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senai-sp É Matemática Il Números racionais Robson n'2% MB Sumário Introdução Números racionais Números racionais absolutos Noções de números racionais Transformação da forma decimal em fração Representação na reta numérica Oposto ou simétrico Valor absoluto ou módulo Comparação Operações Números racionais Números racionais absolutos Dada uma fração irredutível, se multiplicarmos o numerador e o denominador por todos os números naturais, diferentes de zero, obteremos o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Por exemplo: o um. ? q 6 8 As frações Ecs ea 2 4 6 8 representam o mesmo número racional absoluto porque são fra- ções equivalentes. Outros exemplos: R DRE o a q e Í As frações BG. 9 ne oo E dr CASO 1 2 g 4 representam o mesmo número racional absoluto porque são fra- ções equivalentes. DEncco | pe | » — , etc. 4 representam o mesmo número racional absoluto porque são fra- ções equivalentes. Generalizando, podemos representar um número racional abso- luto na forma a b onde ae Ne ben. Representaremos o conjunto dos números racionais absolutos por Q,. Noções de número racional Se aos números racionais absolutos diferentes de"zero atri- buirmos os sinais + e -, obteremos os números racionais po- sitivos e negativos. 3 oa no Jos Ss ro | O conjunto formado por todos os números racionais positivos, os negativos e o zero chama-se conjunto dos números racia- nais e é indicado por Q. Como fizemos em Z, os números positivos podem ser escritos sem o sinal +. Exemplos 3 2. 5 |> D) 08 4,0/5 E 10 2,5 E 0 0,8 0 a qe ol d) 2 = 1,666... SE =ê 50 0,12 ê 20 1,666 0 20 20 2 e) 2-o,8333... 5 [6 O 20 0,8333 20 20 2 Observe que, quando o resto começa a repetir, o algarismo do quociente também começa a repetir. Esta repetição é repre- sentada por reticências (...). Faça o exercício no seu caderno. 1 Escreva os números racionais sob forma decimal. aja Dj ZE aja dE E) cab E 2 5 8 20 Coifa n E 1 [e n o 1 o " = , o ju Quando transformamos um número da forma fracionária para a forma decimal ocorrem três situações: k 12) O resultado é exato. |] Exemplos | a) 2-2, bp-?=-0,8 y-S=-0,12 Z E) 25 Neste caso chamaremos de decimal exato. 22) O resultado não é exato e um ou mais algarismos começam | a se repetir indefinidamente, logo após a vírgula. | Exemplos MS 666 b)-L5- 0,33% e) S=0,954585... ê 3 n O número racional que na forma decimal apresenta essa situa- cão é chamado de dizima periódica simples. O número formado pelo algarismo ou pelos algarismos que se repetem é o perfo- do. | Exemplos - 1,666... é o 6 que se repete, logo o periodo é 6. 0,454545... é o 45 que se repete, logo o periodo é 45. Também podemos representar dizimas periódicas simples assim: - 1,666... = 1,8 0 ponto (') significa que 6 é o periodo. 0,454545,,, = 0,45 0 traço (-—) significa que 45 é o periodo 32) O resultado não é exato e ocorre a repetição de um ou mais algarismos indefinidamente, mas entre a vírgula e o pe- riodo existem algarismos que não se repetem. Exemplos Ep Bass O Ce ter e) Moi 6 90 990 1 casa 1 zero c) 0,005 = ERoRRR E Oo SE “1000 1000 : o 3 casas 3 zeros EeMD A colo E Da oleo 100 100 : 5 CAVE d) -3,75 = 1 E n ala Faça o exercício no seu caderno. 5 Escreva sob a forma 2 os números decimais: Dizima periódica simples Para transformar uma dízima periódica simples em fração fa- zemos o seguinte: . Colocamos c período da dízima no numerador. . Colocamos, no denominador, tantos noves quantos forem os algarismos do período. . Se a dizima apresentar a parte inteira diferente de zero devemos colocá-la antes da fração, obtendo, assim, um número misto. Se for necessário, a transformamos em fração impró- pria. Exemplos a) 0,bb5... = Observe que o período 5 tem um algarismo. 