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Revisão de Cálculo I
1 Limites II
Na revisão passada trabalhamos com casos em que calculávamos o limite de uma função em uma região em torno de ponto contínuo. Vimos também que quando aplicamos o limite numa região contínua da função, bastava fazer a substituição direta para calcular o limite.
Contudo, conforme dito, os casos mais interessantes e com mais aplicações são aquelas em que o ponto apresenta uma descontinuidade. Assim, esta revisão tem como objetivo relembrar como trabalhar com esses casos. Não iremos trabalhar com os casos em que a descontinuidade da função era do tipo “salto”; penas os casos em que a função apresenta um “buraco” como descontinuidade.
Figure 1: Exemplo de descontinuidade o qual iremos trabalhar
Uma dúvida que pode surgir, neste momento é “como saber se uma função apresenta ou não descon- tinuidade na região onde irei calcular o limite?”. A resposta para essq pergunta é “a própria função irá nos informar”. Mas como ela irá nos informar isso?
Toda vez que formos calcular o limite de uma função iremos partir do princípio que ela é CON- TÍNUA naquela região. Caso ela não seja contínua, o resultado do limite será uma indeterminação. Existem 7 possíveis tipos de indeterminação que poderão surgir:
0 0
; 0 · ∞; 0^0 ; ∞^0 ; 1∞; ∞ − ∞ (1)
2 Indeterminação do tipo
Envolvendo Polinômios
lim x→ 0
f (x) g(x)
Conforme vimos na revisão de funções, quando a imagem de uma função zera para algum valor do domínio, dizemos que esse elemento é o zero da função ou raiz da função. Assim, quando calculamos um
limite e o resultado é
significa que p é raiz tanto de f (x) quanto de g(x). Esse fato irá nos auxiliar em
alguns casos para levantar - eliminar - a indeterminação. Cada função, dependendo das características que ela tem, apresenta uma ou mais formas de se levantar a indeterminação.
2.1 Evidenciação 2 INDETERMINAÇÃO DO TIPO 0
ENVOLVENDO POLINÔMIOS
2.1 Evidenciação
Esse é o caso mais simples de se levantar a indeterminação. Basta colocar em evidência o fator comum e “eliminar” ele. Para ficar claro esse procedimento, vejamos algums exemplos:
Exemplos
- lim x→ 0
x^2 − x x
Conforme dito inicialmente, partiremos do princípio que essa funçãoé contínua nas proximidades de zero. Assim, fazendo a substituição direta:
lim x→ 0
x^2 − x x
⇒ Indeterminação
Para essa função x = 0 é um ponto de indeterminação. Por esse motivo, uma das formas de se levantar essa indeterminação é “eliminando” o fator comum pelo processo de evidenciação:
lim x→ 0
x^2 − x x = lim x→ 0
x(x − 1) x = lim x→ 0 (x − 1)
Feito isso, agora faremos a substituição direta novamente:
lim x→ 0
x^2 − x x
= lim x→ 0
(x − 1) = 0 − 1 = − 1
Caso surgisse novamente uma indeterminação, teríamos que realizar algum outro tipo de processo para eliminá-la.
Finalizado este exemplo, você poderá estar se perguntando: “o que aconteceu? Quando foi feito a simplifcação das funções do numerador e denominador, eu não gerei uma outra função? O limite que eu calculei é o mesmo para a função original e para a nova função?
