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Frações
Antes de falar sobre frações, é importante sabermos que fração é uma representação matemática; essa representação, dependendo do contexto, pode representar, por exemplo, uma relação de pro- porção, uma divisão, entre outras coisas. Neste material, iremos abordar as frações de diversas formas, uma vez que em cada situação existirá uma forma mais adequada para desenvolver o conteúdo abordado. Portanto fique atento a esse detalhe!
No desenvolvimento da sociedade humana, desde cedo houve a necessidade de se utilizar números para representar algo. Com a evolução de nossa sociedade, os problemas também evoluíram, chegando a um momento em que houve a necessidade de se representar números que não eram mais inteiros, ou seja, números que representavam “uma parte em relação ao todo”, por exemplo. Diante desses contextos, surgiu aquilo que chamamos hoje de fração.
Representamos as frações da seguinte forma: a b , com b 6 = 0 (1) no qual número a, que fica na parte superior da barra horizontal recebe o nome de numerador e o número b, que fica na parte inferior da barra horizontal recebe o nome de denominador.
Como o próprio nome diz, fração significa parte. No contexto matemático, essa “parte” recebe um significado um pouco mais específico: todas as partes apresentam os mesmos tamanhos, ou seja, ap- resentam as mesmas dimensões.
Antes de começarmos a operar com números fracionários, é muito importante termos em mente o significado de frações equivales. Esse conceito irá nos acompanhar sempre que trabalharmos com oeprações envolvendo frações.
1 Frações Equivalentes
Se pensarmos nas frações como uma representação da operação de divisão, temos que:
a b
a representa o dividendo; b representa o divisor.
1.0.1 Exemplos
(a)
=⇒ 10 ÷ 5 = 2
(b)
=⇒ 24 ÷ 8 = 3
(c)
=⇒ 20 ÷ 10 = 2
(d)
=⇒ 81 ÷ 3 = 27
(e)
=⇒ 16 ÷ 4 = 4
(f)
=⇒ 14 ÷ 7 = 2
Observe os exemplos (a), (c) e (f). Perceba que as frações que as representam são diferentes; contudo, o resultado delas são iguais. Quando duas ou mais frações apresentam “formatos” diferentes mas apresentam o mesmo “resultado”, dizemos que essas frações são equivalentes. Para representar que duas ou mais frações são equivalentes, utilizamos o símbolo ≡: a b ≡^
c d (2)
1 FRAÇÕES EQUIVALENTES
1.0.2 Exemplos
(a)
(b)
(c) −
Analisando com mais cuidado é possível perceber que duas ou mais frações são equivalentes se os nu- meradores e denominadores são simultaneamente múltiplos ou submúltiplos de um mesmo número. Para esclarecer essa afirmação, observe do exemplo 1.0.1 as letras (a) e (c). Observe que a fração da letra (c) pode ser obtida multiplicando-se o numerador e o denominador pelo número 2 :
10 5
10 × 2
5 × 2
De forma análoga, a letra (a) pode ser obtida dividindo-se o numerador e o denominador pelo número 2:
20 10
20 ÷ 2
10 ÷ 2
Mas obrigatoriamente precisamos multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número para gerar frações equivalentes? Vejamos alguns exemplos para responder a essa questão.
1.0.3 Exemplos
(a)
Se multiplicarmos apenas o numerador por um número, como o 3, por exemplo: 12 2
12 × 3
Portanto, não geramos uma fração equivalente a
Se multiplicarmos apenas o denominador por um número, como o 3, por exemplo: 12 2 =⇒^
2 × 3 =
Portanto, não geramos uma fração equivalente a 12 2
Agora, se multiplicarmos tanto o numerador como o denominador pelo mesmo número: 12 2
12 × 3
2 × 3
E se multiplicarmos o numerador pelo número 2, por exemplo e o denominador por 3, como ficará? 12 2
12 × 2
2 × 3
Novamente, não geramos uma fração equivalente a 12 2
E se adicionarmos um mesmo número no numerador e no denominador? Tentaremos como número 3: 12 2
=^15
Novamente, não geramos uma fração equivalente a
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
- Algumas possibilidades são:
(a)
(b) −
(c)
(d)
(e)
(f) −
2 Adição e Subtração Envolvendo Frações
Na soma envolvendo frações, será que basta somar o numerador com o numerador e o denominador com o denominador? E quando somamos um número inteiro com um número fracionário, como fica essa soma?
