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senali-sp Matemática 2,0. Frações vei Apelido NA od Sumário Introdução Múltiplos e divisores - Múltiplos . Divisores Números primos e compostos - Critérios de divisibilidade Decomposição em fatores primos Máximo divisor comum Minimo divisor comum Fração - Noção intuitiva de fração « Leitura de uma fração - Tipos de fração . Equivalência e simplificação . Operações - Conversão de fração a número decimal exato - Conversão de número decimal exato a fração - Frações de polegada « Transformação de unidades página IE 13 16 1177 18 20 24 Se 33 34 37 Múltiplos Quando a divisão de um número por outro é exata, dizemos que esse número é divisível pelo outro. Por exemplo, 36 é divi- sível por 4 porque 36 : 4 = 9e sobra resto zero. Se um número é divisível por outro, dizemos também que ele é múltiplo do outro. Para obter o conjunto dos múltiplos de um número, multipli- camos esse número pelos elementos do conjuto dos números na- turais. Veja como vamos encontrar os múltiplos do número 2, que in- dicaremos assim: M(2). RSS ERRO INS: x >< x x x BONS oO H oo Bs nro DZ) E Os DEC SA Bs Goal Faça o exercício no seu caderno. 1 Escreva o conjunto de múltiplos dos números abaixo. [ m A partir dos resultados dos exercícios, você poderá observar que: - O zero é múltiplo de qualquer número - todo número é múltiplo de si mesmo - O conjunto dos múltiplos de um número diferente de zero é infinito Divisores Sabemos que quando a divisão de um número por outro é exata o número é divisível pelo outro, Esse outro número é chamado divisor ou submúltiplo do número. Então, se 36 :4=9,4é60 diviso de 36, pois 4 dividiu exatamente 36. Vamos escrever o conjunto dos divisores do número 12, que indicaremos assim: D(12). iliZe 207] = 12 Ze: 2 de = A2e3 4e= 2 12: 5 na é divisível f2s-=6 = 2 12 não é divisível por 7, 8, 9, 0 e 1 de 2 = D(12) (1, 252; 4, 6,12) b) 7 c) 10 d) 15 Números primos e compostos Um número é primo quando possui apenas dois divisores dis- tintos: o próprio número e o número 1. O conjunto dos números primos não tem lei de formação, sendo que os primeiros estão no conjunto abaixo: P = (2,3,5,7,11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 37, Ala e) Quando o número apresenta mais de dois divisores, é chamado número composto. O número 1 não é primo nem composto. Critérios de divisibilidade Critérios de divisibilidade são regras que nos permitem sa- ber se um número é divisível por outro, sem efetuar a divi- são. Para seu trabalho nesta unidade é interessante conhecer ape- nas os critérios de divisibilidade dos três primeiros núme- ros primos. for par, ou seja, quando termina em 0, 2,4, 60u 8. Exemplos 132, 496, 7 310, etc. soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos 138 é divisível por 3 porque 1+3+8=12 1854 é divisível por 3 porque 1+8+5+4=18 termina em zero ou um 5. Exemplos 9 475 é divisível por 5 porque tem final 5. 9 020 é divisivel por 5 porque tem o final O. Faça os exercícios no seu caderno, &! Considere os números 100, 282, 170, 3 195, 20 106, € 1036 e separe os que são divisíveis por 2, 3 e 5 sem efetuar divisões. 4 Escreva o conjunto dos dez primeiros números primos. 5 O número 12 é primo ou composto? Justifique. Vamos fazer mais uma decomposição em fatores primos, agora do número 144, 144 | 2 + tator primo Hess paço Soo 18 |2 9/3 + fator primo So |) 1 Então, 144 = 22. 32 Faça o exercício no seu caderno. 6 Decomponha em fatores primos os seguintes número a) 15 b) 21 c) 120 d) 368 e) 36 f) 80 9) 288 h) 420 10 Máximo divisor comum Vamos escrever o conjunto dos divisores dos números 24, 36 e 60 e assinalar os divisores comuns. o fe) =) " maior divisor comum dos números 24, 36 e 60 é 12, que se in- dica assim: mdc(24, 36, 60) = 12 Essa operação chama-se maximação. Essa maneira de encontrar o mdc entre dois ou mais números é muito trabalhosa e só foi dada para você entender o concei- iejop O processo mais usado e prático para encontrar o maior divi- sor comum entre dois ou mais números é o das divisões suces- sivas, que é feito da seguinte forma dividimos o número maior pelo menor caso sobre resto diferente de zero, dividimos o número me- nor pelo resto da divisão - caso ainda sobre resto diferente de zero, dividimos o pri- meiro resto pelo segundo resto até obter uma divisão exata se não houver cutro número para dividir, o último divisor é o mdc o] Mínimo múltiplo comum Vamos escrever alguns dos múltiplos dos números 2 Se a diferentes de zero, e assinalar os múltiplos comuns, 8 n(2) = (2, 4, 6,110, HZ, 14, 16, ca M(3)= 13,6,9 15. 