Os procedimentos de levantar a indeterminação tem, basicamente, como objetivo determinar uma “nova função” idêntica à função original, mas com apenas 1 diferença: a nova função é contínua na região onde a função original é descontínua. Vejamos os gráficos da função original e da nova função:
(a) Gráfico da função original: f (x) = x^2 − x x
(b) Gráfico da nova função: F (x) = x − 1
2.3 Divisão de Polinômios 2 INDETERMINAÇÃO DO TIPO 0
ENVOLVENDO POLINÔMIOS
Exemplos
- lim x→ 4
x^2 − 8 x + 16 x − 4
lim x→ 4
x^2 − 8 x + 16 x − 4
⇒ Indeterminação
Fatorando o numerador:
lim x→ 4
x^2 − 8 x + 16 x − 4
= lim x→ 4
(x − 4)^2 x − 4
= lim x→ 4 (x − 4) = 0
- lim x→ 1
5 x^2 − 5 x − 1
lim x→ 1
⇒ Indeterminação
lim x→ 1
5 x^2 − 5 x − 1
= lim x→ 1
5(x^2 − 1) x − 1
= lim x→ 1
5[(x − 1)(x + 1)] x − 1
= lim x→ 1
5(x + 1) = 5(1 + 1) = 10
2.3 Divisão de Polinômios
Muitas vezes, na indeterminação do tipo
, quando o grau do polinômio do numerador é maior ou igual
ao grau do polinômio do denominador podemos dividir esses polinômios para levantar a indeterminação. Vejamos alguns exemplos para relembrar como fazer essa operação:
Exemplos
- lim x→ 4
x^2 − 8 x + 16 x − 4
lim x→ 4
x^2 − 8 x + 16 x − 4
⇒ Indeterminação
Fazendo a divisão de polinômios:
Portanto:
lim x→ 4
x^2 − 8 x + 16 x − 4
= lim x→ 4 (x − 4) = 4 − 4 = 0
2.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini 2 INDETERMINAÇÃO DO TIPO 0
ENVOLVENDO POLINÔMIOS
- lim x→ 1
5 x^2 − 5 x − 1
lim x→ 1
⇒ Indeterminação
Portanto:
lim x→ 1
5 x^2 − 5 x − 1
= lim x→ 1 (5x + 5) = 5 · 1 + 5 = 10
2.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
O dispositivo prático de Briot-Ruffini é, na verdade um caso particular de divisão de polinômios, pois:
- no dividendo usaremos apenas os coeficientes do polinômio;
- no divisor usaremos apenas sua raiz;
- obrigatoriamente o divisor será um polinômio de primeiro grau;
- no quociente irá surgir apenas os coeficientes;
- o grau do quociente será uma unidade abaixo do grau do polinômio do dividendo.
No primeiro exemplo da divisão de polinômios calculamos x^2 − 8 x + 16 ÷ x − 4 :
Observe que dividimos um polinômio de segundo grau por um polinômio de prieiro grau. Logo, o quociente precisa ser um polinômio de primeiro grau. E, como o dividendo é divisível pelo divisor o resto
2.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini 2 INDETERMINAÇÃO DO TIPO 0
ENVOLVENDO POLINÔMIOS
utilizando o método das chaves na divisão de polinômios.
No segundo exemplo de divisões de polinômios, perceba que o dividendo está incompleto: falta o coe- ficiente do termo de primeiro grau. Quando utilizamos o dispositivo prático de Briot-Ruffini, é necessário que todos os coeficientes estejam presentes, ou seja, se estiver faltando algum será necessário utilizar o zero:
Agora que sabemos que o dispositivo prátido de Briot-Ruffini é um caso particular de divisão e sabe- mos com trabalhar com ele, podemos utilizá-lo para o cálculo de limites que apresentam indeterminação
do tipo
Em todos os exemplos que vimos até o momento, quando surgia a indeterminação do tipo
, realizamos
algum trabalho algébrico que eliminava as partes que zeravam tanto o numerador como o denominador:
lim x→ 1
⇒ Indeterminação
lim x→ 1
5 x^2 − 5 x − 1
= lim x→ 1
5(x^2 − 1) x − 1
= lim x→ 1
5[(x − 1)(x + 1)] x − 1
= lim x→ 1 5(x + 1) = 5(1 + 1) = 10
Observe que para levantar a indeterminação foi necessário “eliminar” o termo x− 1 , em outras palavras, dividimos o numerador e o denominador por x − 1. Lembre-se que, quando trabalhamos com frações, tudo que fazemos no numerador precisa ser feito no denominador para não alterar a fração. Tendo isso em vista, podemos dizer que toda vez que for necessário utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini temos que aplicar tanto no numerador quando no denominador. Caso contrário, o resultado que encontraremos estrá errado!
