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senal-sp Matemática Il po Números reais Robson 28 MBB Sumário A firnolidode desse foscículo « de simplificar ródicars (| Introdução Números reais Números irracionais Conjunto dos números reais Noções de radicais Propriedades dos radicais Operações com radicais Racionalização de denominadores página os a “o FIA 26 Números reais Números irracionais Já estudamos os conjuntos numéricos NE= 05 nos, 35 RS (E a ano Do A OR TNIRTRNE Q = Conjunto dos números que podem ser escritos sob a forma 2 ,a€7 e bez+. b Lembre-se que a representação decimal dos números racionais será decimal exata ou dízima períodica (simples ou composta). Exemplos e [e E os números em que à represent ) decimal não é exata nem periódica? Exemplos a) 5.020020002... b) 0,12131415... irracionais. Existem Esses números são chamados de números irracionais que podem ser representados com radical números e outros que recebem símbolos especiais. Ve O si Exemplos Vas ya By y É importante lembrar que nem todos os números que vêm sob radical são números irracionais. 2EQ pe = va O co jun m AE Exemplos vV 4 EE Números negativos dentro de um radical de indice par não são números irracionais. Exemplos conjunto dos números irracionais aj/-4 g complexos, bD)y/-5 £ números estudo no 2º grau ou no curso supe- Esses Lipos de número são chamados conjunto dos números irracionais que objeto de números poderão ser dos rior, que os utilizam. Nesta unidade, representaremos os conjuntos irracionais por Q (Q "barra!'). — TT caderno. Faça o exercício no seu simbolos € ou f. 1 Substitua o 4 pelos c)0,24N [o [a = b) - 9) 5 AZ h)0O,247 * Quando aparecer escrito R, leia-se conjunto dos números a reais sem o zero. Logo R =R- (O) Representaremos o conjunto dos números reais não negativos por R, eo Coniundofdos números reais não positivos por R. Se aparecer R, ou R leia-se respectivamente: conjunto dos números reais positivos e conjunto dos números reais negati- vos. Veja a representação desses conjuntos na reta numérica: Rê S R$ Comparação de números reais Os números reais aparecem na reta numérica em ordem crescen- te da esquerda para a direita, isto é, quanto mais à direita estiver o número real na reta numérica, maior ele será. Veja: E dd a A E 4 3 = 2 Eau RES) ETA 2/TS 2; 2 ERROR: CapRs Van SS a Faça o exercício no seu caderno. 2 Observe a reta numérica dada anteriormente e substitua o a pelos simbolos> ou < a) - 54 0 b) - EDER -? c)-2/24 042/27 Je/Taê f) - 2? Operações em R Em R valem as operações e as propriedades estudadas em Q. Dentre as propriedades da multiplicação estudadas em Q, con- vém lembrar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e a subtração: a.(b+c)-=abtac (b+c).a=ab+ac Faça o exercício no seu caderno. 3 Aplique a propriedade distributiva, conforme o exemplo. a) 5 (x+y) =5x+5y aP. ad = qP+a e e an (ar ap RiS ae oo NM Re td ea | ao ad ara O) Je = dis RR = Já (aP)7 = aPea (52) = 62:3 = 66 (a. b)P=aP.bP (2. JE elle tap Db / 2 a (2) Eos (bz 0) (3) =e bi U5/ 5? mi? mp Pole ca [5-5 o (6) 8 br) br 13) 35 -p jp ma fole [2) (DÊ (rebro) EO b/ Va) 124) U3/ No radicando 52, o 5 é chamado base do radicando e 2 é o ex- poente do radicando. Você deverá conhecer bem. esses nomes porque vamos usá-los frequentemente nesta unidade. Veja o exemplo abaixo. 6 > coeficiente » radical 6 V 3 3” > radicando 3 +» base do radicando Quando não há número diante do radical, isto é, quando não há coeficiente, é como se o coeficiente fosse 1. Exemplo expoente do radicando é 2 radicando é 8º índice é 2 ve polo o coeficiente é 1 O índice e o radicando não podem ser qualquer número. 0 Tn- dice deve ser um número natural maior ou igual a 1. Quando for 1, é o mesmo que o próprio radicando: /2=2,.0 radi- cando depende do índice: se for índice par, o radicando deve pertencer a Ro, se for impar, deve pertencer a R. Exemplos ajh vi? 4éparZeER, b) 3-2 3 é ímpar -Z ER CG) tas 5 é ímpar 3€R 10 pro Ps mn] ES Ed (Eransformação de radicais em potência com expoente fracionár' Observe o radical abaixo e a sua transformação em expoente fracionário. peu = 5º Dessa forma, podemos transformar qualquer radical indicado numa potência com expoente fracionário. “Veja o que acontece com os elementos, quando fazemos essa transformação: a base do radicando é a base da potência o expoente do radicando é o numerador do expoente