresentação on-line com uma introdução histórica e matemática à Série de Fourier

pode ser obtida em https://www.youtube.com/watch?v=JFdBfemyXRU Trata-se da aula nº 11 do

curso de Cálculo IV do Instituto de Matemática e Estatística da USP, com o professor Cláudio Possani.

tan ( π/4 ) = tan ( 5 π/4 ) = tan ( 9 π/4 ) = tan ( 13 π/4 ) = 1

Figura 2.1 - Gráfico de f (x) = tan x

Exemplo 2. 2 : Para a função f (x) = sen x o período é T = 2 π então

sen (x) = sen (x + 2 π) = sen (x + 4 π) = sen (x + 6 π)

No caso particular em que x = π/ 2 temos

sen (π/2) = sen ( 5 π/2) = sen ( 9 π/2) = sen ( 13 π/2) = 1

Figura 2.2 - Gráfico de f (x) = sen x

Exemplo 2.3: Para a função f (x) = 2, - π < x < 0 e f (x) = x, 0 < x < π o período é T = 2 π

Esse tipo de função é bastante comum em Engenharia Elétrica e Engenharia Mecânica.

Figura 2. 3 - Gráfico de f (x) =

a) f (x) = 2, - π < x < 0

b) f (x) = x, 0 < x < π

Exemplo 2. 4 : A função f (x) = x é uma

função não-periódica definida em toda a

reta R, e seu gráfico é:

Figura 2.4.1 - Gráfico de f (x) = x

Entretanto, é muito importante observar que a função periódica f (x) = x, 0 < x < 1 (com período

T = 1) é outra função diferente, também definida em toda a reta R, cujo gráfico está abaixo:

Neste segundo caso temos uma

função periódica porque os valores

de f (x) se repetem a cada

período, e a função possui um

ponto mínimo e um ponto máximo

(o que não ocorre com a função

original não periódica).

Figura 2.4.2 - Gráfico de f (x) = x, 0 < x < 1

Exemplo 2. 5 : A função f (x) = x

2

é uma função

não-periódica definida em toda a reta R, e seu

gráfico é

Figura 2.5.1 - Gráfico de f (x) = x

2

Entretanto, a função periódica f (x) = x

2

, - π < x < π (com período T = 2 π) é outra função

diferente, também definida em toda a reta R, cujo gráfico está abaixo:

Esta segunda função, definida como periódica, possui pontos

de máximo e de mínimo (enquanto a função original possui

apenas ponto de mínimo, sem ponto de máximo).

Figura 2.5.2 - Gráfico de f (x) = x

2

, - π < x < π

valor da função f (x) em toda a reta real, desde que f (x) seja uma função periódica, e por serem

baseadas nas funções seno e cosseno podem ser diferenciadas infinitas vezes.

𝑎 0

2

𝑛

cos(𝑛𝑥)

∞

𝑛= 1

𝑛

∞

𝑛= 1

=

𝑎

0

2

+ ∑ [ 𝑎

𝑛

cos(𝑛𝑥)

∞

𝑛= 1

𝑛

𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]

Como os termos desta série são funções trigonométricas periódicas com período 2π, a soma S (x)

será também uma função períodica de período 2π. Por isso a Série de Fourier é estudada num

intervalo de comprimento 2π, como por exemplo (-π, π) ou (0, 2π) ou (-2π, 0). Depois veremos o

caso geral de um intervalo de amplitude 2L.

Para que uma função f (x) qualquer possa ser aproximada pela Série de Fourier, precisamos

determinar o valor dos coeficientes.