Exemplo
lim x→ 1
x^3 − 1 x^4 + 3x − 4
=⇒ Indeterminação
Se fatorarmos esse polinômios entenderemos o porquê ele gerou uma indeterminação:
lim x→ 1
x^3 − 1 x^4 + 3x − 4
= lim x→ 1
(x − 1)(x^2 + x + 1) (x − 1)(x^3 + x^2 + x + 4) Ou seja, o termo x − 1 está zerando tanto o numerador quanto o denominador. Assim, se eliminarmos esse termo provavelmente não teremos mais a indeterminação. Para isso, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini no numerador e denominador por x − 1 (suponha que não tenhamos feito a fa- toração dos polinômios):
3 INDETERMINAÇÃO DO TIPO
ENVOLVENDO RADICAIS
Portanto o resultado do numerador é x^2 + x + 1 e do denominador é x^3 + x^2 + x + 4. Assim:
lim x→ 1
x^3 − 1 x^4 + 3x − 4
= lim x→ 1
x^2 + x + 1 x^3 + x^2 + x + 4
13 + 1^2 + 1 + 4
3 Indeterminação do tipo
0
0
Envolvendo Radicais
Além de funções racionais polinomiais, também é possível a prsença de radicais.
3.0.1 Raiz Quadrada
Quando a indeterminação
surgir e estiver presente na função a raiz quadrada usaremos o seu
“conjugado” para levantar a indeterminação.
Logicamente, iremos multiplicar o numerador e o denominador pelo “conjugado” para não alterar a fração.
Exemplos
- lim x→ 4
x − 2 x − 4
lim x→ 4
x − 2 x − 4
⇒ Indeterminação
Assim, multiplicando pelo “conjugado” do numerador:
lim x→ 4
x − 2 x − 4
x + 2 √ x + 2
= lim x→ 4
x 2 − 22 (x − 4) (
x + 2)
= lim x→ 4
x − 4 (x − 4) (
x + 2)
= lim x→ 4
x + 2
=
No caso das raízes quadradas multiplicar pelo conjugado resolve nosso problema porque no fundo, o que estamos fazendo é elevando ambos os membros ao quadrado e eliminando a raiz quadrada. Esse procedimento é garantido pelo produto notável (a − b)(a + b) = a^2 − b^2. Ou seja, só funciona para raízes quadradas. Se for diferente de 2, veremos outra forma de resolver.
3 INDETERMINAÇÃO DO TIPO
ENVOLVENDO RADICAIS
lim x→ 4
x − 4 (
13 − x − 3)(
x + 2)
13 − x + 3 √ 13 − x + 3
= lim x→ 4
(x − 4)(
13 − x + 3) (
13 − x
2 − 32 )(
x + 2)
= lim x→ 4
(x − 4)(
13 − x + 3) (13 − x − 9)(
x + 2)
= lim x→ 4
(x − 4)(
13 − x + 3) (4 − x)(
x + 2)
= lim x→ 4
13 − x + 3 √ x + 2
=
3.0.2 Mudança de Variável
No caso em que o índice da raíz é maior que 2 usaremos outra técnica denominada mudança de variável.
- lim x→ 1
√ (^3) x − 1
x − 1
lim x→ 1
√ (^3) x − 1
x − 1
⇒ Indeterminação
Observe que, neste exemplo, se x estivesse elevado à terceira potência, poderíamos extraí-lo da raíz cúbica e eliminar a indeterminação. Por esse motivo iremos fazer uma mudança de variável de tal forma que seja possível extrair a variável independenta da raiz:
x = t^3
Perceba que agora é possível retirar a variável da raíz. Contudo, o limite está sendo calculado para a variável x, ou seja, a tendência do limite é a tendência do valor de x. Por esse motivo é preciso adaptar atendência de x para a tendência de t^3 : { x = t^3 x → 1 , t → 1
Feitas essas adaptações, substituiremos no limite:
lim x→ 1
√ (^3) x − 1
x − 1
=⇒ lim t→ 1