fracionário o índice é o denominador do expoente Exemplos 2 E , 2 AR O? ai (ef (2) RAR, (3/ 3 À Eb ep o il 3 l 2 ER ql jaso usas RE =[2] E A Prop E E mr “a Dr a Sea : E Transformação de potência com expoente fracionário em radical t | É a operação contrária à rcalizada anteriormente. Veja: a base da potência é a base do radicando o numcrador do expoente fracionário é o expoente do radicandao o denominador do expoente fracionário é o índice do radical 8 Fscreva sob forma de potência com expoente fracionário: / 3 aj 7 b) Ke c) Dai d) PAE us 2) e VEIA o Ad, nos 9 (É / 6/ A 5) 9 Escreva sob forma de radical: 2 1 4 ; / 15 — , 3 e a (2) - bd) 4 = o (&) - 9) 0,82 - No) 15) Ê 1 E 1 A eis ay 3 e) (a E ici 9) |[--| = h) (-8)) = e) t9/ 5) Propriedades dos radicais As propriedades que estudaremos são usadas nas operações com radicais. Por isso é muito importante que você as conheça bem. P 8º? fo st rod cab, am prol — Brámeiea propriedade red do uno A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores. Prof. “xo cigh Exemplos u no » co » + n ro Bs va Faça o exercício no seu caderno. 10 Aplique a propriedade da raiz de um produto e calcule: a) 16 x81 = b)/25x49 = c)W27 x 8x 125 = d) 3/1000 x 8 = e) /625x 16 = f)/49x4x9 = Gusar, Segunda propriedade A raiz de um quociente é igual ao quociente da raiz do divi- dendo pela raiz do divisor. redcal de Um quonente Veja os exemplos abaixo. c) AÇE aj 22/To ATO o 4TT Observe que / ; f 24 54 2 À 16 / 2 /2 2 4 um número irracional. Faça o exercício no seu caderno. 1 Aplique a propriedade da raiz de um quociente e calcule: 25 E da Re a) /5 = b) = = c)/5 525 = ER / 36 3/64 ha Quit E (esses propriedade a se ' Multipiicando-se ou dividindo-se o índice do radical e o ex- poente do radicando por um mesmo número inteiro, positivo e diferente de zero, o valor aritmético do radical não se al- tera. Veja: DAR ao) | Dava VS AM O o) ! 14 Vamos, por exemplo, simplificar // 48. Para isso, seguimos os passos abaixo: 1º) FatLoramos o radicando: > poa warn E o CMN 48=2x2x2x2x3 2º) Agrupamos de dois em dois os fatores iguais. Neste caso, agrupamos de dois cm dois porque é raiz é quadrada. Se a raiz fosse cúbica, agruparíamos de três em três. 48 x i x i x2x3 =2 [ã RR A 16 Faça o exercício no seu caderno. 33 Simplifique os radicais. aJ/ 7 = dD)/27 = cw ag = d) Ya8 = e 2! = 3/22 x Operações com radicais 4º f 'f Para efetuar adição e subtração de radicais, é preciso saber Adição e subtração o que são radicais semelhantes. Os radicais são chamados semelhantes quando na forma simpli- ficada possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. Veja: aJ/3, 5/3, 2/3 são Semelhants b)/5,-2/5,-4/5 são semelhantes c)/B,º%/B não são semelhantes d)/15,/7,/9 não são semelhantes As vezes, os radicais não são, aparentemente, semelhantes; mas, por meio da simplificação eles se revelam semelhan- tes. Veja: (TVE, Vê 43 ND 935 Como os radicandos 12 e 27 podem ser fatorados, vamos fato- rá-los. 4212 27 13 Portanto temos: 6|2 9|3 3/3 313 ip os 1 1 270 = 3003) 17 Faça o exercício no seu caderno, 15 Faça as operações indicadas, a2W/3- 43/37 = bD)v/D+/G+4/T = GNR E SIZE d)bvadR Tod o api = e)/88.+/75 - 72 = )4v/B-3/B = 9)2%W2+%/16 - 3/2750 = h) /3-/87+ 2 - Q, rs operação oposto Pp ar a 5 re 915 Multiplicação E / t ve] a A 13 Para efetuar a multiplicação de radicais é preciso observar : se os indices são iguais. Sendo iguais, conservamos o indi- ce, multiplicamos os coeficientes e os radicandos, simplifi- cando-os quando for possível. Assim: aj2v/3x4/2=(2x89)/3.2-8/6 D)WBx Taz WT=(1x1%2) VB XIX2=? 3 [2] [os] : 3 . = a no j o w [nd] ; 3 Po) 8=6%/324 = Re 6/3 .3,2.6/3, 3/3, 4/7. 6.3W3.%WT=18%T7 Faça 0 exercício no seu caderno. 16 Efetue as multiplicações. D2wWixsyT xa 5 ão (De Para m reduzi mo ind (8, 19) Ca 3 Si 28) a PN) O mme oem 29) Di multip tado s flizRnE2 Io 12:4 (8, reduzi es veé 20 ultiplicar radicais com índices diferentes, é preciso -los ao mesmo índice. Vamos ver como reduzimos ao mes- ice os radicais: vV3, va. Tcular o mnc entre os Índices. -4|2 -2|2 -1[3 i -1112 12 será o novo índice dos radicais. O Sm vidir o novo índice pelo índice anterior do radical e licar o resultado pelo expoente do radicando. O resul- erá o novo expoente do radicando. Assim: o e 6x 1=6 =4 e 4x2=8 a e 3x1= do radicando sempre permanece a mesma. Portanto, (E v3, dv dos ao mesmo Índice mudam para 8 A 
