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senai-sp Matemática Razões trigonométricas Aplicações Sumário Introdução Razões trigonométricas - Revisão . Seno, co-seno, tangente - Tabela de razões trigonométricas « Cálculo do ângulo - Cálculo de um lado do triângulo Aplicações das razões trigonométricas » Aplicações nas figuras planas página 17 23 26 38 Razões trigonométricas Revisão Razão Razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente obtido entre os números que medem as grandezas, na mesma unidade. Observe essa situação: em uma indústria trabalham 50 homens e 10 mulheres. Podemos comparar o número de homens e de mu- lheres, assim: 50 10 Essa comparação é chamada razão. Podemos, ainda, determinar o valor dessa razão. Basta divi- dir o número que fica acima do traço (antecedente) pelo que fica embaixo (consequente). Então ficaria 50 : 10 =5 O valor da razão 265. 10 Já a razão entre o número de mulheres e o de homens fica in- dicada assim: O) ô 50 E o valor dessa razão é 0,2, porque 10 : 50 = 0,2. Proporção É a igualdade entre duas razões. Veja: Ê E pois elo. e 20 |5 0 4 (12 razão) 0 4 (22 razão) Assim: 4 =4 Lembretes: 1 Na proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios (ou vice-versa). Veja: 8 20 —» meios Pa 5— extremos Assim ae 20 4 = 40 Ou seja: (extremo x extremo) = (meio-x meio) ou (meio) x (meio) = (extremo x extremo) 2 Se dividirmos ambos os membros de uma igualdade por um mesmo número diferente de zero, não alterams essa igualdade. Assim, ro » mn [o] 2x - 8 (dividindo os membros por 2) ? x=4 Na prática resolvemos usando operação inversa. Os cálculos trigonométricos envolvem medidas de dois lados e um ângulo do triangulo retângulo. > Os catetos recebem nomes especiais conforme sua A ” cateto oposto (em frente ) gl! Exemplos a) B EN 36 ç os coteto adjacente (lado "vizinho") relação a um ângulo agudo considerado. Veja: cateto adjacente Cc Observe as figuras e especifique as medidas assinaladas. Ê é o ângulo agudo considerado ( - 36mm é a medida do cateto oposto a ) - 5O0mm é a medida da hipotenusa (hip.) B posição em c cateto oposto + (c.o.) *o ângulo Ce o cateto AB não são citados . o ângulo considerado é É - a medida da hipotenusa (hip.) é . à medida do cateto adjacente (c. * não há referência sobre É e AB 30mm a.) é 15mm ER c) c . Qt é o ângulo assinalado . AB é o cateto oposto (c.o.) a ele Timm não são citados Faça o exercício no seu caderno. * 2 Observe as figuras e responda: a) IOmm LJ B ES 4 a) Qual é o ângulo considerado? b) Qual é a medida da hipotenusa? c) Qual é o nome do lado que mede 10mm? d) Como se chama o lado do qual não se deu a medida? ) m (c.o.) o soe | (cias) %, egg a ENG e m (hip.) » 1) = 60º (m feio.) n( Podemos calcular a razão entre as medidas dos lados dessés 19mm triângulos. As razões entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo (chamadas razões trigonométricas) rece- bem nomes especiais. . BC é o cateto adjacente (c.a.) a ele * a hipotenusa (AC) e o outro ângulo (B) - B A 42mm Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a É (42mm) e a medida do cateto adjacente a É (71mm) teremos: S2pá « 0,591 Tp Esta razão recebe o nome de tangente (indica-se tg). Portan- to, 0,591 é a tangente do ângulo considerado É, Simbolica- mente; tgê =-0,591, Resumo sent = medida do cateto oposto medida da hipotenusa cos - medida do cateto adjacente medida da hipotenusa medida do cateto oposto tg ist E medida do cateto adjacente Exemplo Observe a figura e responda às questões. Qual é o ângulo considerado? Quanto mede o cateto oposto a ele? 1) 2) 3) Qual é a medida do cateto adjacente a ele? 4) Quanto mede a hipotenusa? 5) Calcule o valor do seno, co-seno e tangente do ângulo considerado. 