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senal-sp Matemática || Raiz quadrada Relação de Pitágoras Aplicações Matemática O SENAI-SP, 1990 Trabalho elaborado e editorado pela Divisão de Material Didático da L Tecnologia Educacional, SENAI-SP. Coordenação geral Equipe de elaboração Coordenação Coordenação do projeto Elaboração Equipe de editoração Coordenação Assislência editorial Planejamento visual Pevisão Digitação Diagramação Montagem de arte-tinal Produção gráfica Nacim Walter Chieco Marcos Antonio Gonçalves Célia Regina D. Talavera Hideo Kumayama (CFP 1.18) Maurício Martins (CFP 1.12) Norma Theodoro (CFP 1.01) Ciro Yoshisada Minei lvanisa Tatini Marcos Luesch Reis Luiz Thomazi Filho Davi Luiz de França Teresa Cristina Maíno de Azevedo Maria Fernanda Ferreira Tedeschi Victor Atamanov Sa7r SENAI-SP. DMD. Raiz quadrada — Relação de Pitágoras — Aplicações. Por Hideo Kumayama et alii. 92 ed. São Paulo, 1990. 57p. 1. Matemática. I.t. Il.s (Matemática II, 6). 501 (CDU, IBICT, 1976) SEM! — Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial EEgariamesio Regional! de São Paulo | Ma Pausa 750 — São Paulo - SP aa Introdução O cálculo da medida de um lado de um triângulo retângulo tem larga aplicação na eletricidade, tornearia e outras áreas do setor industrial. Para fazer esse cálculo há necessidade de se extrair a raiz quadrada. Nesta unidade, vamos aprender a Lécnica para extrair raiz quadrada. Em seguida, veremos a resolução de triângulos re- tângulos, calculando qualquer um de seus lados. Finalmente, usaremos esses conhecimentos na resolução de problemas en- volvendo outras figuras planas. Raiz quadrada O que é raiz quadrada ovaL E A RAIZ QUADRADA DE 97 Esta pergunta do Orlando quer dizer: qual é o número que, multiplicado por ele mesmo, dá 9º? Esse número é o 3, porque 32 -903x3 Podemos, então, responder ao Orlando dizendo: “A raiz qua- drada de 9 é 3". Para indicar a raiz quadrada de um número, colocamos sobre ele o símbolo 7”. Estão. &/ 9 significa raiz quadrada de nove. =/ 25 significa raiz quadrada de vinte e cinco. Faça os exercícios no seu caderno. 1 Dadá 2/25 = 5, responda: a) qual é o radicando b) qual é a raiz quadrada de 25 c) qual é o radical d) qual é o índice 2 Complete conforme o modelo: a) 2/75 = 5 porque 52 =5x5=25 b) 3 T= c) 46 = :3 Complete conforme o modelo: a) */9 é o mesmo que / 9 b) 2/4 ce) 16 d) 3/49 4 Dêas raízes de: a) 36 = b)/1= c)/ 64 = e) / 100 = 9/0 = 9)V 25 = Dv/81= 9) 16 = Raiz quadrada por falta e por excesso Qual seria o resultado de / 7? e) */ 100 Veja que 7 não tem raiz quadrada exata e, por isso, não é um quadrado perfeito. A raiz quadrada de 7 é um número entre 2 e3. Quando a raiz quadrada de um número não é exata, considera- mos a raiz quadrada aproximada. Podemos considerar, então, ou 2 ou 3 como raiz quadrada de 7. Mas, neste caso, usamos o sinal.