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senal-s p Robson Frias Equações e inequações do 1º grau NV Matemática Trabalho elaborado pela Divisão de Material Didático do Departamento Regional do SENAI-SP. (e) SENAI-SP, 1985 Equipe responsável Coordenação geral Marcos Antonio Gonçalves Coordenação do projeto Antonio Edson Leite Elaboração Adilson Tabain Kole Antonio Edson Leite Revisão Marinilzes Moradillo Metio Produção gráfica João Motta Regina Bouzan Composição de texto Aparecida Regina R.S. Ortega Coordenação da impressão Victor Atamanov Ficha catalográfica Elaborada pela Unidade de Editoração — SENAI-SP. S47e SENAI-SP. Divisão de Material Didático. Equações e inequações do 19 grau. Por Antonio Edson Leite e Adilson Tabain Kole, São Paulo, 1985. 48p. (Matemática). 1. Matemática |. LEITE, Antonio Edson tl. KOLE, Adilson Tabain Il.t. IV.s, CDU: 51 SENAI — Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Regional de São Paulo Av. Paulista, 750 — Bela Vista — SP CEP 01310 — Fone: (011) 289 8022 SENAI — Instituição mantida e administrada pela Indústria INTRODUÇÃO Veja o seguinte problema: Um número adicionado com a sua metade e com a quarta parte do seu quintuplo é igual ao seu triplo mais 1 Que número é esse! Parece um problema difícil, não é? Estudando com atenção esta unidade, você vai resolver cssc problema e muito mais. Mas para chegar a isso, vamos estudar o mínimo indispensável sobre equações e inequações do 1º grau. Esta é uma unidade muito importante, que o ajudará a solucionar os problemas principalmente aqueles que parecem difíceis Vamos começar? SENTENÇAS MATEMÁTICAS As sentenças matemáticas expressam sempre um pensamento completo. Veja: Duis mais cinco é igual a sete. Podemos farilmente transformar essa sentença em linguagem matemática: Pace lan 7) Quando não se conhece alguma parte da sentença, representamos essa parte por uma letra cu desenho. Geralmente usamos as letras: X, Y, Z. Veja um exemplo: Um número mais cinco É igual a sete. Transformando em linguagem matemática, fica: x in n =] Complete usando a linguagem matemática. a) Oito vezes um número é igual a quarenta: b) O cubo de um número é oito: c) A metade de um número menos três é cinco: cd) Um número mais três e multiplicado por quatro é vinte: Conjunto universo e conjunto verdade Conjunta universo (U) Vamos entender o significado de conjunto universo. Seja, por exemplo, o conjunto universo que representa os alunos desta Escola. Ele é formado por todos alunos matriculados nesta Escola. Vamos representar o conjunto universo pela letra U. Em linguagem de conjunto, representamos o conjunto universo dos alunos matriculados nesta Escola, assim: U = talunos matriculados nesta Escola) Qualquer alunc da sua turma pertence ao conjunto universo dado. Qualquer aluno da Escola pertence também ao conjunto universo Mas alunos ce outra escola c que não sejam também alunos cesta Escola não pertencem ao conjunto universo dado. Os conjuntos que vamos usar como conjunto universo são principalmente os conjuntos numéricos: naturais (N), inteiros (2), racionais (Q) e reais (R). veja us elementos que fazem parte desses conjuntos: mM ] Rica! no Qua 22 2 Ra Q = (todos números que podem ser escritos na forma = , b0) R=º Q vu irracionais Conjunto verdade (V) Vamos agora procurar entender o que é conjunto verdade. Suponha que U represente o conjunto de alunos desta classe. Isto pode ser escrito: U - [alunos desta classe! Vamos supor também que os alunos chamados Renato e Rodrigo estejam matriculados nesta classe e que Orlando, Pedro e Mário não estejam. Portanto, para o conjunto U dado, o conjunto V é: Y = (Renato, Rodrigo) Quando o elemento não pertence ao universo dado, como é q caso de Orlando, Pedro e Mário, dizemos que o conjunto verdade é vazio. Isto é representado assim: Do ou Ma tó Escreva o conjunto verdade das sentenças abaixo. a) Conjunto dos números naturais menores que 3. b) Conjunto dos números inteiros menores que 10 e maiores que 4. V= Escreva A diante das sentenças abertas e F diante das fechadas. a)x + 5-8 g) 3:= 8-5 b)8-y-6 Ds 3545 5X ED: 1) A O d)*=7-3 )J3+2-5 . D15-5-2.5 fe mese Ds O) 