3.1) Determinando a

Partimos de f (x) =

𝑎

0

2

[ 𝑎

𝑛

cos(𝑛𝑥)

∞

𝑛= 1

𝑛

𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]

E integramos os dois lados entre (-π, π)

𝜋

−𝜋

1

2

0

𝜋

−𝜋

+ ∑ [

𝑛

cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

∞

𝑛= 1

𝑛

𝜋

−𝜋

𝑑𝑥 ]

Resolvendo primeiro as duas parcelas entre colchetes, temos

𝑛

cos

𝜋

−𝜋

𝑛

∫ cos

𝜋

−𝜋

1

𝑛

−𝜋

𝜋

1

𝑛

[sen (n𝜋) – sen (-nπ)] =

1

𝑛

[ 0 – 0 ] = 0 → 𝑎

𝑛

𝑛

𝜋

−𝜋

𝑛

𝜋

−𝜋

1

𝑛

−𝜋

𝜋

− 1

𝑛

[cos (nπ) – cos (-nπ)] =

− 1

𝑛

[ 1 – 1 ] = 0 → 𝑏

𝑛

Retornando à expressão original temos agora

1

2

0

𝜋

−𝜋

1

2

0

𝜋

−𝜋

1

2

0

[π – (-π)] =

1

2

0

[ 2 π] = 𝑎

0

Então, se

𝜋

−𝜋

0

π multiplica-se ambos os lados por

1

𝜋

e isola-se 𝑎

0

assim

𝑎

=

∫ 𝑓

( 𝑥

) 𝑑𝑥

3.2 Determinando a

n

Partimos novamente de f (x) =

𝑎 0

2

[ 𝑎

𝑛

cos(𝑛𝑥)

∞

𝑛= 1

𝑛

𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]

Multiplicamos ambos os lados por cos (px) , sendo p um número fixo dado, e integramos em (-π, π)

𝜋

−𝜋

=

1

2

0

cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

[ ∫ 𝑎

𝑛

cos

cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

∞

𝑛= 1

𝑛

cos (𝑝𝑥)

𝜋

−𝜋

𝑑𝑥 ]

A primeira integral que contem 𝑎

0

é igual a zero, conforme demonstrado na seção 3.

1

2

0

cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

=

1

2

0

cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

=

1

2

0

1

𝑛

−𝜋

𝜋

=

1

2

0

. 0 = 0

A segunda integral que contem a

n

é igual a zero, desde que n ≠ p ( n e p inteiros) porque

cos(𝑛𝑥) cos(𝑝𝑥) =

1

2

[cos(n+p)x + cos(n – p)x] (esta é uma das integrais de Euler) então

𝑛

cos

cos(𝑝𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑛

1

2

∫ [ cos

𝑥 + cos(𝑛 − 𝑝)𝑥] 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑎

𝑛

2

[

cos(𝑛 + 𝑝)𝑥 𝑑𝑥 +

𝜋

−𝜋

cos(𝑛 − 𝑝)𝑥 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

]

𝑎 𝑛

2

1

𝑛+𝑝

−𝜋

𝜋

1

𝑛−𝑝

−𝜋

𝜋

Como sen kπ = 0 e sen - kπ = 0 sendo k = (n+p) ou k = (n-p) temos que esta integral vale zero.

A terceira integral que contem b

n

é igual a zero, tanto faz se n ≠ p ou n = p porque

𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) cos (𝑝𝑥) =

1

2

[sen(n+p)x + sen(n – p)x] (esta é outra das integrais de Euler) então

𝑛

cos (𝑝𝑥)

𝜋

−𝜋

𝑛

1

2

[ ∫ 𝑠𝑒𝑛

𝜋

−𝜋

∫ sen

𝜋

−𝜋

] }

𝑛

1

2

[−

1

𝑛+𝑝

−𝜋

𝜋

1

𝑛−𝑝

−𝜋

𝜋

] }

cos (n+p)π e cos (n – p)π resultarão sempre +1 e - 1, ou vice versa, e quando adicionados

resultarão em zero. Por isso a expressão da terceira integral vale zero.

cos (n+p)π e cos (n – p)π resultarão sempre +1 e - 1, ou vice versa, e quando adicionados

resultarão em zero. Por isso a expressão da segunda integral vale zero.