18, 21 ERR, Ma) = (4, 8, ÃB, 16, 20, 28, 32, 36, 40, 44, ...) Então são comuns os múltiplos 12, 24, ... O menor múltiplo comum, diferente de zero, dos números 2, 3 e 4 é 12, que indicaremos assim: mmc(2, 3, 4) = 12 A operação para determinar o menor múltiplo comum diferente de zero de dois ou mais números chama-se minimação. O processo mais usado para encontrar o minimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o da decomposição simultânea. Veja como se calcula, por esse processo, o mmc dos números SO exnbO: - colocamos os números um à direita do outro, separados por vírgulas, e à direita deles, um Lraço vertical; 30, 50 13 . procuramos o menor número primo que seja divisor de pelo menos um dos números e o escrevemos à direita do traço; 30, 50 é - dividimos os números dados (os que forem divisíveis) por esse número, colocando os quocientes embaixo dos respectivos números. Se o número não for divisível, devemos repeti-lo abaixo dele mesmo. Segue-se esse procedimento até que nenhum dos quocientes seja divisível pelo número primo; 30,50 | 2 15, 25 procuramos em seguida o próximo número primo que seja di- visor de pelo menos um dos quocientes obtidos, e o escreve- mos à direita do traço. Dividimos os números que forem divi- siveis gor esse novo número primo, colocando os quocientes embaixo dos respectivos números. Esse procedimento será se- guido até que todos os quocientes fiquem iguais a 1; 30, 50 15, 25 5, 25 (20 1 aan . O mmc será o produto de todos os números primos colocados à direita do traço vertical. Então mmc(30, 50) = 2.3.5. 5=h150. 14 Fração Noção intuitiva de fração A primeira noção de fração nos é dada quando dividimos um objeto ou uma unidade em um número qualquer de partes iguais e consideramos uma ou algumas dessas partes. Número fracionário ou fração é aquele que indica uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. A fração é representada. por dois números naturais a e b (com b 0) separados por um traço horizontal. Assim: Ss b Exemplos a) O círculo (unidade) foi dividido em 4 partes iguais das quais 3 estão hachuradas. Logo 3 > parte hachurada 4 pia parte não hachurada 4 b) parte hachurada > 1 E 8) parte não hachurada + É S) 16 * ] E O número acima do traço chama-se numerador e indica quantas partes foram consideradas. O número abaixo do traço chama-se denominador e indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida. Leitura de uma fração a) Denominador 2 a 9 (meios, terços, quartos, ...) ai um meio as > oito quintos 2) 5 2 5 4 E —=. + dois terços — » quatro sétimos S) 7 3. > três quartos pu > cinco oitavos 4 8 b) Denominador 10 cu potência de 10 (décimos, centési- mos;>...) 3. > três décimos sen vinte e sete centésimos 10 100 189 q RR ——— + cento e oitenta e nove milésimos 1000 c) Denominador maior que 10 e não potência de 10 aaa cinco dezesseis avos tas > sete vinte avos 16 20 1 E 1 —— — um quinze avo —— + um sessenta e quatro avo o; 64 17 Go sm Seg alo. 32 [19 19 19 ap 1 (lê-se um inteiro e treze dezenove avos) Neste caso, os resultados encontrados são chamados números mistos. Os números mistos podem retomar a forma de fração imprópria. Para isso multiplicamos a parte inteira pelo denominador e a adicionamos ao numerador. Assim; 1 emu GM) uv is ds tempestade 2 2 2 19 19 19 A fração cujo denominador é 10 ou potência de 10 é também chamada fração decimal. Exemplos 15 79 Lo) 10 100 1000 10 O número natural é considerado fração de denominador 1. Exemplos 2=2 pos 26 - 26 1 1 1 Faça os exercícios no seu caderno. 9 Desenhe um circulo e hachure nele a fração eo Jo 10 Três dias que fração é da semana? 11 Uma hora que fração é do dia? qo) 12 Separe as frações próprias das impróprias da lista abai- xo. 1 21 15 5 11 12 co ro so PRE a ja iss op a 9 13 Quais das frações do exercício anterior são aparentes? 1 Extraia os inteiros das seguintes frações impróprias: a) ato, % q) 122 2” b) 2 c) 18 5 3 .) é 9 8 35 4 15 Escreva como fração imprópria os seguintes números mis- tos: asd 5) el coa 15 10 15 dd es 2 4) 10 18 É 4 13 Equivalência e simplificação Observe as figuras w |- by = 20 