= que significa aproxima- damente igual. Assim: CAR A ou (1 =3 A raiz quadrada aproximada pode ser por falta ou por exces- so. Raiz quadrada aproximada por falta é o maior número que, elevado ao quadrado, não ultrapassa o número do qual estamos procurando a raiz. Em /7,26araiz quadrada aproximada por falta, pois 2? elevado ao quadrado é igual a 4 (22 = 4). E 4 é menor que 7, isto é, não ultrapassa 7. Em / 7,36 araiz quadrada por excesso, pois 3 elevado ao quadrado é igual a 9 (32 = 9). Veja que 9 é o primeiro núme- ro quadrado perfeito maior que 7. Faça os exercícios no seu caderno. 5 Escreva as raízes quadradas aproximadas (por excesso): aj & b) /B80 = Cem d) 83 = eJ/8 = 9/90 = O primeiro passo da técnica é dividir o número em grupos de s algarismos, a partir da direita. Cada grupo de dois algarismos do radicando corresponde a um algarismo na raiz. Por isso, preparamos o local da raiz com os espaços para os algarismos da raiz. No caso de 2 601, temos 2 grupos de algarismos; então a raiz terá 2 algarismos. Veja: Ate) grupos / 26.01 > ——— espaço para 2 algarismos 2 O segundo passo da técnica para extrair a raiz quadrada é calcular, para o primeiro grupo à esquerda, a raiz quadrada exata ou aproximada por falta. Observe no exemplo: / 26.01 [> =D. 0 primeiro grupo a esquerda é 26. / 26 = 5 (por falta). E colocamos o resultado no primeiro espaço reservado à raiz: / corona anti O terceiro passo é elevar ao quadrado a raiz encontrada e subtrair esse quadrado do primeiro grupo. / PoBOAaRESDE E 5x5=25 Ras) [4] O quarto passo é abaixar o próximo grupo, colocando-o ao la- do do resto e separando o último algarismo da direita com um ponto: V Fo - 25 01 0.1 O quinto passo é calcular o dobro da raiz e escrever esse dobro embaixo do traço da raiz: / 26.01 Ra , BE ns) - 25 2x5=10 010.1 O sexto passo é dividir o grupo à esquerda do ponto pelo do- bro da raiz: / 26.0 |5 5x 5=25 = 25 10 2x5=10 010.1 | dobro da raiz 10 :10=1 grupo à esquerda do ponto hauactento Encontrado 10 . Calcule a raiz quadrada (exata ou por falta) para o pri- meiro grupo à esquerda e escreva à raiz encontrada no pri- meiro espaço da raiz. . Eleve ao quadrado a raiz encontrada e subtraia esse qua- drado do primeiro grupo. . Abaixe o próximo grupo ao lado do resto e separe o último algarismo da direita com um ponto. . Calcule o dobro da raiz e escreva esse dobro embaixo do traço da raiz. . Divida o grupo à esquerda do ponto pelo dobro da raiz. . Coloque o quociente encontrado nessa divisão ao lado do dobro da raiz. - Multiplique esse número encontrado pelo mesmo quociente. . Escreva esse resultado embaixo do último número do radi- cando e faça a subtração. . Escreva 0 quociente no outro espaço da raiz. . Escreva no traço a raiz quadrada encontrada. |] Acompanhe estes outros exemplos: aJ/TT08 = 52 / ijagas| Siga 5x 5=25 (raiz elevada ao quadrado) - 25 102 x 2 = 204 2 x5=10 (dobrodaraiz) 020.4 20 : 10 = 2 (quociente) -20 4 00 0 12 E; [= 8 (E H e Y 4x4 =16 (raiz elevada ao quadrado) 2 x4=8 (dobro da raiz) 4º ls 0 0 - 40 5 (quociente) 02 Notou que, neste caso, sobrou resto diferente de zero na P divisão? Mas não levemos em conta esse resto. c)/T2B = 85 Y 72.05 8 Do 8x 8=64 (raiz elevada ao quadrado) -68 [165x5-=825 2 x 816 (dobro da raiz) 082.5 -85 é? 116 000 | - 80 5 (quociente) Faça o exercício no seu caderno. 