A terceira integral que contem b

n

é igual a zero, no caso de n ≠ p ( n e p inteiros) porque

∫ sen

sen(𝑝𝑥) 𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

1

2

∫ [ 𝑐𝑜𝑠

𝜋

−𝜋

∫ cos

𝜋

−𝜋

] = 0

Que é outra das integrais de Euler. Logo

𝑛

𝜋

−𝜋

𝑛

𝜋

−𝜋

𝑛

A única alternativa que sobra para encontrar um valor de b

n

diferente de zero é a terceira integral

quando n = p

𝑛

𝜋

−𝜋

𝑛

𝜋

−𝜋

𝑛

2

𝜋

−𝜋

Novamente Euler já calculou essa integral e ela vale π

2

𝜋

−𝜋

1 −cos( 2 𝑝𝑥)

2

𝜋

−𝜋

1

2

𝜋

−𝜋

1

2

𝜋

−𝜋

1

2

𝜋

−𝜋

𝑑𝑥 = π

Então retomando

𝜋

−𝜋

= 0 + 0 + 𝑏

𝑛

2

𝜋

−𝜋

𝜋

−𝜋

= 𝑏

𝑛

. π

Multiplica-se ambos os lados por

1

𝜋

e isola-se 𝑏

𝑛

assim (lembrando que p=n logo px = nx)

𝑏

=

∫

𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥

Série de Fourier

0

• ∑ 𝑎

cos(𝑛𝑥)

• ∑ 𝑏

𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)

Sendo que

𝑎

=

∫

𝑓

( 𝑥

) 𝑑𝑥

𝑎

=

∫ 𝑓

( 𝑥

) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

=

∫

𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥

4. Exemplos de Séries de Fourier para algumas funções f (x)

Seguem-se 5 exemplos de cálculo de série de Fourier para funções periódicas f (x) definidas no

intervalo (-π, π).

Exemplo 4 .1: Calcule a série de Fourier da função f (x) = x, - π < x < π

Inicialmente deve-se calcular os coeficientes a

0

, a

n

, e b

n

0

1

𝜋

𝜋

−𝜋

ou seja 𝑎

0

1

𝜋

𝜋

−𝜋

A função f (x) = x é ímpar, e a integral definida de uma função ímpar em intervalo simétrico é

sempre ZERO. Podemos confirmar este resultado calculando a integral. A função primitiva de

f (x) = x é

𝑥

2

2

então ∫

𝜋

−𝜋

𝑥

2

2

−𝜋

𝜋

𝜋

2

2

(−𝜋)

2

2

Portanto 𝑎

0

1

𝜋

𝜋

−𝜋

1

𝜋

Agora vamos calcular 𝑎

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

ou seja 𝑎

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

Ora, o integrando é um produto de funções onde uma é ímpar [ f (x) = x ] e a outra é par [ f (x) = cos

nx ] e pela propriedade 5.3.5 temos que esse produto é ímpar. Além disso, sabemos que a integral

definida de uma função ímpar em intervalo simétrico é sempre ZERO.

Portanto 𝑎

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

1

𝜋

Agora vamos calcular 𝑏

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

ou seja 𝑏

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

Ora, o integrando é um produto de duas funções ímpares, e pela propriedade 5 .3.4 esse produto é

par. Logo, será necessário calcular a integral através de uma integração por partes.

Para integrar o produto de duas funções, faz-se uma integral por partes

𝜋

−𝜋

𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫

𝑣 𝑑𝑢 ou ∫

𝑣 𝑑𝑢 = u v − ∫

Onde v = x → dv = 𝑑𝑥

A Série de Fourier da função aproxima cada vez mais o seu gráfico, na medida em que o número de

seus termos vai aumentando (isto é, o valor de n cresce).