10 J6n=a9 E 99:9 411 Observe que o período 36 tem dois algarismos. r— parte inteira sa É Ê ; sm -h38 632 :3.5108.5108:3.,36: 3 E 909 E 999 3 338, 33323. 111:3 25 1º qu lOA 37 37 Observe que o período 324 tem 3 algarismos. Faça o exercício no seu caderno. a nes RR a 6 Escreva sob a forma À as dizimas periódicas simples: b B)ROS3S8. b) -2,666... c) 4,060606... d) 0,4 e) 0,2424824... f) 0,573 Dízima periódica composta Para transformar uma dizima periódica composta em fração fa- zemos o seguinte: . Colocamos no numerador a parte não periódica seguida do pe- riodo e subtraímos a parte não periódica. . Colocamos no denominador tantos noves quantos forem os al- garismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. . Se apresentar parte inteira diferente de zero, esta deve ser colocada antes da fração, obtendo-se assim um número mis- to. Se for necessário, transformá-lo em fração imprópria. E) Oposto ou simétrico Já vimos, no conjunto Z, que: . oposto de +3 é -3 . oposto de -5 é 5 . oposto de O é O Do mesmo modo temos que: . oposto de - É é + EB 4 4 . oposto de - El é + ja 2] 3 . oposto de 2,5 é -2,5 Generalizando temos: se a é um número racional, o oposto de aé-a. Faça o exercício no seu caderno. 8 Dêo oposto dos números racionais abaixo. aj Do c) -1.25 d) 0,6 18 Valor absoluto ou módulo 1] | É || |] l Observe a reta numérica abaixo. ae Ze = D o Veja que -2,5 e +2,5 estão à mesma distância do zero, logo têm os módulos iguais. Indicaremros do mesmo modo que em Z. |-2,5| = 2,5 |+2,5] = 2,5 Como o módulo de um número positivo e o módulo de um número negativo não têm sinais, podemos dizer que módulo de um nú- mero racional é sempre um número racional absoluto. Faça o exercício no seu caderno. 9 Escreva os valores correspondentes aos módulos abaixo. o |-3] b) [+] e) Jol 6) |- 0,25] 7 6 e) | f) + 9) [- 15] | 2 7 Comparação Para comparar números racionais podemos observar as posições que estes ocupam na reta numérica. Os números crescem da es- querda para a direita. Observe a reta numérica: :; E E ER AEDEc) Rei em cAb aro] ai 325 Sn nd SC SL eo USA ATS DRA Shar e -475 as E 2 Veja que: e dl o -2,5
5.7 57 6 Logo: Es oRe al 6 De Pq 7 13 Comparando os valores absolutos, Sado, pois 3.13C7.6 E 13 Logo: -— Es 7 13 de 17 . “ ame + .- Se os denominadores forem diferentes reduzimos ao mesmo denominador e recaímos nos casos anteriores. Exemplos agi 6 4 - Reduzindo ao mesmo denominador: mnc (6, 4) = 12 E ps De mn de E 12 12 CS MPS ra 4 12 12 2,21 go 115,1 ip 6" 4 db) - 1 au 8 3 - Reduzindo ao mesmo denominador: mmc (8, 3) = 24 Es o 8 24 24 DM ul rs 56 3 24 24 Do tu add 24 24 3 Este processo é trabalhoso, porém será útil para ordenar números racionais escritos sob a forma à. £ 19 Outro exemplo: Escrever em ordem crescente os números racionais: Gs 6 4 8 7 Observe que, reduzindo ao mesmo denominador, basta comparar os numeradores. Então, vamos reduzi-los ao mesmo denominador: 7 > > 3 EA “Aa dA D 6 mmc (6,4, 8, 12) = 24 5 5 5 | |||] (24: 6)..5 (2 aja (Pl dem (sap) a 24 24 24 24 || EI ab o o edi o El qe RE al || 24 24 24 2 24 2 24 24 jo ig | Faça a exercício no seu caderno. | 15 Escreva na ordem crescente os números racionais: | Operações Nas operações com números racionais levamos em consideração as regras esludadas em números decimais, frações e números inteiros. 20 El | 