1 2
Como resolveremos essa soma? A fração
representa a ideia de algo que foi dividida em 2 pedaços das quais 1 deles é de nosso interesse.
Fig. 1: Representação geométrica de
A fração
representa a ideia de que o mesmo objeto foi dividido em 3 partes das quais 1 delas é de interesse.
Fig. 2: Representação geométrica de
Quando realizamos a soma
, estamos querendo saber quantos objetos inteiros - iguais aos que foram divididos em 2 e 3 partes – ou pedaços desse objeto podemos gerar. Entretanto, temos um pequeno
problema: cada parte do objeto gerada pela fração
tem dimensões diferentes das partes geradas pela
fração
Para resolver esse problema, basta igualarmos as dimensões de cada parte de ambos objetos. Em outras palavras, basta igualarmos os denominadores dessas frações. Mas como faremos isso? A solução que você aprendeu no Ensino Fundamental foi utilizando o famoso Mínimo Múltiplo Comum (MMC), ou seja:
- Verificar os denominadores das frações;
- Colocar esses denominadores no dispositivo (algoritmo) para fazer a decomposição em fatores primos até que surja o número 1 em todos;
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
- Multiplica-se os números primos encontrados no processo da decomposição em fatores primos. O resultado desse produto é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números que foram decom- postos;
- Divide-se o MMC pelo denominador da primeira fração e o resultado encontrado é multiplicado pelo numeradores dessa fração. De forma análoga, repete-se esse processo em todas as outras frações que estão sendo somadas ou subtraídas.
Seguindo esses passos para a soma entre
1,1 2 × 3 = 6
6 ÷2 = 3
6 ÷3 = 2
1 × 3
1 × 2
Quando realizamos o processo de decompor os denominadores em fatores primos, simultaneamente, e multiplicamos esses fatores, estamos, na verdade, calculando o menor múltiplo comum entre esses números
- ou seja, estamos procurando o menor número que está presente como resultado na “tabuada” deles. Como podemos verificar no exemplo acima, o número 6 está presente tanto na “tabuada” do 2 como na “tabuada” do 3 e é o menor de todos (veja que o 12, 18, 24, ... também são um múltiplos comuns, mas não são os menores).
E geometricamente, o que aconteceu?
Agora que todas as partes que compõem ambos os objetos apresentam os mesmos tamanhos é possível realizar a soma: 3 partes que vieram de uma divisão por 6 mais 2 partes que vieram de uma divisão por 6 resulta em 5 partes que vieram de uma divisão por 6. Portanto, na soma de frações, a soma ocorre entre os numeradores; os denominadores não são somados: são repetidos, uma vez que representam a “origem” das partes que foram somadas. De forma análoga, o mesmo procedimento é feito para subtração envolvendo frações.
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
3 × 2
4 × 2
(c)
Quando é preciso fazer adição ou subtraçã com frações e números inteiros, uma forma interessante de resolver esse problema é penssar que o número inteiro está sendo dividido por 1. Lembre-se que qualquer número dividido por 1 o resultado é o próprio número. Assim:
4 7 + 3^ ⇒^
Lógicamente, o múltiplo comum entre 7 e 1 é o próprio 7. Assim:
+^3
+^3 ×^7
1 × 7
Existem casos, entretanto, que não é possível determinarmos os múltiplos comuns com facilidade. Por exemplo, qual é o múltiplo comum entre 13 e 4? E entre 2, 5, 7 e 9?
Nesses a melhor forma de resolver a situação é lembrar de algumas propriedades da múltiplicação: ela é comutativa. Em outras palavras Não importa a ordem que eu realizo essa operação, pois o resultado sempre é o mesmo: 2 × 3 = 3 × 3 = 6. Além da comutatividade, ela também é associativa, ou seja, podemos associar os fatores em qualquer ordem para realizar a operação que o resultado é o mesmo: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24. Mas como essas propriedades irão nos auxiliar?