3 Reescreva as sentenças do exercício 2 que são abertas, escrevendo no lugar da variável o valor que a torna fechada e verdadeira. Dados a sentença e o conjunto universo, escreva o conjunto verdade. a) São cidades brasileiras: U = (Roma, Blumenau, Paris, Recife) V b) São cores da bandeira brasileira: U = (azul, amarelo, laranja, verde, marrom, branco! c) São números do conjunto dos racionais: Z 1 U=[3,-1,4 5,51 7 10 d) São rios brasileiros: U = (Amazonas, Paraná, Nilo) e) São números do conjunto dos inteiros: U= (3, +2,v2, vb, n) f) São números do conjunto dos reais: vd v5 5, -S) 9) São números dc conjunto dos naturais: US (6; 4, 2, 251,0) Escreva o conjuntc verdade des sentenças considerado o conjunto universo indicado. abaixo, a) U=N xe 10 VE x>5 Vi = SE ae OE e xe NES [opjujs 3-5=xX Van x25 e x>-2 Vi= x2-5 e x>0 Nie peso de xe V= EXERCÍCIOS 6 Observe as equações dadas e complete nos traços. a) b) E) d) 12 5x + 4 - 2x2 =3x+ 5 Membros da equação: 1º membro 2º membro Termos da equação: Essa equação é do grau. 5 = A 2=8x-3 Membros da equação: 1º membro 2º membro Termos da equação: Essa equação é do grau. axé + 2% 142x45-10 Membros da equação: 1º membro 2º membro Termos da equação: Essa equação é do grau. 4x + 4 =0 Membros da equação: 1º membro 2º membro Termos da equação: Essa equação é do grau. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU Resolver uma equação é descobrir o valor que ficando no lugar da incógnita torna a igualdade verdadeira. Esse valor que faz a igualdade verdadeira é a solução ou raiz da equação. Algumas equações podem ser resolvidas facilmente. Veja: ix =8 Qual é o valor que pode ser colocado no lugar do x para que a igualdade fique verdadeira? É fácil ver que é 2 pois 4,2=8 E nesta equação? 3x + 2=8x-(3+ 4x) Parece difícil mas não é. Encontramos a solução de uma equação, isolando a incógnita, isto é, deixando a incógnita sozinha. Para isolar a incógnita, começamos fazendo assim: Deixamos no 1º membro todos os termos que contêm incógnita e no 2º os termos que não contêm. E a E 5x + RA + 6 Precisamos passar x para o 1º membro e 4 para 0 2º membro. 15 Depois que resolvemos a equação, é preciso verificar se o valor encontrado perLence au conjunto universo dado. Suponhamos que U=(0,1,2,3). Como a solução da equação é 1, V = (15 Resolva as equações considerando U=(1,2,5,4, Sp a) 2x-3-x+2 b) 3x -B=2x-2 C)S 1 DB x d) 4x 16 Quando, após resolvermos a equação, o 1º membro fica com sinal negativo, é preciso multiplicar ambos os termos por -1 para que o 1º termo se torne positivo. Veja: 2-x=4 -x=4-2 -x = 2 multiplicando por - 1, XE 15 Resolva as equações abaixo, sendo U=7., a) 2z =4z + 6 Db) 2x +3=4 + 5x C)y-3=4+6 Numa equação podem anarecer termos entre parênteses. Assim: 5-2(x+1) =7 Neste caso, precisamos tirar os parênteses para resolver a equação. Tiramos os parênteses fazendo a multiplicação do que está antes do parêntese com o que está dentro dele, observando a regra de sinais. veja: - 2(x+1) =7 Ni) -2x-2=7 [6] Agora é só continuer resolvendo para chegar ao resultado final. 16 3º) Depois de reduzidos todos os termos ao mesmo denominador, eliminamos os denominacores, isto é, resolvemos a equação como se não houvesse denominador. o po m Do O 2 q 5x - 12=10 18 quando aparece incógnita no denominador, temos equação fracionária. Fssa equação pude ser transformada numa equação do 1º grau. Nesse caso, também determinamos o mme dos denominadores, reduzimos todos os Lermos da equação ao mesmo denominador, eliminamos os denominadores, depois de reduzidos, e resolvemos a equação. Assim: | i 5 Z E Te ne (55-45 20) = 12% Iza Vá 1 ix - 9x = -12 -5x=-12 0 (-1) 5x =12 E ê Rs pe di?) ce Mas quando se tem incógnita no denominador, é preciso fazer certas restrições aos possíveis resultados. Na equação anterior, por exemplo, o x não pode ser zero, porque as frações não podem Ler denominador zero. Para saber qual é a restrição para uma equação, é só fazer o denominador com incógnita diferente de zero e resolver como se fosse uma equação. 0 resultado será o valor que a incógnita não poderá ter. Assim: No denominador da primeira fração, temos x: 2H0 > x+&-2 154 