7 Extraia as raízes quadradas exatas de: a) AM b) 3969 e) 121 d) TO e) 7800 f) ATA 9) 4100 Continuando, observe uma ouira extração de raiz quadrada em que seguimos todos os passos explicados < ainda sobra um grupo de algarismos no radicando: E FATI2:4A] - 16 4 017.2 17:8 = 2 -164 00 8 E x Es n 16 Y Po E Escrevemos:o último quociente encon- - 16 [82 x2=168 trado' no espaço da raiz. 017.2 [81 x1=8M -16 4 | to da] 0084.1 | -841 | o 0 Então, 177 241 = 421 Agora observe o que acontece ao se extrair a raiz quadrada de 11 449. / 1.184.499] 1.0 1x1=1 (raizelevadaao quadrado) =1 | E 2x 1=2 (dobrodaraiz) 014 | | Notou que o número que precisamos dividir pelo do- bro da raiz é menor que o dobro da raiz? Atenção Quando o número à esquerda do ponto é menor que o dobro da raiz, colocamos zero no local reservado à raiz e abaixamos o grupo seguinte, para continuar os cálculos. Veja: / 1.14.49]1 0 Também o ponto muda de lugar: ele deve separar o = 2 último algarismo à direita 0144.9 | Para continuar os cálculos, precisamos encontrar novamente o dobro da raiz: (TIRA sa 20 0144.9 | 2 x 10 = 20 (dobro da raiz) 15 Agora os cálculos podem prosseguir. Veja como ficou a continuação: OS AO A 444 : 20=7 (quociente) ii 207 x 7 = 1449 0144.9 es Asas] EO A Fazemos a subtração e escrevemos o quo- 1 207 x 7 = 1449 ciente no espaço para a raiz. 0144.9 - 1449 000 0 Então: 11 449 = 107 Faça o exercício no seu caderno. 8 Extraia as raízes exatas dos números a seguir: a) 53 361 b) 43 681 c) 11 664 d) 110 889 e) 161 604 f) 93 025 Vamos analisar outros exemplos: Veja o que acontece nesta extração de raiz quadrada: / 7Ragm|onsas 2 x?=4 (raiz elevada ao quadrado -4 48 x B= 388 2x2 =4 (dobro daraiz) 32.9 32 :4=8 (quociente) Ao fazer a multiplicação pelo quociente, encontramos 384, que é maior que 329. Não dá para subtrair. 16 Como o novo quociente serviu, ele será colocado no espaço para a raiz: / Ta] E 32.9 -329 0 o Então, / 729 27 Agora, preste atenção. Quando o quociente obtido é maior do que 9, sempre conside- ramos o 9 para colocar ad lado do dobro da raiz e para mul- tiplicar. j | Neste exemplo, vamos, então, substituir o 13 pelo 9: ARS E Ex iR | 1 29x9=261 edi || 264 2pn 2h=o a | Como a subtração é possível, podemos escrever o quociente 9 no espaço da raiz: pr RAEM = 29x9- 261 261 | Ce] 000 | Então, 361 = 19 Faça o exercício no seu caderno. 9 Extraia a raiz quadrada exata dos números. a) 41 209 b) 1000 000 c) 324 d) 1.444 e) 82 369 Raiz quadrada de números decimais Será que extraimos a raiz quadrada de números decimais usan- do o mesmo processo que você aprendeu até aqui? Você saberia, por exemplo, extrair a raiz quadrada do número 108,5764? Quando o radicando é um número decimal, dividimos em grupos de dois algarismos a parte inteira e a parte decimal. Para dividir a parte inteira, começamos da virgula para a esquerda. Observe: ” 1.08,5764 - Para dividir a parte decimal, começamos da vírgula para a direita. veja: / 1.08,57.64 Coma cada grupo de dois algarismos do radicando corresponde a um algarismo na raiz, antes de começar a extrair a raiz quadrada podemos saber quantos algarismos ela terá antes da vírgula e depois da virgula. 