Gráfico da Série de Fourier para f (x) = x

calculada até n = 4 no intervalo (-2π, 2π)

Gráfico da Série de Fourier para f (x) = x

calculada até n = 4 no intervalo (-8π, 8π)

Exemplo 4 .2: Calcule a série de Fourier da função f (x) = x

2

, - π < x < π

Vamos calcular os coeficientes a

0

, a

n

, e b

n

0

1

𝜋

𝜋

−𝜋

ou seja 𝑎

0

1

𝜋

2

𝜋

−𝜋

0

1

𝜋

𝑥

3

3

−𝜋

𝜋

1

𝜋

𝜋

3

3

𝜋

3

3

2 𝜋

2

3

Agora vamos calcular 𝑎

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

ou seja 𝑎

𝑛

1

𝜋

2

𝜋

−𝜋

Para integrar o produto de duas funções, faz-se uma integral por partes ∫

𝑢 𝑑𝑣 = u v − ∫

Onde u = x

2

→ du = 2x dx

Onde dv = cos (nx) dx → v =

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)

𝑛

Então

𝑛

1

𝜋

[𝑥

2

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)

𝑛

−𝜋

𝜋

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)

𝑛

𝜋

−𝜋

]

Quando x = π teremos no numerador da primeira parte da expressão entre colchetes sen(nπ).

Ora, sabemos que sen(π) = sen(nπ) = 0, para qualquer n Є Ζ logo toda a primeira parte da

expressão entre colchetes vale ZERO. E ficamos com

𝑛

1

𝜋

[−

2

𝑛

𝜋

−𝜋

]

Onde se faz uma nova integração por partes

u = x → du = dx

dv = sen(nx) dx → v =

− 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)

𝑛

Então

𝑛

− 2

𝑛𝜋

[

−𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)

𝑛

−𝜋

𝜋

𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)

𝑛

𝜋

−𝜋

]

𝑛

− 2

𝑛𝜋

[

−𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)

𝑛

𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛.−𝜋)

𝑛

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)

𝑛

2

−𝜋

𝜋

]

A última parte da expressão entre colchetes vale ZERO pois sen(π) = sen(nπ) = 0, para qualquer

n Є Ζ então

𝑛

− 2

𝑛𝜋

[

−𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)

𝑛

𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛.−𝜋)

𝑛

] =

− 2

𝑛𝜋

− 2 𝜋 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)

𝑛

4

𝑛

2

cos(nπ)

Ora, cos π = - 1 logo cos nπ = - 1 quando n é ímpar (para a sequência π, 3π, 5π, ...) e cos nπ = 1

quando n é par (para 2π, 4π, 6π, ...). Portanto

𝑛

𝑛

4

𝑛

2

Agora vamos calcular 𝑏

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

ou seja 𝑏

𝑛

1

𝜋

2

𝜋

−𝜋

Podemos concluir sem cálculo que 𝑏 𝑛

= 0 porque x

2

é uma função par, sen(nx ) é uma função

ímpar, e o produto de função par por função ímpar resulta ímpar, conforme propriedade 4.3.5.

Sendo o intervalo (-π, π), temos que integral de função ímpar em intervalo simétrico resulta

sempre ZERO.

Agora que temos os 3 coeficientes calculados, podemos encontrar a Série de Fourier

f (x) =

𝑎 0

2

[ 𝑎

𝑛

cos(𝑛𝑥)

∞

𝑛= 1

𝑛

𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)]

Como b

n

= 0 restam apenas os termos com a

0

e a

n

Com n suficientemente grande, teremos o gráfico ao

lado, calculado para um intervalo grande da reta R.

Voltando agora ao cálculo do valor numérico da Série de Fourier da função f (x) = x

2

, - π < x < π

no ponto específico x = π, estaremos confirmando um cálculo feito pela primeira vez por Euler, no

século XVIII (usando outros métodos).

S (x) =

𝜋

2

3

(− 1 )

𝑛

𝑛

2

cos(𝑛𝑥)

∞

𝑛= 1

Ora cos π = - 1 , e cos(nπ) = - 1 quando n for ímpar e cos(nπ) = 1 quando n for par.