√ (^3) t (^3) − 1
t^3 − 1
= lim t→ 1
t − 1 t^3 − 1
⇒ Indeterminação
Veja que ainda não foi possível levantar a indeterminação. Contudo, se aplicarmos o dispositivo prático de Briot-Ruffini em ambos os membros:
Assim, o limite ficou:
3 INDETERMINAÇÃO DO TIPO
ENVOLVENDO RADICAIS
lim t→ 1
t − 1 t^3 − 1
⇒ lim t→ 1
t^2 + t + 1
- lim x→ 1
x √ (^5) x − 1
Observe que agora temos dois índices diferentes: 2 e 4. Nesses casos também usaremos a mudança de variável. No exemplo anterior a escolha do expoente de t foi baseada no índice da raíz. Contudo, quando existem dois índices diferentes usaremos um múltiplo comum desses índices. Assim, como os índices são 2 e 5, as possibilidades são os números pares presentes na tabuada do 5: 10, 20, 30, .... Contudo, para facilitar nosso trabalho, vamos pegar o menor múltiplo comum, ou seja o 10. { x = t^10 x → 1 , t → 1
Assim, fazendo as substituições:
lim x→ 1
x √ (^5) x − 1 ⇒ (^) tlim→ 1
t^10 √ (^5) t (^10) − 1 = lim t→ 1
1 − t^5 t^2 − 1
⇒ Indeterminação
Utilizando o dispositivo prático de Briott-Ruffini:
Portanto o limite fica:
lim t→ 1
1 − t^5 t^2 − 1
⇒ lim t→ 1
−t^4 − t^3 − t^2 − t − 1 t + 1
- lim x→ 2
√ (^3) x − 1 − 1
x − 2
lim x→ 2
√ (^3) x − 1 − 1
x − 2
⇒ Indeterminação
4.2 Propriedades de Limites 5 EXERCÍCIOS
Atenção: A definição de limite não serve para calcular o limite de uma função, mas sim, para verificar se o valor que desconfiamos ser o limite de uma função é realmente o limite.
4.2 Propriedades de Limites
Em algumas situações as seguintes propriedades poderão nos auxiliar no cálculo de limites.
Seja k ∈ IR (uma constante) e supondo que existam os limites lim x→p f (x) e lim x→p f (x), então:
- lim x→p [f (x) ± g(x)] = lim x→p f (x) ± lim x→p g(x)
- lim x→p k · f (x) = k · lim x→p f (x)
- lim x→p [f (x)g(x)] = lim x→p f (x) · lim x→p g(x)
- lim x→p
f (x) g(x)
lim x→p f (x)
lim x→p g(x)
, lim x→p g(x) 6 = 0
- lim x→p [f (x)]n^ =
[
lim x→p f (x)
]n
- lim x→p
√ nf (x) = √n (^) lim x→p f (x)
- lim x→p kf^ (x)^ = klimx→p^ f^ (x)
- lim x→p logb[f (x)] = logb
[
lim x→p f (x)
]
5 Exercícios
- Calcule os seguintes limites:
(a) lim x→ 1
x^2 − 1 x − 1
(b) lim x→ 2
x^3 − 8 x^2 − 4
(c) lim x→p
x^4 − p x − p
6 GABARITOS
(d) lim x→ (^32)
2 x + 3 4 x^2 − 9
(e) lim x→ 1
1 x −^1 x − 1
(f) lim x→ 1
1 x^2 −^1 x − 1
(g) lim x→ 5
x^2 − 3 x − 3
(h) lim x→ 5
1 x −^
1 5 x − 5 (i) lim x→ 0
x^3 + x^2 3 x^3 + x^4 + x
(j) lim x→ 2
x^3 − 5 x^2 + 8x − 4 x^4 − 5 x − 6
(k) lim x→ 1
x^3 − 1 x^4 + 3x − 4 (l) lim h→ 0
(x^2 + 3xh)
(m) lim x→− 5
x^3 + 4x^2 − 7 x − 10 x + 5
(n) lim t→ 0
(x + t)^2 − x^2 t
- Calcule os seguintes limites envolvendo radicais:
(a) lim x→ 4
x − 2 x − 4
(b) lim x→ 3
x x − 3
(c) lim x→− 4
−x x + 4
(d) lim x→ 1
√ (^3) x − 1 √ (^4) x − 1
(e) lim x→ 16
√ (^4) x − 2
4 −
x
(f) lim x→ 0
1 + x −
1 − x x
6 Gabaritos
- (a) 2 (b) 3 (c) 4 p^3 (d) −
(e) − 1 (f) − 2 (g) 11 (h) −
(i) 0
(j) 0
(k)
(l) x^2
(m) 28
(n) 2 x
- (a)
(b) −
(c)
(d)
(e) −
(f) 1