Perceba que quando multiplicamos dois ou mais números, o resultado desse produto estará presente na “tabuada” de todos os fatores:
- 2 × 3 = 6 ⇒ 6 está presente nas “tabuadas” de 2 e de 3;
- 2 × 3 × 4 = 24 24 está presente nas “tabuadas” de 2, 3 e de 4. Portanto, quando determinar o múltiplo comum entre dois ou mais números é uma tarefa difícil, basta multiplicar os denominadores, pois o resultado obrigatoriamente estará presente na “tabuada” de cada fator multiplicado. E não se esqueça das frações equivalente: Tudo que é feito no denominador precisa ser feito no numerador:
2.0.2 Exemplos
(a)
Perceba que nesse caso, determinar os múltiplos comuns entre 7 e 13 não é uma tarefa fácil. Assim, multiplicando 7 por 13 é o jeito mais fácil de se determinar o múltiplo comum entre eles:
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
2 × 13
7 × 13
1 × 7
13 × 7
(b)
Novamente, não sabemos com facilidade que são os múltiplos comuns entre 4, 3 e 11. Portanto, iremos multiplicar esses números para gerar o múltiplo comum entre eles:
1 × 3 × 11
4 × 3 × 11
5 × 4 × 11
3 × 4 × 11
7 × 3 × 4
11 × 3 × 4
132 −^
(c)
x
x + 1 x − 1
, x 6 = 0 e x 6 = 1
Esse caso é um caso típico em que não há como decompor em fatores primos os denominadores nem há como saber quem são os múltiplos comuns entre eles. Contudo, lembrando que ao multiplicar dois ou mais números o produto é um número que estará presente na “tabuada” de todos os fatores:
x
x + 1 x − 1
2 ×(x − 1) x×(x − 1)
(x + 1)×x (x − 1)×x = 2 x − 2 x^2 − x
x^2 + x x^2 − x = x
(^2) + 3x − 2 x^2 − x
Mas porque não foi apresentado esse técnica desde o início? Porque essa técnica tem um ponto fraco: Ao utilizarmos ela, nem sempre é garantido que iremos trabalhar com os menores números possíveis:
2.0.3 Exemplo
Vejamos como fica a adição entre
e
- Buscando os menores múltiplos comuns:
18 =^
5 × 3
6 × 3 +
+^15
⇒ ( Simplificando)
= 30 ÷^6 18 ÷ 6 =
3.1 Multiplicação de um Número Não Fracionário Por Uma Fração 3 MULTIPLICAÇÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
3.1 Multiplicação de um Número Não Fracionário Por Uma Fração
Para auxiliar as dicussões que virão a seguir, vejamos um pequeno exemplo do produto de um número inteiro positivo por uma fração:
3 ×
Lembrando da ideia inicial da multiplicação, o primeiro número - multiplicando - indica a quantidade de vezes que queremos realizar uma soma; o segundo número - multiplicador - indica quem sofrerá essas
sucessivas somas. Assim, 3 × 5 7 significa que queremos somar 5 7 , por ele mesmo 3 vezes:
3 × 5 7
=^5
+ × 5
+ × 5
3 vezes
=^3 ×^5
=^15
Portanto, quando multiplicamos um número inteiro por uma fração, basta multiplicar o numerador pelo númeo inteiro. Como já apresentado anteriormente, a multiplicação é uma operação comutativa, ou seja, a ordem não importa. Portanto se multiplicarmos uma fração por um número inteiro teremos o mesmo resultado.
3 ×
7 ×^ 3 =
Apesar de simples, essa operação é pouco utilizado, mesmo estando presente nas mais diversas situ-
ações de nosso dia a dia. Para exemplificar isso imagine a seguinte situação: Em uma festa, 2 5 dos convidados são vegetarianos. Quantas pessoas são vegetarianas sabendo que foram convidadas 300 pes- soas?