Matematicamente isso é expresso como cos(nπ) = (−𝟏)

𝒏

Então a fórmula acima fica

S (π) =

𝜋

2

3

(− 1 )

𝑛

𝑛

2

∞ 𝑛

𝑛= 1

𝜋

2

3

(− 1 )

2 𝑛

𝑛

2

∞

𝑛= 1

𝜋

2

3

1

𝑛

2

∞

𝑛= 1

Ora se x = π logo f (x) = x

2

 f (π) = π

2

E se a Série de Fourier S(x) = f (x)  S(π) = f (π) = π

2

portanto

π

2

𝜋

2

3

1

𝑛

2

∞

𝑛= 1

1

4

(π

2

𝜋

2

3

) = ∑

1

𝑛

2

∞

𝑛= 1

1

4

3 𝜋

2

− 𝜋

2

3

) = ∑

1

𝑛

2

∞

𝑛= 1

1

4

2 𝜋

2

3

= ∑

1

𝑛

2

∞

𝑛= 1

𝜋

2

6

1

𝑛

2

∞

𝑛= 1

Dessa forma, utilizando a Série de Fourier confirmamos um célebre resultado que Euler deduziu em

1734 em resposta ao famoso “problema de Basiléia”, proposto em 1644 pelo matemático Pietro

Mengoli. Tratava-se de encontrar a soma do inverso do quadrado de todos os números naturais , e

Euler resolveu usando a Série de Taylor e chegando ao mesmo valor que encontramos acima.

𝜋

2

6

1

𝑛

2

∞

𝑛= 1

1

1 ²

1

2 ²

1

3 ²

1

4 ²

Exemplo 4 .3: Calcule a série de Fourier da função f (x) = 1 se - π ≤ x ≤ 0; 2 se 0 < x ≤ π.

Deve-se calcular os coeficientes a

0

, a

n

e b

n

considerando os dois segmentos

descontínuos.

0

1

𝜋

𝜋

−𝜋

nessa situação fica 𝑎

0

1

𝜋

0

−𝜋

1

𝜋

𝜋

0

Como a integral definida é “a área debaixo do gráfico da função”, podemos usar o gráfico da

função para calcular a área dos dois retângulos que correspondem às duas integrais definidas:

• área do retângulo à esquerda: π. 1 = π
• área do retângulo à direita: π. 2 = 2π
• área total sob a função f(x): π + 2π = 3π Logo 𝑎 0

= 3π.

1

𝜋

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

nessa situação fica 𝑎

𝑛

1

𝜋

[

0

−𝜋

𝜋

0

]

𝑛

1

𝜋

[

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)

𝑛

−𝜋

0

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)

𝑛

0

𝜋

]

Como sen 0 = sen π = sen(nπ) = 0 temos que o valor do colchetes vale ZERO. Logo 𝑎

𝑛

= 0, n ≥ 1

𝑛

1

𝜋

𝜋

−𝜋

nessa situação fica 𝑏

𝑛

1

𝜋

[∫ 1 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝑑𝑥

0

−𝜋

𝜋

0

]

𝑛

1

𝜋

[

−𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)

𝑛

−𝜋

0

2 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)

𝑛

0

𝜋

]

𝑛

1

𝜋

[

− cos 0

𝑛

−𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)

𝑛

− 2 cos(𝑛𝜋)

𝑛

2 cos 0

𝑛

]

A vida não nos deixa esquecer que cos 0 = 1 e cos nπ = 1 quando n é par (isto é, a sequência 0, 2π,

4π, 6π, ...). E também é inesquecível que cos π = - 1 logo cos nπ = - 1 quando n é ímpar (para a

sequência 1π, 3π, 5π, ...).

O valor da expressão entre colchetes vale

1

𝑛

1

𝑛

= 0 quando n é par

E vale

1

𝑛

1

𝑛

2

𝑛

quando n é ímpar. Portanto

𝑛

= 0 quando n é par; e 𝑏

𝑛

1

𝜋

2

𝑛

2

𝑛𝜋

quando n é ímpar.