10 Solução: 1) O ângulo considerado é é: 2) O cateto oposto a ele mede 20mm. 3) A medida do cateto adjacente a ele é 34,5mm. 4) À hipotenusa mede 39,8mm. Sj-a). sen É = medida do cateto oposto medida da hipotenusa sen É = — 20prá 39, 8 [22 ' sen € = 0,502 medida do cateto adjacente b) cos É = medida da hipotenusa cos É = 34, Sp 39, By cos É = 0,866 c) tg £ - medida do cateto oposto medida do cateto adjacente tg.É = — 20 Cálculo as 2000 | 34,5 2750 0,579 tg É= 0,579 3350 245 Outros exemplos: Dadas as fórmulas (razões) (e.0.): (c.a. (c.o. sen cos fe.a.) e tg se (hip.) ae Chip.) SÉ E (ca. e os triângulos abaixo, faça o seguinte: I) Escreva (a.i.) no ângulo indicado, (c.o.) no cateto oposto a ele, (c.a.) no cateto adjacente e (hip.) na hi- potenusa. IT) Escolha a fórmula (razão) adequada de acordo com as me- didas dadas e calcule a razão trigonométrica. a) 8 E) % Ai fé 3mm, Resolução: [asi 6 c.a. = 3mm hip. = 5mm II) Como são datos as a.) e (hip.), a razão é co-seno. Logo: cos Di a (hip.) Cálculos cos É = 37á 30 | 5 Suá 0 0,6 cos É = 0,6 13 5 [ae] E A (o 2em Resolução: 1) ai. -8 Cc.o, =.2em c.a. = 3cm II) Como são dados (c.o.) e (c.a.) a razão é tangente. Logo: tg
Ea 4 Y 10 16 Tabela das razões trigonométricas Observe a razão seno para os triângulos abaixo: (co) 10 No AABC temos sen30º = 18 = 0,5 20 No ANNO temos sen30º = no 0,5 15 No APQR temos sen30º = E aid 0,5 5 Este valor constante permite o uso de tabelas. Vamos ver como se utilizam uma tabelas trigonométricas. A consulta a qualquer uma delas é feita da mesma forma, por- tanto vamos trabalhar com uma qualquer, por exemplo a de se- nos. 17 Note que, apesar de o seno possuir cinco casas na tabela, pudemos Tocalizá-lo, apenas observando as três primeiras ca- sas do número Vamos, agora, encontrar a medida do ângulo. Na direção do seno localizado, na primeira coluna, está a medida em graus, e, na primeira linha, estão os minutos: da, CekaD 19 20 40 E) o 0,00000 0,00291 0,00582 0,01164 0,01454 1 0,01745 0,02036 0,02327. 0,02908 0,03199 z 0,03490 0,03781 0,04071 0,04853 0,04943 3. D,05234 0,05524 0,05814 0,06395 0,06685 4 ai nl0OSPS - ur D, 07268 =) rapTass 0,08136 0,08426 5 0,08718 0,09005 0,09295 0,09874 0,10164 Logo, a medida do ângulo que tem como seno 0,078 é 430". Não se preocupe com o fato de a tabela possuir tantos núme- ros, pois os senos aparecem em ordem, aumentando sempre da esquerda para a direita: 0,00000 0,00291 0,00582 0,00873 0,01164 0,01454 0,01745 0,02036 0,02327 etc. Às vezes, o número procurado não se encontra na tabela. Por exemplo: se você procurar o seno = 0,093 não vai ehcon- trá-lo. Encontrará 0,09585 (maior) e 0,09295 (menor). Neste caso, uma das soluções é utilizar o mais próximo. Veja como: 12) CompleLe com zeros o seno procurado deixando-o com 5 ca- sas decimais (0,093 = 0,09300) 2º) Calcule a diferença entre ele e os dois mais próximos (maior e menor). 0,09585 a 093007 0,00285 (maior menos o procurado) o 09295 0,00005 (procurado menos o menor) 3º) Como 0,09295 é o seno mais próximo do seno procurado, a resposta à consulta é : 5º20'. 19 Faça o exercício no seu caderno. 6 Copie os senos abaixo, procure os ângulos corresponden- tes na tabela e escreva-os ao lado, conforme exemplo: a) 0,167 = sen 9º40' c) 0,868 f) 0,761 b) 0,401 d) 0,997 9) 0,9 Vamos considerar agora o problema inverso. Conhecendo a me- dida de um ângulo, encontrar na tabela o valor do seno cor- respondente. Podemos encontrar, por exemplo, o valor do seno do ângulo de SO E NECAD Lia Primeiro, localizamos os graus da medida na primeira coluna da tabela: Ex: 0 10 20 30 % Ea | | 40 50 EO) 0,00000 0,00291 0,00582 0,00873 0,01164 0,01454 1 0,01745 0,02036 0,02327 0,02618 0,02908 0,03199 2 0,03490 0,03781 0,04071 0,04362 0,04653 0,04943 EE | 0,05234 0,05524 0,05814 0,06105 0,06395 0,06685 4 0,06976 | 0,07266 0,07556 0,07846 0,08136 0,08426 5 0.08716 D,09005 0,09295 0,09585 0,09874 0,10164 6 0,10453 0,10742 0,11031 0,11320 0,11609 o, 11898 7.| 0,12187 0,12476 0,12764 0,13053 0,13341 0,13629 20 