Uma forma fácil e rápida de resolver esse problema é lembrar que o denominador da fração nos indica em quantas partes nosso objeto está sendo dividido e o numerador representa quantas partes dessas divisões nos interessam (parte pelo todo). Assim, para determinar quantas pessoas são vegetarianas, podemos:
- Dividir as 300 pessoas em grupos de 5;
- “Escolher” dois grupos (multiplicar por dois, pois ambos os grupos tem os mesmos números de integrante) para verificar quantas pessoas estão presentes neles.
300 ÷ 5 = 60 60 × 2 = 120
Como a ordem da operação não importa – lembrando que a multiplicação e a divisão entre números reais também são operações associativas, ou seja, dividir primeiro e depois multiplicar é a mesma coisa que multiplicar para depois dividir:
300 × 2 = 600 600 ÷ 5 = 120 Observe que nesse segundo modo, o que aconteceu foi: 2 5
× 300 =
Geometricamente, a representação de nosso exemplo fica:
3.1 Multiplicação de um Número Não Fracionário Por Uma Fração 3 MULTIPLICAÇÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
Fig. 3: Representação de
5 de 300 geometricamente. Portanto, quando calculamos uma fração de um número estamos multiplicando essa fração por esse número. E multiplicar uma fração por um número pode ser efetuado dase seguintes formas:
- Multiplicando o numerador pelo número e, em seguida, dividindo o resultado pelo denominador ou
- Dividindo o número pelo denominador e, em seguida, multiplicando o resultado pelo numerador. Mas por que foi dito que essa operação está presente em nosso dia a dia? Quando calculamos uma porcentagem em relação à alguma coisa, é exatamente isso que fazemos: dividimos esse objeto em 100 partes iguais e multiplicamos esse resultado pela quandidade de interesse.
Exemplos
- Calcular 15% de 200.
200 ÷ 100 = 2
2 × 15 = 30
ou
200 × 15 = 3 000
3 000 ÷ 100 = 30
2. 3 , 2 ×
3 , 2 ×
- Em uma caixa existem 80 barras de chocolate. Sabendo que 3/5 dessas barras serão vendidas em outra loja, 1/4 precisam ser colocadas na vitrine desta loja e o restante será guardado no almoxarifado desta loja, determine as quantidades de barras para cada caso. (a) Calculando 3/5 de 80: 3 5
· 80 =^240
(b) Calculando 1/4 de 80: 1 4
3.2 Multiplicação Entre Frações 3 MULTIPLICAÇÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
3.1.2 Gabaritos
(a) i. 3 ii. 112
iii. 16 iv. 16
v. 16 vi. 10 , 4
vii. 1 , 2 viii. 1 , 2
(b) 49 anos. (c) 25 figurinhas. (d) 2,4 Gb. (e) i. 3/10 de R$ 100 000,00 = R$ 30 000, ii. 15% de R$ 100 000,00 = R$ 15 000, iii. 30/80 de R$ 100 000,00 = R$ 37 500, iv. Restante: R$ 17 500,
3.2 Multiplicação Entre Frações
Conforme visto anteriormente, quando calculamos uma fração de alguma coisa é como se di- vidíssemos esse objeto pelo denominador e multiplicássemos o resultado pelo denom- inador. Usaremos essa mesma lógica para explicar a multiplicação entre frações. Contudo, desta vez iniciaremos com a explicação geométrica para depois explicarmos o procedimento matemático.
Assim, suponha que queiramos calcular
de
, ou seja,
×
. Portanto, inicialmente temos um objeto dividido em 7 partes das quais apenas 5 são de interesse:
Fig. 4: Representação geométrico de
Se vamos multiplicar por
4 , seguindo a lógica do produto de uma fração por um número não fracionário, significa que iremos dividir esse objeto - que já está divido - em 4 partes:
Fig. 5: Representação geométrica de
após ser dividida por 4.
3.2 Multiplicação Entre Frações 3 MULTIPLICAÇÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
Fig. 6: Representação geométrica das 3 partes de interesse da divisão por 4. Perceba que a interseção das regiões de interesse que estão sendo contadas.
Contudo, das 4 partes, o que nos interessa são apenas 3:
Portanto, geometricamente, o produto de
por
resulta em
. Assim, algebricamente, podemos dizer que o produto entre frações ocorre multiplicando-se os numeradores e multiplicando os denominadores:
3 4
× 5
=^3 ×^5
4 × 7
=^15
Mas e o que vimos sobre a multiplicação de um número não fracionário por uma fração? É uma regra diferente do produto entre frações? Não. Na verdade é a mesma regra! Lembre-se que Qualquer número pode ser representado por uma fração: basta que o denominador seja 1:
3.2.1 Exemplos
(a) 5 =
(b) − 2 , 3 =
(c) π = π 1
(d)
(e) 4 7
(f) 1 , 999 · · · =
Pensando desta forma, o prodtudo de 6 × 4 9 pode ser calculado por:
4 ×
9 =⇒^
1 ×^
4 × 7
1 × 9 =
Generalizando: “Produtos envolvendo frações: mutiplicam-se os numeradores e multiplicam- se os denominadores”.
3.2.2 Exercícios (a) Determine os seguintes produtos:
i.
×
ii. −
iii.
× 6
iv. 1 , 2 ·
v. −
vi.
(b) Em uma aposta, você ganhou 25% do montante de R$ 200,00. Contudo, desses 25%, 1/5 ficou com seu amigo - pois ele ajudou você a ganhar a aposta - e o restante ficou com você. i. Determine o valor que seu amigo irá receber. ii. Determine o valor que você irá receber.
4 DIVISÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
Vimos que a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto. Ora, vamos tirar proveito dessa propriedade novamente: E se multiplicarmos o denominador pelo se INVERSO, o que iria acontecer:
5 7
×
5 × 7
7 × 5
Mas será que sempre que multiplicamos um número pelo seu inverso o resultado é 1? Para responder a isso, suponha que a e b ∈ IR∗. Portanto:
a b
×
b a
a × b b × a ⇒ mas, a ︸ × b (^) ︷︷= b × a︸ Comutatividade
. Logo ⇒ ab ba
Portanto, toda vez que multiplicamos um número, diferente de zero, pelo seu INVERSO o resultado é 1. Assim:
÷
3 ×^
× 7
2 × 7
3 × 5
5 × 7
7 × 5
Portanto, quando operamos a divisão envolvendo números fracionário, basta multiplicar o nume- rador e o denominador pelo inverso do denominador. Mas, como é possível perceber, esse processo irá gerar sempre o número 1 no denominador. Por esse motivo, é comum que muitos profes- sores omitam essa parte e apenas falem que “divisão entre frações: repete o primeiro e multiplica-o pelo inverso do segundo”. Na prática, realmente será isso que faremos. Mas é sempre interessante sabermos o porquê das coisas, pois a matemática não é matemágica.
Exemplos:
(a)
7 ÷^
7 ×^
(b) −
×
(c)
=^7
× 1
(d)
×
4.0.1 Exercícios
- Efetue as seguintes divisões:
(a) 1 5
÷ 3
(b) (^51) 4
(c) −
(d) 5 ÷ 11 13
(e) 0 , 2 5 10 (f)
- Resolva as seguintes expressões numéricas:
(a) 1 2
(b)
(c)
[
)]
4 DIVISÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
(d)
(e)
(f)
[(
0 , 5 +^5
)]
(g)
[
]
- No início do ano fiscal de uma empresa, decidiu-se que seria reservado R$ 200 000,00 para eventuais despesas que não estavam previstas no planejamento semestral. Sabendo disso: (a) Do valor reservado, 3/15 foi automaticamente repassado para o setor a manutenção de máquinas e equipamentos. Quantos reais foram repassados a esse setor? Quantos reais sobraram? (b) Do valor que sobrou, 27% foi repassado para o setor responsável pelas compras da cozinha. Quantos reais foram repassados para o setor?
- Um produto numa indústria, pagando à vista e tendo uma boa conversa com o vendedor, é possível comprá-lo com 11% de desconto. Mas, se comprar à prazo, o valor final do produto sofre um acréscimo de 5%. Sabendo que o valor do produto é de R$ 23 456,91: (a) Quantos reais de desconto é possível conseguir? (b) À prazo, qual seria o valor final do produto?
